机器人学_第5章_微分变换

null第五章 微分变换 ChapterⅤ Differential Relationships第五章 微分变换 ChapterⅤ Differential Relationships5.1 引言 5.2 微分矩阵 5.3 微分平移和旋转变换 5.4 微分旋转 5.5 坐标系之间的微分变换 5.6 机械手的微分变换方程 —— 雅可比方程 5.7 雅可比方程的定义与求法 5.8 雅可比逆矩阵 5.9 本章小结 5.1 引言（Introduction）5.1 引言（Introduction） 微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或其它传感装置 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐标或参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系中力与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化为关节坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 时，也会用到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用。 5.2 微分矩阵（Derivative Matrixes） 5.2 微分矩阵（Derivative Matrixes） 给出一个4×4的矩阵A （5.1） 矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下 （5.2）5.3 微分平移和旋转变换 ( Differential Translation and Rotation ) 5.3 微分平移和旋转变换 ( Differential Translation and Rotation ) 微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分变换可表示为 （5.3） 式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到 （5.4） 如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结果可表示为 （5.5） 此时，式中 是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz； 是绕T坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到 （5.6） null 我们用符号 来表示式（5.4）和式（5.6）中的 并将它称为微分变换算子 （5.6） 这样式（5.4）和式（5.6）就可写成如下形式 （5.7） 和 （5.8） 式（5.7）中的微分变换算子 是针对基坐标的，而式（5.8）中的微分变换算子 则是针对T坐标的。 在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，平移变换矩阵是 1 0 0 a 0 1 0 b Trans( a, b, c ) = 0 0 1 c （5.9） 0 0 0 1null当平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为 1 0 0 dx 0 1 0 dy Trans( d ) = 0 0 1 dz （5.10） 0 0 0 1 一般性旋转变换的变换矩阵是 kxkxversθ + cosθ kykxversθ - kzsinθ kzkxversθ + kysinθ 0 kxkyversθ + kzsinθ kykyversθ + cosθ kzkyversθ - kxsinθ 0 Rot( k,θ) = kxkzversθ - kysinθ kykzversθ + kxsinθ kzkzversθ + cosθ 0 (5.11) 0              0          0 1 当进行微分旋转变换时，旋转角dθ极小，此时有如下关系null将上述关系代入式（5.11）可得 1 - kzdθ kydθ 0 kzdθ 1 - kxdθ 0 Rot( k, dθ) = - kydθ kxdθ 1 0 (5.12) 0        0         0 1 由式（5.6）可得 (5.13)5.4 微分旋转 (Differential Rotations)5.4 微分旋转 (Differential Rotations) 式（5.13）给出的微分变换算子 是基于微分旋转角dθ的微分平移和旋转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换。 