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实验 三 函数的最值与导数
[实验目的]
1. 加深对导数的认识；
2. 学会求函数最值的方法并能运用到实际问题中去。
在科研生产中，经常遇到优化问题，如资源的最优利用、企业职工岗位的最优安排等等，在着类问题中，要解决的最基本问题便是如何求函数的最值。本实验我们将探讨求一元函数的最值问题，并由此加深对导数概念的认识。
§1 基本理论
1.1极值与最值
如果函数f(x)在x0的一个邻域内有定义，除x0外的任意一点x，恒有f(x)
f(x0))，则称点x0为函数f(x)的一个极大值点（或极小值点），f(x0)称为极大值（或极小值），极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果[a,b]上有一点x ,使得对[a,b]上所有的x，恒有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，则称函数f(x)在[a,b]上有最大值（或最小值），最大值和最小值统称为最值，x0称为最值点.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则[a,b]在[a,b]上能取到最大值与最小值；若连续函数在闭区间上只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点.
1.2函数的导数
设函数f(x)在点xo的某邻域内有定义,若极限
EMBED Equation.3
存在,则称此极限为函数f(x)在点x0处的导数,记为
,即
如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点处都可导,则称此函数在区间(a,b)内可导.此时,对于区间(a,b)内每一点x,都有对应的导数值
,故
是x的函数,称为f(x)的导数
§1 实验内容与练习
2．1 最值问题与求解
问题1 在地面上建有一座圆柱形水塔，水塔内部的直径为d，并且在地面处开了一个高为H的小门。现在要对水塔进行维修施工，施工
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
要求把一根长度为l(l>d),的水管运到水塔内部。请问水塔的门高H多高时，才有可能成功的把水管搬进水塔内？
图3。1 水塔截面示意图
解 如图3。1建立直角坐标系。水管运进水塔时，一端在地面上水平滑动，另一端在水塔壁上垂直滑动。设水管运动过程中，在入门处的高度为h，水管与地面的夹角为(0<
表
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。
第二步 因f(x)在[a,b]上有一个极小织，故必在k(0<=k<=n),市的下面两式成立：
f(a)>=f(a+h)>=…>=f[a+(k-1)h]>=f(a+kh);
f(a+kh)<=f[a+(k+1)]<=…<=f(a+nh)<=f(b).
取a1=a+(k-1)h,b1=a+(k+1)h, 因f(x)为连续函数，故所求f(x)的极小值必落在区间[a1,b1]上，我们取x1=(a1+b1)/2为近似极小值点。
第三步 在[a1,b1]上重复步骤一、二。
继续上面的步骤，就得到一系列区间[a1,b1],[a2,b2],…[an,bn],…及极小值点的近似值x1,x2,…,xn,…, 并且有
[a1,,b1]
[a2,b2]
… [an,bn]
…,
EMBED Equation.3 及
(c未极小值)。
练习2 对前面给出的函数f(x)=(x^5-3x^2+2)e^x+x,是按上面的步骤，求其在x=1附近的极小值点(精确到10-3).
如果连续函数在闭区间上只有一个极大值点，我们可以采用完全类似的步骤找出，在此不再详述。
练习3 求函数f(x)=(1-x)*x
在X=
附近处的极大值点。
上面给出的方法其实基于这样一个事实：当一个连续函数的函数值减少到不能在减时 ，函数便取得了一个极小值；当一个连续函数的函数值增加到不能在增时，函数便取得了一个极大值。即在其左右函数的单调性发生变化的点一定是函数的极值点。当我们将函数的一个极值区间（设函数在该区间内有且只有一个极值点）分割成许多小区间，发现函数在某个小区间内单调性发生了变化时，则可以肯定函数的极值点在这个小区间内，这个小区间边是函数的一个新的极值区间。这正是上面方法形成的理论依据。不过，判别函数在一个区间[a,b]上单调性是否发生变化，也可以选定区间上的三个点，比如，a,c=
,b,然后计算算式
与
，并比较它们的符号。若符号不一样，则可以判断单调性发生了变化，否则可判定单调性没有发生变化。此种方法比前一种方法要简单一些，并且在取到极大值还是极小值。例如，对函数f(x)=(x5-3x2+2)ex+x,取初始极小值区间为[0.5，1.5]，取步长h=0.1,可得表3.1：
表3.1 搜索f(x)=(x5-3x2+2)ex+x极值区间所得的数据
分点Xi
函数值f(xi)
的符号
0.50
2.61242
-
0.60
2.41804
-
0.70
2.10547
-
0.80
1.70731
-
0.90
1.29474
-
1.00
1.00000
+
1.10
1.04145
+
1.20
1.75884
+
1.30
3.6591
+
1.40
7.47566
+
1.50
14.2448
从表中的第三列可判断函数f(x)在区间 [0.90,1.10]内单调性发生了变化，并且随X的增大，函数f(x)由单调减少变为单调增加，故[0.90,1.10]是f(x)的一个新的更小的极小值区间，这与从第二列直接比较函数值得到的结果是完全一致的。因此，我们可以通过观察每个小区间端点处函数值之差与自变量之差的比值（即函数与自变量的增量比）的方法，去代替直接观察每个分点处函数值的方法，获得函数更小的极值区间。
练习4 用上面的方法判定函数f(x)=(1-x)x
在 (-1,0)内有无极值点.
