6、基础教师

第六讲 植树问题 本讲主要学习直线型、封闭型植树问题以及其他类似于植树模型的问题．包括：锯木头、剪绳子、爬楼梯、时间问题、方阵问题等．通过本讲的学习，要求学生掌握两种类型的植树问题： 　　1、理解并掌握直线型植树问题的基本公式，运用基本公式解答此类问题； 　　2、理解并掌握封闭型植树问题的基本公式，运用基本公式解答此类问题. 通过本讲学习，要求同学们理解掌握直线型、封闭型植树问题计算方法以及其他类似植树问题的模型的计算技巧，培养学生解决应用题的能力． 分析：我们可以把每个大结根四个小结看成一个整体，这样就成了5个结一组，最后还多一个大结，一共26个结，正好是5组再加一个，所以有大结6个，小结20个． （1） 直线型植树问题 解决植树问题，首先要牢记三要素：总路线长、间距（棵距）长、棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个.对于直线型的植树问题，包括三种情况： （1） 在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵.全长、棵数、株距三者之间的关系是：棵数=段数+1=全长÷株距+1；全长=株距×（棵数-1）；株距=全长÷（棵数-1） （2） 在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数. （3） 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比（2）中还少1棵.棵数=段数-1=全长÷株距-1. 株距=全长÷（棵数+1）. 【例1】 （★★）学而思学校旁边的一条路长20米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？ 分析： 从图上可以看出，每隔4米种一棵树，20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：20÷4+1=5+1=6（棵）. [拓展一]小袋鼠每跳一个距离是10米，在一条小路上，从头到尾共留下它的25对脚印，那么这条小路长多少米？ 分析：25对脚印，24个间隔，每个间隔10米，小路长度是：10×24=240（米）. [拓展二]从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树? 分析：该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树： 53-40=13(棵) ， 综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵). 【例2】 （★★★）学而思学校两栋教学楼之间有一排白杨树，一共有18棵，每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米，请问这两栋教学楼之间的距离是多少米？ 分析：因为教学楼墙根不可能种树，所以教学楼之间一共有19个间隔，所以这两栋教学楼之间的距离是3×19＝57（米）． [拓展]两座楼房之间相距40米，每隔4米栽一棵雪松，一共能栽多少棵？ 分析：要以两棵雪松之间的距离用作分段的标准，两座楼房之间的距离可分成若干段.这道题不同于例1，两端不需要栽种(因为不能紧挨着楼房的墙根栽树)，所以要栽的雪松数比分成的段数少1.以4米为一段，40米应分成的段数是：40÷4＝10(段)，栽雪松的棵数是：10-1＝9(棵)，所以，一共能栽9棵雪松. 【例3】 （★★★）小熊家门口有一条小路长50米，从门口开始在小路的一旁每隔5米栽一棵树，问一共栽了多少棵树？ 分析：门口不可能植树，所以这是一个一端种树一端不种的情况，棵树等于段数，所以一共栽树： 50÷5=10（棵）. [拓展]小猴皮皮爱吃桃子，它家门口有一条小路，从门口开始它每隔4米种一棵桃树，共种50棵；现在改成每隔5米种一棵树．求可余下多少棵树? 分析：该题含植树问题、相差关系两组数量关系.这条小路的距离是：4×50=200(米)，间隔距离变化后，两地之间种桃树：200÷5=40(棵)，所以可余下桃树： 50-40=10(棵) . 【例4】 （★★★）在一条长1200米的马路两边每隔30米种一棵梧桐树，在每相邻的2棵梧桐树之间又补栽1棵香樟树．这条马路两边一共栽了多少棵树？ 分析：1200米里有几个30米就有几段，1200÷30＝40（段），马路一边共有梧桐树40＋1＝41（棵），每段里补栽一颗香樟树，马路一边共有香樟树1×40＝40（棵），马路一边共栽了41＋40＝81（棵）树，两边一共栽了81×2＝162（棵）． [拓展]国庆节到了，学而思学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问学而思学校的大门有多宽？ 