数列求通项公式的常见题型与解题方法

数列求通项公式的常见题型与解题方法 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法． 数列这一章的主要章节结构为： 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大． 我仅对数列求通项公式这一部分内容做一个浅显的分析与提炼． 题型1 已知数列前几项求通项公式 在我们的教材中，有这样的题目： 1． 数列 的通项 ． 2．数列 的通项 ． 3．数列 的通项 ． 此题主要通过学生观察、试验、合情推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生数学思维能力．相对于填空题或是选择题只需利用不完全归纳法进行猜想即可；对于解答题，往往还需要我们进一步加以证明． 例如（2003年全国高考）已知数列 满足 ． (Ⅰ)求： ； (Ⅱ)证明： ． 分析：问题（１）主要渗透一般化 特殊化，利用已知的递推公式求具体． 问题（２）与问题（１）紧密相连，可以从特殊入手，归纳论证相结合，求一般．当然还可用后面介绍的方法即注意到进行 ，由特殊化归为等比数列等加以证明．本题贯穿特殊化与一般化的思维方法，实质上是归纳中的综合． 课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能． 例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式： 练习１:写出下面数列的一个通项公式： 练习２．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表． 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内． 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （140）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ 85）88 练习３．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第 个图中有__n2-n+1_个点． （1） （2） 　 （3） 　　（4） 　　　　　　（5） 相关的高考试题有： （2004年全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项 分析：由已知， ． 由 生成 两式相减得： ，即 为商型的，用累乘法可得 即 ． （2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 堆第 层就放一个乒乓球，以 表示第 堆的乒乓球总数，则 ； （答案用 表示）. 题型2 由an与Sn的关系求通项公式 在我们的教材中，有这样的题目： １． 已知数列 的前 项和 ，则 n ． ２． 已知数列 的前 项和 ，则 ． 这类题目主要注意 与 之间关系的转化．即： = = ． 一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式． 例如：（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn= （an-1） (n )． (Ⅰ)求a1；a2； 　(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列． 解: (Ⅰ)由 ,得 ∴ EMBED Equation.3 又 ,即 ,得 . (Ⅱ)当n>1时, 得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列． 课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能． 例3.数列{an}的前n项和 Sn=3·2n-3,求数列的通项公式. 练习1：设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列. 练习2：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an． 相关的高考试题有： (2004全国卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1． （Ⅰ）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有 . .解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1； 当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2 a2=0； 当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2； 综上可知a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得： 化简得： 上式可化为： 故数列{ }是以 为首项, 公比为2的等比数列. 故 ∴ 数列{ }的通项公式为： . ⑶由已知得： EMBED Equation.DSMT4 . 故 ( m>4). （2006年湖北卷）已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前n项和为 ，点 均在函数 的图像上． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ， 是数列 的前n项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数m． 点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力． 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点 均在函数 的图像上，所以 ＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ ＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （ ）. （2006年安徽卷）数列 的前 项和为 ， 已知 ． （Ⅰ）写出 与 的递推关系式 ，并求 关于 的表达式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ． 解：由 EMBED Equation.DSMT4 得： ，即 ，所以 ，对 成立． 由 ， ，…， 相加得： ，又 ，所以 ，当 时，也成立． （Ⅱ）由 ，得 ． 而 ， ， ． 题型3 已知数列递推公式求通项公式 在我们的教材中，还有这样的类型题： 1． 已知数列 的首项 ，且 ，则 3n-2 ． 2．已知数列 的首项 ，且 ，则 ． 3．已知数列 的 ， 且 ，则 1 ． 4． 已知数列 的 ， 且 ,则 n ． 这类问题是通过题目中给定的初始值和递推公式，在熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式的推导方法的基础上，产生的一系列变式． 