第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为 （5.14） （5.15） （5.16） null在微分变换的情况下，sinθ→dθ，cosθ→1，上面三个式子变为 （5.17） （5.18） （5.19） 由此可得到 （5.20）null 比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、z轴分别旋转 的结果相同，即 （5.21） 由此可得到绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换算子为 （5.22） 微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即 （5.23） （5.24） 将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D （5.25） 这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算子 ，或基于T坐标的微分运动矢量 的微分变换算子 。null【例5.1】已知坐标A的变换矩阵为 当用微分平移矢量d = 1i + 0j + 0.5k和微分旋转矢量δ＝ 0i + 0.1j + 0k对坐标A 进行变换时，求出微分变换的结果dA。 解：首先，由式（5.22）求出微分变换算子 由式（5.7）可得 即微分变换结果如图5.1所示。5.5 坐标系之间的微分变换 (Transforming Differential Changes between Coordinate Frames)5.5 坐标系之间的微分变换 (Transforming Differential Changes between Coordinate Frames) 上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系之间的微分变换，也就是已知微分变换算子 ，如何求出T坐标的微分变换算子 。由式（5.7）和（5.8）可知 （5.26） 则为 （5.27） 上式是一个重要的表达式，它描述了坐标系之间的微分变换关系。下面我们用微分平移矢量d和微分旋转矢量 来推导 的表达式。 已知变换矩阵T为null我们用矢量的叉乘来得到式（5.27）等号右边二项的乘积 （5.29） 式中d和 分别是微分平移和微分旋转矢量。用 左乘式（5.29）可得 （5.30） 上式矩阵元素都具有如下矢量三重积形式 根据矢量三重积的性质有 （5.31）null同时，三重积中只要有二个矢量是相同的，其结果为零。如 （5.32） 根据上述性质，式（5.30）可写成 （5.33） 对于正交矢量有 （5.34） 这样，式（5.33）可重写成 （5.35）null 上式可进一步简化为 （5.36） 比较式（5.35）和式（5.36）的矩阵元素可得 （5.37） （5.38） 在式（5.37）和式（5.38）中，n、o、a和p是微分坐标变换矩阵T的旋转和平移矢量， 和 是对应坐标T的微分平移和旋转矢量。null式（5.37）和式（5.38）也可用6×6的矩阵形式表示如下 （5.39） 将上式写成式（5.36）和式（5.37）的形式如下 （5.40） （5.41） 式（5.40）和式（5.41）是后续 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 中要经常用到的重要结果。null【例5.2】给出与例5.1相同的坐标的变换矩阵、微分平移矢量和微分旋转矢量如下： d = 1i + 0j + 0.5k δ＝ 0i + 0.1j + 0k 试求出坐标A上的等效微分变换dA。 解：由坐标变换矩阵A可得到相应的旋转与平移矢量 由此可求出 根据式（5.40）和式（5.41）得到null用上述结果来验证坐标A上的等效微分变换dA，由式（5.8）有 由已求出的 、 和式（5.36）可得到 则 上述结果与例5.1相同。5. 6 机械手的微分变换方程——雅可比方程 （The Manipulator Jacobian）5. 6 机械手的微分变换方程——雅可比方程 （The Manipulator Jacobian） 在第四章我们介绍过，机械手的运动学方程由它的末端相对于基坐标的齐次变换矩阵T6表示，即 T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 （5.42） 其中每一个关节变换矩阵Ai描述了该关节坐标相对于前一个关节坐标的变换关系，关节变量用qi表示，如果是旋转关节，关节变量是θi，它是绕前一个关节坐标z轴的旋转角度；如果是滑动关节，关节变量是di，它是沿前一个关节坐标z轴滑动的距离。同样，当我们讨论机械手的微分变换方程时，首先定义微分关节变量为dqi，如果是旋转关节，则为dθi，如果是滑动关节，则为ddi。