按上面的说法,每次取极值区间的中点为近似极值点,当步骤增加是,会得到极值点越来越精确的近似点.但这种方法是否可以求得极值点的精确位置呢?从理论上来说一般不会求得,在实际计算时只有在一种非常特殊的情况下才能得到,这种情况就是:若干步之后, 极值点每次都是区间的分割点.
例1 求函数y=
x+
在区间(0,2) 上的最大值.
分别取步长0.5,0.1,0.05等等划分区间,可得表3.2.
通过简单的计算,我们发现近似极值点1.02恰好就是例中函数的精确极值点.这种情况是非常少见的,如将例中函数改为 ,用相同的方法与步骤搜索后,我们发现结果与表3.2所列完全一致,但显然1.02不是这个函数的精确极值点,所以我们搜索的结果只能对极值点作出猜测,明确的回答必须借助理论工具.
表3.2 搜索到的近似极值点
步长h
极值区间
近似极值点
步长h
极值区间
近似极值点
0.5
[0.5,1.5]
1
0.005
[1.015,1.025]
1.02
0.1
[0.9,1.1]
1
0.001
[1.019,1.021]
1.02
0.05
[0.95,1.05]
1
0.0005
[1.0195,1.0205]
1.02
0.05
[1.01,1.03]
1.02
现在我们针对一般情形,讨论函数极值点的判别问题.
设连续函数f(x)的区间(a,b)内有有一个极小(大)值点x=x0.用前面给出方法,若能求出f(x)这个精确极值点,那么当步长h充分小时, 总是区间的分割点,且
EMBED Equation.3
,
,
故
EMBED Equation.3 ,
.
上式左端的两个极限若存在,它们分别是函数f(x) 在x=x0 的左导数和右导数,此时上式可写为
EMBED Equation.3
该式是极小(大)值点所满足的必要条件.其实,(3.2)式的成立与 是否为我们前面给出的方法中区间的分割点无关,这一点,从该式的推导过程中可以看得很清楚.