我们应清楚的意识到： 1．证明数列 是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或 而得． 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解． 3.等差数列、等比数列求通项公式涉及的迭代、累加、累乘、构造等方法． 我们具体进行如下分析： 一、由等差，等比演化而来的“差型”，“商型”递推关系 题组一： 数列 中， ，求 的通项公式 ． 变式1：数列 中， ，求 的通项公式 ． 变式2：数列 中， ，求 的通项公式 ． 变式3：已知数列 满足 ， ，求 ． 变式4：数列 中， ，求 的通项公式 ． 分析：①等差数列： 生成： ， ，… ， 累加： = 由此推广成差型递推关系： 累加： = ，于是只要 可以求和就行． 题组二、 已知数列 的首项 ，且 ，则 ． 变式1：已知数列 的首项 ，且 ，则 ． 变式2：数列 中， ，求 的通项公式． 变式3：数列 是首项为1的正项数列， 且 ，求 的通项公式． 分析：②等比数列： 生成： ， ，… ， 累乘： = 由此推广成商型递推关系： 累乘： EMBED Equation.3 为了提高，我们还可以引用下列例题： 例1、 若数列 满足： ． 求证：① ； ② 是偶数 ． 证明：由已知可得： 又 = 而 = 所以 ，而 为偶数． 例2、已知数列 ，且 , 其中k=1,2,3,……. （I） 求 ； （II）求{ an}的通项公式. 解（Ⅰ）（略） (II) 所以 ，为差型 故 = ． ． 所以{an}的通项公式为： 当n为奇数时， ； 当n为偶数时， ． 二．由差型，商型类比出来的和型，积型：即 例如：数列 中相邻两项 ， 是方程 的两根，已知 ，求 的值． 分析： 由题意： + 　　① 生成： + ② ②—①： ． 所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差． 其基本思路是，生成，相减；与“差型”的生成，相加的思路刚好相呼应．到这里本题的解决就不在话下了． 特别的，若 + ，则 ． 即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等． 若 ① 则 ② ②÷①： ． 所以该数列的所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比． 其基本思路是，生成，相除；与“商型”的生成，相乘的思路刚好相呼应． 特别地，若 ，则 ． 即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等． 三．可以一次变形后转化为差型，商型的 1． 例如：设 是常数，且 ，（ ）． 证明： ． 分析：这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳法，现在我们考虑用推导的方法来处理 的三种方法： 方法（1）：构造公比为—2的等比数列 ，用待定系数法可知 ． 方法（2）：构造差型数列 ，即两边同时除以 得： ，从而可以用累加的方法处理． 方法（3）：直接用迭代的方法处理： EMBED Equation.3 ． 说明：①当 时，上述三种方法都可以用； ②当 时，若用方法1，构造的等比数列应该是 而用其他两种方法做则都比较难． ③用迭代法关键是找出规律，除含 外的其它式子，常常是一个等比数列的求和问题． 2． 型 例如：已知 ，首项为 ，求 ．（2003年江苏卷22题改编） 方法1：两端取常用对数，得 ， 令 ，则 ，转化如上面类型的． 特别的，a=1，则转化为一个等比数列． 方法2：直接用迭代法： EMBED Equation.3 四． 型的 利用 转化为 型，或 型 即混合型的转化为纯粹型的． 例如： 已知数列 的前n项和Sn满足 (Ⅰ)写出数列 的前3项 (Ⅱ)求数列 的通项公式． 分析： -① 由 得 -② 由 得， ，得 -③ 由 得， ，得 -④ 用 代 得 -⑤ ①—⑤： 即 --⑥ EMBED Equation.3 -⑦ 又如：数列 的前n项和记为 ，已知 证明：数列 是等比数列 方法1∵ ∴ 整理得 所以 故 是以2为公比的等比数列. 方法2：事实上，我们也可以转化为 ，为一个商型的递推关系， 由 = ． 当然，还有一些转化的方法和技巧，如基本的式的变换，象因式分解，取倒数等还是 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 掌握的． 生成与迭代是递推关系的最重要特征．递推关系一般说来，是对任意自然数或大于等于2的自然数总成立的一个等式，自然数n可以取1，2，3…n，n+1等等，这样就可以衍生出很多的等式．这就是所谓的生成性．对于生成出来的等式，我们往往选一些有用的进行处理．比如相加，相减，相乘，相除等，但用的最多的还是由后往前一次又一次的代入，直到已知项．这种方法就叫迭代．上面的很多例题都可以体现这一点．这种很朴素的思想，对于相关的其他数列问题也是非常有效的． 这类的高考试题也比比皆是，如： （2004年全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项 分析：由已知， 由 生成 两式相减得 ，即 为商型的，用累乘法可得 即 ． 2.已知数列 中， 是其前 项和，并且 ， (Ⅰ)设数列 ，求证：数列 是等比数列； (Ⅱ)设数列 ，求证：数列 是等差数列； （Ⅲ）求数列 的通项公式及前 项和． 分析：由于{b }和{c }中的项都和{a }中的项有关，{a }中又有S =4a +2，可由S -S 作切入点探索解题的途径． 解：(1)由S =4a ，S =4a +2，两式相减，得S -S =4(a -a )，即a =4a -4a ．(根据b 的构造，如何把该式表示成b 与b 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) a -2a =2(a -2a )，又b =a -2a ，所以b =2b 　　　 ① 已知S =4a +2，a =1，a +a =4a +2，解得a =5，b =a -2a =3　　 ② 由①和②得，数列{b }是首项为3，公比为2的等比数列，故b =3·2 ． 当n≥2时，S =4a +2=2 (3n-4)+2；当n=1时，S =a =1也适合上式． 综上可知，所求的求和公式为S =2 (3n-4)+2． 说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前 项和．解决本题的关键在于由条件 得出递推公式． 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 3.（04年重庆）设a1=1,a2= ,an+2= an+1- an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)． (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式； (Ⅱ)求数列{nan}的前n项的和 ． 解：（I）因 EMBED Equation.3 故{bn}是公比为 的等比数列，且 （II）由 注意到 可得 记数列 的前n项和为Tn，则 ． 