分析：一共挂了21只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20（个），每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：30÷2=15（分米），所以学而思学校的大门宽度为： 15×20=300（分米） 【例5】 （★★★）在学而思学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？ 分析：21棵树，共有20个间隔，每个间隔为5米，所以小路的长度就可以求出来了．加长以后在一侧应种树的棵数应为道路长度除以间隔再加1．所以小路原来的长度：5×（21－1）＝100（米）， 加长后一侧应种的树的棵数：（100＋30）÷5＋1＝27（棵），应补的棵数：27－21＝6（棵）. [拓展] 在一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，而且在路的另一侧补种，共补种了多少棵？ 分析：21棵树，共有20个间隔，每个间隔为5米，所以小路的长度可得，加长以后在一侧应种树的棵数应为道路长度除以间隔再加1．小路原来的长度：5×（21－1）＝100（米），加长后一侧应种的树的棵数：（100＋30）÷5＋1＝27（棵），应补的棵数：27×2－21＝33（棵）. [开心数学]一个小孩子，应该睡多长时间才算睡眠充足呢？大部分研究者认为：八至十岁，平均每天睡11个小时，十至十一岁，平均每天睡10个小时，十一至十三岁，平均每天睡9个小时，如果你每天都睡一个小时午觉，那么早上六点半起床的话，晚上几点睡觉最好呢？自己算一下吧. （2） 封闭型植树问题 封闭型植树问题是指在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。 基本关系式为： 棵数＝总距离÷棵距； 总距离＝棵数×棵距； 棵距＝总距离÷棵数． 【例6】 （★★）学而思学校有一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树．问：共需树苗多少株？ 分析：因为圆形池塘是一个封闭的模型，所以我们直接运用公式棵数＝段数＝周长÷株距，从而有树苗：150÷3＝50（株）. [巩固]学而思学校有一个圆形花坛，花坛周围一共种了25棵月季花，每两棵月季花之间的距离是2米，问：花坛的周长是多少？ 分析：直接套用公式：总距离＝棵数×棵距，所以，花坛周长为：25×2=50（米）. [动脑筋]皮皮家住的小区这几天在搞绿化，一位园艺师把27棵树设计成9行，每行6棵树（如左下图）.另一位园艺师认为不好，因为有3棵树离的太远，显得很孤单.他俩又重新设计了一种方式，仍然是9行，每行6棵，但很集中，没有一棵树单独离得很远，而且排列上也很对称.你知道他们是怎样设计的吗？ 答案如右上图. 【例7】 （★★★）小同家有一个圆形果园，周长是1500米，沿四周每隔6米栽一棵苹果树，每两棵苹果树之间栽一棵桃树，问：果园周围共栽种果树多少棵？ 分析：果园一周全长1500米，每隔6米栽一颗苹果树，说明果园的四周以6米为一段，可以分成 1500÷6＝250(段)，由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数等于棵数，苹果树有250棵；每两棵苹果树之间栽种一棵桃树，也就是有250棵桃树，所以，苹果树与桃树一共有：250+250=500（棵）. [拓展]点点家有一个圆形花坛，周长是180米，每隔6米种芍药花，每相邻两棵芍药花之间种两棵月季花，可以栽多少棵芍药花，多少棵月季花? 分析： 花坛的一周全长180米，每隔6米种一棵芍药花，说明花坛的四周以6米为一段，可以分成 180÷6＝30(段).由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数等于棵数，也就是种30棵芍药花；两棵芍药花之间种两棵月季花，也就是说每段里有2棵月季花，30段就有30个两棵，一共有30 ×2＝60(棵)月季花． 所以，芍药花的棵数为：180÷6＝30(棵)，月季花的棵数为：2×30＝60(棵). 【例8】 （★★★）有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？ 分析：正方形操场也属于封闭的模型，但是它与圆又有一点区别，因为正方形的角被两条边公用．所以上题中每边都有17棵树，其实平均每边只有16棵树，从而得出一共有16×4＝64（棵）． [前铺] 在正方形的四条边上栽树，每边栽3棵，最少要栽多少棵? 分析 ：画图分析，可看出最少8棵． [巩固] 在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四角都种一棵），一共种多少棵？ 分析：（法1）封闭图形，棵数等于段数．每边10－1＝9（段），四边4×9＝36（棵）； （法2）由例题可得4＋（10－2）×4＝36（棵） [拓展一]一块三角形地，三边长分别为156米、234米、186米，要在三边上植树，株距6米，三个角上各有一棵，共植树多少棵? 