练习5 用于上面类似的方法讨论非极值点所要满足的条件。
例2 判别x=2,-1,0,1,2是否为函数f(x)=(x2+1)ex的极值点。我们可执行下列程序来判断上面那些点满足(3.2)式。
Clear[f,x];
F[x_]=(x2+1)*Exp[x];
For[I=0,I<5,I++,xo=-2+1;a=Limit[(f[x0]-f[x0-h])/h,h->0,Direction->-1];b=Limit[(f[x0+h]-f[x0])/h, h->0,Direction->-1];
Print[xo,” “,a,” “,b]
]
运行得
-2 1/E2 1/E2
-1 0 0
0 1 1
1 4E 4E
2 9E2 9E2
可知除x=-1外，其他点都不是极值点；当x=-1时，(3.2)式成立，故x=-1可能使f(x)的一个极值点。
练习6 通过练习5的讨论，你能否找到一个方法，判断练习3中的X=1是否为极值点？
练习7 判别X=0是否为函数f(x)=(1-x)x
的极值点，若是，你能否找到一个方法证明它是极大值点或极小值点？
2.2 函数的导数
如果函数在某点的左右导数不相等（包括左右导数都存在但不相等、左右导数至少有一个不存在两种情况），则可以断定函数在该点的导数一定不存在，即函数再此点不可导。
练习8 函数f(x)=sinx 在x=0处可导吗？
由例2可知，函数f(x)=(x2+1)ex在索要判断的5个点处，左右导数都是相等的。其实，指一个现象十分普遍，对于这个函数，用下列语句
Limit[(f[x]-f[x-h])/h,h->0,Direction->-1]；
Limit[(f[x+h]-f[x])/h, h->0,Direction->-1];
可分别求出
所以他在任何点处的左右导数动相等，并且等于相等处的导数值。这就是说，该函数在任何点处的导数皆存在。
倒数究竟是什么呢？其发明者Newton在他的巨著《自然哲学的数学原理》一书中写道：“消失量的最终比，严格的说，不是最终量的比，而是这些量无限减少时，他们之比所趋近的极限。而他们与这个极限虽然比任何给出的差更小，但是这些量无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。“（这里消失量的最终比指的就是导数。）正如导数本身定义一样，Newton的描述也是比较抽象的。其实，我们可以较直观地从几何上较直观地来理解导数。
由定义，我们知道
,
的值是连结点(x0,f(xo)) 与 （xo+h,f(x0+h)）的直线的斜率，这种直线称为曲线y=f(x)在点(x0,f(xo))的割线。因此，
与
分别是曲线y=f(x)在点(x0,f(xo))处左右割线斜率的极限。换句话说，
与
分别是曲线y=f(x)在点(x0,f(xo)) 处左右割线的极限位置的斜率。图3.3
给出了函数
在对应于x=0处的左右割线。
练习9 图3.3中两割线的极限位置是否存在?为什么?
执行下面的程序，将会得到以上曲线在相应于x=0.4的一系列割线Clear[f,x];
f[x_]:=(1-x)*x^(2/3)
(*有时要将x^(2/3)写为(x*x)^(1/3)*);
For[h=0.4,h>10^(-4),h*=0.8,
Plot[{f[x],f[0.4]+(f[0.4+h]-f[0.4])/h*(x-0.4)
(*右割线*)
f[0.4]+(f[0.4+h]-f[0.4])/h*(x-0.4)}
(*左割线*)
{x,-0.5,1}]
]
练习10 运行该程序，观察左右割线的极限位置会不会重合，并且说明原因。若用Edit 菜单下的子菜单Select All Cells 选中由以上程序产生的所有图形，再按“Ctrl_Y”或点
Graph菜单下的Animate Selected Graphics,可观看到割线变化的动画。
如果曲线y=f(x) 在点处 (x0,f(x0))左右割线的极限位置重合，则割线的这个极限称为曲线在点(x0,f(x0))处的切线，排除切线为竖直直线的情况，切线的斜率恰好是函数f(x)在X= x0处的导数值；反之，如果函数y=f(x)在某一点x0的导数存在，则曲线y=f(x)在相应于X= x0
处左右割线的极限位置必然重合，故曲线在该点有切线。这就是说，“函数在某点可导”与“曲线在相应点有不平行于Y轴的切线”是两个等价命题。
2．3导数的计算
1． 求导命令D
在Mathematica软件中，可用语句
D[f(x),x]
计算函数f(x)的导函数；若要求f(x)在x=a处的导数，只要将x=a赋给上面的导函数便可得到，或直接使用命令D[f(x),x]/.x->a;而命令
D[f(x),{x，n}]
求的是函数f(x)对x的n阶导函数。
练习11 用上面求导命令计算下列函数的导数：
（！）arctan
(2)Ln(x+
) (3)xarcsin
(4)xtanx (5) 已知 f(t)=ln(1+a-2t) ，求 f’(0)_
练习12 .设
,求
与
│
.
2.隐函数与由参数方程确定的函数的导数
求隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数,需将求导命令与其他命令结合起来,才能奏效!
例3 求由方程
确定的函数y=y(x)的导数.