4.（04年全国）已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，…． （I）求a3,a5； （II）求{an}的通项公式． 解：（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1, a3－a1=3+(－1). 所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1) =(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)], 由此得a2k+1－a1= (3k－1)+ [(－1)k－1], 于是a2k+1= a2k= a2k－1+(－1)k= (－1)k－1－1+(－1)k= (－1)k=1. {an}的通项公式为： 当n为奇数时，an​= 当n为偶数时， 5.（2004年全国）已知数列 ，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式． 6.(2004年天津理)已知定义在R上的函数 和数列 满足下列条件： ， ，其中a为常数，k为非零常数． （I）令 EMBED Equation.3 ，证明数列 是等比数列； （Ⅱ）求数列 的通项公式； （Ⅲ）当 时，求 ． 7.(2006年重庆卷)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________． 解析：在数列 中，若 ，∴ ，即{ }是以 为首项，2为公比的等比数列， ，所以该数列的通项 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 8.（2006年福建卷）已知数列｛a ｝满足a =1,a =2a +1(n∈N ) （Ⅰ）求数列｛a ｝的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足4k​1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),证明:{bn}是等差数列； （Ⅲ）证明: (n∈N*)． 解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力． （I）解： 是以 为首项，2为公比的等比数列． 即　 （II）证法一： 　　　　　　　　　　　　　① 　 　　　　　② ②－①，得 即 　 ③－④，得　 即　 是等差数列． 证法二：同证法一，得 　 令 得 设 下面用数学归纳法证明　 （1）当 时，等式成立． （2）假设当 时， 等式成立，那么 这就是说，当 时，等式也成立． 根据（1）和（2），可知 对任何 都成立． 是等差数列． （III）证明： EMBED Equation.DSMT4 ． � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 … PAGE 5 _1162914870.unknown _1212065437.unknown _1285100408.unknown _1287834651.unknown _1287836949.unknown _1287837612.unknown _1287837649.unknown _1287837734.unknown _1288167297.unknown _1287837732.unknown _1287837733.unknown _1287837658.unknown _1287837731.unknown _1287837628.unknown _1287837637.unknown _1287837620.unknown _1287837092.unknown _1287837189.unknown _1287837232.unknown _1287837281.unknown _1287837299.unknown _1287837251.unknown _1287837212.unknown _1287837140.unknown _1287837161.unknown _1287837101.unknown _1287837010.unknown _1287837034.unknown _1287836998.unknown _1287836902.unknown _1287836911.unknown _1287835638.unknown _1287836810.unknown _1287836822.unknown _1287835751.unknown _1287836754.unknown _1287836716.unknown _1287835664.unknown _1287834854.unknown _1287834907.unknown _1287834796.unknown _1285518344.unknown _1285590792.unknown _1285593970.unknown _1285742294.unknown _1287834343.unknown _1285741504.unknown _1285594211.unknown _1285593787.unknown _1285593828.unknown _1285593203.unknown _1285593402.unknown _1285593116.unknown _1285518812.unknown _1285518852.unknown _1285518989.unknown _1285518774.unknown _1285100760.unknown _1285516842.unknown _1285517303.unknown _1285517436.unknown _1285516884.unknown _1285103186.unknown _1285103405.unknown _1285100465.unknown _1285100544.unknown _1285100451.unknown _1212580768.unknown _1267469629.unknown _1267469655.unknown _1267469767.unknown _1267469887.unknown _1285100395.unknown _1267469977.unknown _1267469834.unknown _1267469729.unknown _1212580830.unknown _1212580881.unknown _1212580804.unknown _1212065445.unknown _1212580517.unknown _1212580695.unknown _1212065441.unknown _1212065443.unknown _1212065444.unknown _1212065442.unknown _1212065439.unknown _1212065440.unknown _1212065438.unknown _1211342631.unknown _1212064680.unknown _1212065361.unknown _1212065365.unknown _1212065391.unknown _1212065435.unknown _1212065436.unknown _1212065393.unknown _1212065395.unknown _1212065434.unknown _1212065394.unknown _1212065392.unknown _1212065389.unknown _1212065390.unknown _1212065366.unknown _1212065363.unknown _1212065364.unknown _1212065362.unknown _1212065357.unknown _1212065359.unknown _1212065360.unknown _1212065358.unknown _1212065354.unknown _1212065355.unknown _1212065353.unknown _1211348851.unknown _1212064673.unknown _1212064675.unknown _1212064676.unknown _1212064674.unknown _1211385190.unknown _1212064672.unknown _1211348985.unknown _1211348984.unknown _1211342983.unknown _1211343208.unknown _1211343320.unknown _1211343360.unknown _1211343443.unknown _1211343547.unknown _1211343412.unknown _1211343342.unknown _1211343298.unknown _1211343309.unknown _1211343273.unknown _1211343104.unknown _1211343150.unknown _1211343159.unknown _1211343124.unknown _1211343059.unknown _1211343072.unknown _1211343037.unknown _1211342822.unknown _1211342912.unknown _1211342957.unknown _1211342885.unknown _1211342772.unknown _1211342798.unknown _1211342663.unknown _1211278827.unknown _1211342284.unknown _1211342478.unknown _1211342522.unknown _1211342595.unknown _1211342490.unknown _1211342362.unknown _1211342380.unknown _1211342323.unknown _1211279019.unknown _1211279141.unknown _1211279191.unknown _1211279079.unknown _1211278894.unknown _1211278936.unknown _1211278854.unknown _1211277822.unknown _1211278669.unknown _1211278744.unknown _1211278790.unknown _1211278683.unknown _1211278563.unknown _1211278628.unknown _1211278520.unknown _1211217973.unknown _1211234760.unknown _1211277789.unknown _1211218151.unknown _1170847695.unknown _1190121041.unknown _1211217854.unknown _1211217941.unknown _1190121091.unknown _1175088833.unknown _1190120937.unknown _1175088845.unknown _1175088832.unknown _1167471663.unknown _1167477100.unknown _1167477167.unknown _1167477034.unknown _1162914944.unknown _1161880680.unknown _1162834284.unknown _1162900197.unknown _1162901752.unknown _1162902403.unknown _1162903583.unknown _1162904341.unknown _1162904912.unknown _1162907464.unknown _1162907545.unknown _1162904492.unknown _1162903791.unknown _1162904018.unknown _1162903589.unknown _1162903470.unknown _1162903535.unknown _1162903411.unknown _1162902066.unknown _1162902100.unknown _1162901939.unknown _1162900993.unknown _1162901490.unknown _1162901729.unknown _1162901360.unknown _1162900339.unknown _1162900916.unknown _1162900246.unknown _1162886662.unknown _1162887692.unknown _1162899087.unknown _1162899775.unknown _1162899977.unknown _1162899250.unknown _1162898889.unknown _1162887021.unknown _1162887494.unknown _1162887657.unknown _1162887297.unknown _1162886916.unknown _1162837904.unknown _1162838168.unknown _1162886329.unknown _1162886479.unknown _1162886192.unknown _1162838282.unknown _1162837946.unknown _1162837983.unknown _1162834400.unknown _1162835104.unknown _1162837394.unknown _1162837493.unknown _1162835317.unknown _1162834950.unknown _1162834367.unknown _1162645035.unknown _1162645705.unknown _1162833205.unknown _1162834008.unknown _1162834213.unknown _1162833419.unknown _1162833823.unknown _1162833490.unknown _1162833322.unknown _1162708300.unknown _1162711860.unknown _1162713723.unknown _1162833105.unknown _1162713585.unknown _1162708363.unknown _1162646067.unknown _1162645504.unknown _1162645531.unknown _1162645599.unknown _1162645519.unknown _1162645458.unknown _1162645488.unknown _1162645152.unknown _1162642588.unknown _1162644755.unknown _1162644867.unknown _1162644938.unknown _1162644835.unknown _1162643049.unknown _1162643213.unknown _1162644640.unknown _1162644727.unknown _1162643430.unknown _1162643523.unknown _1162643360.unknown _1162643080.unknown _1162642641.unknown _1162642807.unknown _1162642629.unknown _1162641276.unknown _1162642343.unknown _1162642455.unknown _1162642483.unknown _1162642373.unknown _1162641809.unknown _1162642318.unknown _1162642337.unknown _1162641444.unknown _1162640929.unknown _1162641020.unknown _1162641077.unknown _1162640768.unknown _1162640878.unknown _1161973586.unknown _1162640723.unknown _1148480502.unknown _1149056463.unknown _1161878122.unknown _1161878733.unknown _1161879514.unknown _1161880578.unknown _1161879600.unknown _1161879002.unknown _1161879189.unknown _1161878974.unknown _1161878612.unknown _1161878635.unknown _1161878324.unknown _1149237885.unknown _1149242174.unknown _1149242409.unknown _1161877630.unknown _1161877721.unknown _1161878121.unknown _1149242430.unknown _1149242486.unknown _1149242263.unknown _1149242343.unknown _1149242216.unknown _1149242133.unknown _1149242147.unknown _1149242008.unknown _1149056581.unknown _1149062022.unknown _1149056497.unknown _1148480798.unknown _1148796744.unknown _1148811585.unknown _1148811694.unknown _1148811758.unknown _1148811622.unknown _1148811342.unknown _1148729643.unknown _1148796634.unknown _1148796670.unknown _1148729999.unknown _1148795568.unknown _1148729894.unknown _1148729442.unknown _1148729572.unknown _1148729428.unknown _1148480652.unknown _1148480765.unknown _1148480791.unknown _1148480732.unknown _1148480559.unknown _1148480597.unknown _1148480544.unknown _1140777501.unknown _1148454927.unknown _1148455356.unknown _1148480473.unknown _1148480498.unknown _1148455635.unknown _1148480434.unknown _1148455585.unknown _1148455244.unknown _1148455313.unknown _1148455154.unknown _1140779045.unknown _1148362904.unknown _1148363155.unknown _1148453944.unknown _1148454004.unknown _1148363184.unknown _1148363197.unknown _1148363171.unknown _1148363038.unknown _1148363055.unknown _1148362954.unknown _1140779926.unknown _1148362882.unknown _1148362897.unknown _1148296147.unknown _1140779034.unknown _1129783697.unknown _1140777073.unknown _1140777362.unknown _1140777380.unknown _1140777391.unknown _1140777372.unknown _1140777260.unknown _1140777327.unknown _1140777337.unknown _1140777312.unknown _1140777117.unknown _1140777043.unknown _1140777056.unknown _1133855919.unknown _1140776838.unknown _1129783989.unknown _1129784100.unknown _1129783975.unknown _1127197376.unknown _1127199603.unknown _1127199819.unknown _1129038371.unknown _1129038416.unknown _1127219011.unknown _1127199646.unknown _1127197590.unknown _1127199534.unknown _1127197496.unknown _1127197319.unknown