分析：三角形的周长为：156+234+186=576（米），株距为6米，封闭图形，根据公式， 共植树：576÷6=96（棵） [拓展二]把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚.然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子.问：每条边上黑、白棋子共有多少枚？ 分析：一共有50枚棋子，放在5条边上，所以平均每条边上放50÷5=10枚黑棋子，又因为每个角上都有一枚棋子，所以实际上每条边上有10+1=11枚黑棋子.11枚黑棋子之间有10个间隔，所以白棋子数是10×2=20（枚）. （3） 特殊类型的植树问题 【例9】 （★★）丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，他们从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁丁到16层时，爸爸跑到了几层？ 分析：丁丁实际跑了三层的距离，爸爸跑了两层的距离，到16层需要跑15层的间隔，所以丁丁跑了15÷3＝5（个）三层的间隔，爸爸同时跑了5个两层的间隔．所以爸爸跑了5×2+1＝10＋1＝11（层）． [巩固]王欣家住七楼，他从一楼走到二楼要用1分钟．那么他从一楼走到七楼要用几分钟？ 分析:从一楼到二楼有1层楼梯，从一楼到七楼就有6层楼梯：7－1＝6（层）．走一层楼梯用1分钟，那么走6层楼梯就要用6分钟． [拓展]晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．那么从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同) 分析：题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下： 每相邻两层楼之间台阶数：36÷(3-1)=18(级)，从第一层走到第六层共有台阶数： 18×(6-1)=90(级)，所以从第一层走到第六层需要走90级台阶． 【例10】 （★★★）一根木头锯5次需要2分钟30秒，现在要把一根木头锯成9段，需要多长时间？ 分析：我们要知道一根木头锯一次能把木头分成两段，锯两次分成3段，所以要锯成9 段，就要锯8次，而锯5 次需要2分30秒，2分30秒=150秒，一次就需要150÷5=30（秒），所以一共需要8×30=240秒=4分钟． [巩固]将一根木料锯成5分米长的小段，一共花了12分钟，已知锯下一段要花3分钟，问：这根木料有多长？ 分析：锯全部木料一共花了12分钟，锯下一段要花3分钟，所以一共锯了12÷3=4（次），一共是 4+1=5（段），木料的长为：5×5=25（分米）. 【例11】 （★★★）时钟4点钟敲4下，共用12秒敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？ 分析： 从图中可以看出，时钟敲4下用去12秒的时间，其实是用在3个时间的间隔处，每个间隔时间是 12÷（4-1）=4（秒），再看图，敲6下有5个时间间隔，也就是有5个4秒，所以敲6下要用去 4×（6-1）=20（秒）. [巩固]有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，六点时，5秒钟敲完，那么十二点时，几秒钟才能敲完？ 分析：六点时敲6下，中间共有5个间隔，所以每个时间间隔是5÷5=1（秒），十二点要敲12下，中间有11个时间间隔，所以十二点要用：11×1=11（秒）才能敲完. [拓展]有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒.如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒.现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？ 分析：每次敲完以后，声音持续3秒，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是43-3=40（秒），而这之间只有6-1=5个间隔，所以每个间隔时间是40÷5=8（秒），现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和3秒的持续时间，一共需要时间是：11×8+3=91（秒）. 【例12】 （★★★）小明家的小狗喝水时间很规律，每隔5分钟喝一次水，第一次喝水的时间是8点整，当小狗第20次喝水时，时间是多少？ 分析：第20次喝水与第1次喝水之间有20-1=19（个）间隔，因为小狗每隔5分钟喝一次，所以到第20次喝水中间间隔的时间是：19×5=95（分钟），也就是1个小时35分钟，所以小狗第20次喝水时时间是：9时35分. [拓展]科学家进行一项试验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？ 