与笔算的做法一样,先在方程两边对变量x求导,再从所得方程中解出
即可,这两个步骤分别可由以下两个语句完成:
;
Solve[%,D[y[x],x]]
将它们合并，就成为
Solve[
,D[y[x],x]]
运行之后可求出
注 在方程中要将y写成y[x]，表示y是x的函数，若忽略这一点，将得出错误的结果，读者不妨一试
例4 x=R(t-sint), 求
y=R(1-cost),
由下面的语句可得所求的导数：
Clear[x,y,t];
X=R*(t-sin[t]);y=R*(1-cos[t] );
D[y,t]/D[x,t]
结果
练习13 设arctan
=ln
求
’
’’
练习14 求由下列参数方程所确定的函数的导数：
（1） x=
y=
(2) x=cos3t
y=sin3t
2.4 极值的计算
1. 直接用Mathematica语句计算
Mathematica软件中提供了求极小点与极小值的语句
FindMinimum[f[x],{x,x0}]
执行该语句将得到函数f(x)离x=x0最近的极小点与相应的极小值。
练习15 执行语句FindMinimum[Sin[x],{x,x0}],x0分别取为-6,-4,0,2,4等，画出函数f(x)=sinx的图形以判断结果是否正确。
对于存在不可导点的连续函数，要用FindMinimum语句求极小值，通常学要给出两个初值点。
练习 16 用Findminimum 语句求函数 f(x)=|x^2-3x-2| 在x=0附近的极小值。
要求函数f(x)的极大点，可以用命令Findminimum[-f[x],{x,x0}]这是因为函数-f(x)的极小点恰好就是函数f(x)的极大点。
练习17 用FindMinimum语句求函数f(x)=x2cosx+ln|x|在x=1附近的极大点与极大值。
2． 利用导数计算
前面我们已经指出，若X= x0函数f(x)的极值点，当f(x)在x0处的左右导数存在时，（3。2）式必成立。如果函数f(x)在X= x0处可导，（3。2）式可进一步写为f‘（X）=0
在某区间[a,b]上所以我们获知函数f(x)在某区间[a,b]上可导时，我们可以通过求解方程f‘（X）=0来得到f(x) 在区间[a,b]上所有可能的极值点（称为驻点）。若这些点的个数有限，我们只要比较这些点的区间端点x=a,x=b处的函数值，便能求出函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值了。
例5 求函数
在[-3,5]上的最大至与最小值。
依据前面的讨论，我们编写以下的程序
Clear[f,z,k,x];
F[x_]:=3*x^4-4*x^3-6*x^2+12*x;
Z=Slove[D[f[x],x]==0,x](*求f(x)的驻点*)k=Inion[({x,f[x]}/.z{{-3,f[-3]},{5,f[5]}});
(*k为所有可能的最大值与最小之列成的表*)
fk={}；1=Length[k](*将fk设置为所有可能的最值*);For[I=0,I<1,I++;
fk=Append[fk,k[[I,2]]]
];
fmax=Max[fk];fmin=Min[fk];
pmax=Position[k,fmax][[1,1]];
pmin= Position[k,fmin][[1,1]];
Print[k[[pmax]],””,k[[pmin]]]执行后得到{5,1285}{-1,-11}
因5与-1皆在区间[-3,5]内，故索求的最大值为1285，最小值为-1
练习 18 求函数
在区间[-2,2]上的最大值与最小值。
如果连续函数f(x)存在不可导的点，可以先画出f(x)的图像，找出它的可导区间与不可导点的大致位置，然后综合运用本小姐给出的两种方法，求出函数的极值与最值。
练习 19 求函数
|x|
-|x-1|
在区间[-2,2]上的最大至于最小值。
练习20 谋不动产商行能以5%年利息率界的贷款，然后他又把此款待给顾客。若它能带出的款额与他贷出的利率的平方成反比（利率太高无人借贷）。问以多大的年利率贷出能使商行获利率最大？
练习21 对式（3.1），设l=10,d=6,试求h的最大值。
§3 本实验涉及的Mathematica软件语言说明
1.D[f[x],x]
求函数f(x)的导函数
2.Solve[f[x]==0,x]
求出满足方程 的 值，若能求出，结果为{{x->x0},{x->x1},…}．
３.f[x]/.x->a
计算f(a)
4.Union[a,b]
计算集合a与b的并集.
5.Position[表,表达式]
“表达式”在表中出现的位置列表.
6.fk=Append[fk,k[I,2]]]
将元素k[[I,2]]添加到数集fk中。
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