null 机械手第i个关节的微分变换引起第6个连杆末端（即机械手末端）的微分变换dT6可由下式表示： （5.43） 则 （5.44） 由式（5.27）可得到机械手末端的微分变换算子 （5.45） 其中 （5.46） 如果关节i是旋转关节，则di = 0，式（5.40）和式（5.41）变为 （5.47） （5.48）null 当 ，为单位微分旋转矢量时，式（5.47）和（5.48）可进一步简化为 （5.49） （5.50） 如果关节i是棱形滑动关节，则δi＝0，di = 0i + 0j + 1k，式（5.40）和式（5.41）变为 （5.51） （5.52） 机械手末端坐标T6的微分变换是所有6个关节微分变量的 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ，可用6×6的矩阵表示，矩阵元素由6个关节的微分平移和微分旋转矢量构成，该矩阵称为雅可比矩阵。它的每一列元素为对应关节的微分平移和微分旋转矢量。应用雅可比矩阵的机械手微分变换方程——雅可比方程如下： （5.53）5.7 雅可比矩阵的定义与求法5.7 雅可比矩阵的定义与求法利用雅可比矩阵可以建立起机器人手端在基础坐标中的速度与各关节速度间的关系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间的关系，因此机器人雅可比矩阵在机器人技术中占有重要地位。 1 雅可比矩阵的定义 机械手的操作速度与关节速度的线性变换定义为机械手的雅可比矩阵，可视它为从关节空间向操作空间运动速度的传动比。 令机械手的运动方程 x=x(q) 代表操作空间x与关节空间q 之间的位移关系，对上式两边求导，即得出q与x之间的微分关系 称为末端在操作空间的广义速度，简称操作速度， 为关节速度；J(q)是6X n的偏导数矩阵。 null例：根据定义求雅可比矩阵null刚体或坐标系的广义速度 是由线速度v和角速度w组成的6维矢量 （5.54） 从而 含有n个关节的机器人，其雅可比J（q）是6 X n阶矩阵，前3行代表对夹手线速度v的传递比，后3行代表夹手的角速度w的传递比 ，而每一列代表相应关节速度 对于夹手线速度的传递比。这样，可把雅可比J(q)分块为： （5.55） null2. JLi 的求法 1）第i个关节为移动关节时，qi=di, = 设某时刻仅此关节运动，其余关节 静止不动，由（5.55）式可得： 设bi-1为zi-1轴上的单位向量，利用 它可将局部坐标下的平移速度di转换 成基础坐标下的速度 比较上面两式，由于 = JLi =bi-1 null第 i个关节为转动关节时， 设此刻仅此关节运动，其余的关节 静止不动，仍然利用bi-1将zi-1轴上 的角速度转化到基础坐标中去 （5.56） 右图中的矢量ri-1，e 起于Oi-1,止于On, 所以由wi产生的线速度为 而 （5.57） 所以 将（5.56）代入（5.57）得 （5.58） null3. Jai的求法 1）第i个关节为移动关节时，qi=di, = ，由于移动关节的平移不对手部产生角速度，所以此时 Jai=0 (5.59) 2)第 i个关节为转动关节时, ,由（2.56）得 （5.60） 综合以上所述，可得： 当第i个关节为移动关节时 （5.61） 当第i个关节为转动关节时 （5.62） null4.确定bi-1h和ri-1,e 用b表示zi-1 轴上的单位向量， 把它转换在基础坐标中， 即为： （5.62） 用O，Oi-1,On分别表示基础坐标系，i-1坐标 及手部坐标系的原点，用矢量x表示在各自 坐标系的原点 把ri-1,e用齐次坐标表示，令 所以5.8 雅可比逆矩阵（The Inverse Jacobian）5.8 雅可比逆矩阵（The Inverse Jacobian） 当微分变换是由直角坐标空间向关节坐标空间进行时，由式（5.53）可得到 （5.72） 上式等号右边矩阵是雅可比逆矩阵。显然，用符号运算来得到雅可比逆阵是很困难的。 5.9 本章小结（Summary）5.9 本章小结（Summary） 本章介绍了微分变换的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用。 首先我们给出了微分变换矩阵的两种表示方式，即 （5.7） 和 （5.8） 其中式（5.7）是针对基坐标的微分变换表达式，式（5.8）是针对T坐标的微分变换表达式。式中的 称为微分变换算子，它是针对基坐标的；而 则是针对T坐标的。 微分变换算子 由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即 （5.22） null 式中的微分旋转向量δ的各个分量δx，δy，δz是分别绕基坐标的x、y、z轴旋转的角度，如果微分旋转是绕任意向量k旋转一个微小角dθ，则其对应的各个分量为 （5.21） 微分变换算子 与 的转换公式为 （5.27） 式（5.27）中T是由旋转向量n、o、a和平移向量p组成的齐次变换矩阵， 的各个元素可由 的元素计算得到，计算公式如下 （5.40） （5.41） 根据微分变换的基本原理和方法，我们推导了机械手的末端直角坐标与各关节坐标的微分变换关系和相应的计算方法，这就是所谓的雅可比矩阵和逆雅可比矩阵。