分析：我们先要弄清楚从第一次记录到第十二次记录中间经过的时间是多少．做第二次记录时，时间过去了5小时；做第三次记录时，时间过去10小时，……，做第十二次记录时，时间过去了55小时．然后我们要知道55小时后，时针发生了怎样的变化．时针每过12小时就会转一圈回到原来的状态，所以时针转了4圈以后，又经过了7个小时．而这时时针指向9点，所以原来时针指向2点． [韵律小诗]植树问题是什么？想成栽树闹笑话；锯树爬楼安路灯，剪绳敲钟竖线杆； 植树问题很重要，生活当中常遇到，此类问题性质同，归纳成为植树法； 关键数量有哪些，总长段长与棵数.看清路线是前提，数量关系最关键； 如果路线不封闭，请你一一来牢记，头尾两端都种树，段数加一是棵数； 头尾两端都不种，段数减一是棵树；头尾只有一端种，段数棵数一样多； 封闭路线有意思，头尾两端要重合，段数棵数一样多！ 本讲内容只学习直线型、封闭型植树问题以及类似于植树问题的其他模型.我们将在四年级寒假班继续学习植树问题与其他问题的综合，精彩不断，希望同学们再接再厉！ 1. （例1）国庆节时，工厂大门挂一些彩灯，从头到尾一共挂了120只彩灯，每只灯之间相隔2分米，你知道工厂大门有多宽吗？ 分析：大门两边应该也各有一只彩灯，所以彩灯的数目比分成的段数多1，从而得出大门被彩灯分成120－1＝119（段），所以大门的宽度为119×2＝238（分米）． 2. （例6）一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔5米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？ 分析：根据公式，150÷5=30（棵）. 3. （例9）小张要到中鼎大厦的八层去上班，一日因停电，他步行上楼，他从一层到六层用了100秒，如果他以同样的速度走到八层，还需要多长时间？ 分析：小张从一层到六层其实只走了5个楼梯段，共用了100秒，说明每走一个楼梯段需要 100÷5＝20（秒），从一楼到八层共有七个楼梯段，那么一共需要7×20＝140（秒），所以小张从六层到八层还需要140－100＝40（秒）． 4. （例10）一根木料截成5段要16分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟？ 分析：每截一次需要：16÷（5-1）=4（分钟），截成7段要4×（7-1）=24（分钟）. 5. （例11）时钟5点钟时敲5下，共用12秒敲完，那么12点钟时几秒钟敲完? 分析：时钟敲5下用去12秒的时间，其实是用在4个时间的间隔处，每个间隔时间是 1 2÷(5－1)＝3(秒)．敲12下只有11个时间间隔，也就是有11个3秒．12÷(5－1)＝3(秒)，3×(12－1)＝33(秒)． 闻鸡起舞 　　晋代的祖逖是个胸怀坦荡、具有远大抱负的人.可他小时候却是个不爱读书的淘气孩子.进入青年时代，他意识到自己知识的贫乏，深感不读书无以报效国家，于是就发奋读起书来.他广泛阅读书籍，认真学习历史，于是就发奋读起书来.他广泛阅读书籍，认真学习历史，从中汲取了丰富的知识，学问大有长进.他曾几次进出京都洛阳，接触过他的人都说，祖逖是个能辅佐帝王治理国家的人才.祖逖24岁的时候，曾有人推荐他去做官司，他没有答应，仍然不懈地努力读书. 　　后来，祖逖和幼时的好友刘琨一志担任司州主簿.他与刘琨感情深厚，不仅常常同床而卧，同被而眠，而且还有着共同的远大理想：建功立业，复兴晋国，成为国家的栋梁之才. 　　一次，半夜里祖逖在睡梦中听到公鸡的鸣叫声，他一脚把刘琨踢醒，对他说：“别人都认为半夜听见鸡叫不吉利，我偏不这样想，咱们干脆以后听见鸡叫就起床练剑如何？”刘琨欣然同意.于是他们每天鸡叫后就起床练剑，剑光飞舞，剑声铿锵.春去冬来，寒来暑往，从不间断.功夫不负有心人，经过长期的刻苦学习和训练，他们终于成为能文能武的全才，既能写得一手好文章，又能带兵打胜仗.祖逖被封为镇西将军，实现了他报效国家的愿望；刘琨做了都督，兼管并、冀、幽三州的军事，也充分发挥了他的文才武略. 　　 故事 滥竽充数故事班主任管理故事5分钟二年级语文看图讲故事传统美德小故事50字120个国学经典故事ppt 出自《晋书·祖逖传》.成语“闻鸡起舞”，形容发奋有为，也比喻有志之士，及时振作. 教学目标 海尔兄弟、克鲁德还有爷爷一行到了印加古城的遗址，克鲁德好奇的发现在墙上挂着好多打结的绳子，克鲁德不明白绳子为什么要打结，而且结的大小不一，于是就去请教海尔兄弟，海尔兄弟告诉他这是印加人用来记事的绳子，大结代表发生的大事件，小结代表发生的小事件．克鲁德拿的这根绳子上两端都是大结，中间每两个大结之间都有4个小结，绳子上一共有26个结，那么聪明的小朋友请你算一下这根绳子上代表发生了多少件大事、多少件小事？ 想 挑 战 吗？ 专题精讲 专题展望 练习六 成语故事