【典型例题分析】
例1 陈老师购买安居工程集资房72
INCLUDEPICTURE "http://resource.yqedu.com.cn/statics/zxxtb/gzpd/tbfd/shuxue/sx16/g1/dxlt/0116g1dxlt.files/image002.gif" \* MERGEFORMATINET
，单价为1000元／ ，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余款的现价及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和，每期为一年，等额付款，签订购房
合同
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后～年付款一次，再过一年又付款一次等等，若付10欢，10年后付清如果按年利率的7．5％、每年复利一次计算（即本年利息计入次年的本金生息），那么每年应付款多少元？（注： ， ， ）
解：设每年付款 元，那么10年后，
第一年付款的本利和为 元，
第二年付的本利和为 元
依次类推，
第 年付款的本利和 元。
则各年付款的本利和 为等比数列
故 10年付款的本利和
个人负担余额总数为
（元）。
，
，
，
（元）
答：每年需交款约4200元．
评注：上述例题是与数列有关的分期付款问题，它与例5所用的公式相异例5中的利率是单利（即当年的利息不计入次年的本金），教所用的公式是等差数列通项公式和前 项和公式；例回中的利率是复利（即利滚利），故所用公式是等比数列通项公式和前 项和公式导致这种区分的原因是付款形式不同。
例2某商店销售某种商品，每件获利20元时，销售量为 件，为了促销，拟采用每销一件商品向顾客赠送一件小礼品的办法实验表明，赠送价值为 （ ）元的礼品比赠送价值为（ ）元的礼品，销售量增加10％。
（1）写出礼品价值为 元时，总利润 （元）关于 的函数关系式
（2）为了获得最大利润，应赠送价值多少元礼品？
略解：（1）
，
即 ，（ ， ）
（2）令
即
则
，又∵ ，
∴ 或10。
故应送价值为9元或10元的礼品。
评注：此题中“ ， ”这些 的取值要求，是准确求解的关键，在解题中要高度注意。
例3 某乡1993年有人口1万人，耕地1万亩，
计划
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每年开荒新增耕地30亩，若该乡人口增长率为 0．5％，那么2000年该乡人均耕地面积为多少亩（精确到0．001亩）？
分析：显然，该乡耕地面积成等差数列，设为 ；人口增长成等比数列，设
为 ，则人均耕地面积组成的数列为 时，有
解：设耕地面积形成的数列成 ，则 ，
人口增长形成的数列为 ，则
人均耕地面积形成的数列为 。由于从1993年到2000年为8年，从而可得：
（亩）。
评注：由此题可见，尽管开荒造田，人均耕地面积仍在减少．更何况荒地是有限的，总有一天要开尽，计划生育的重要性已不言而喻了。
例4某单位向银行贷款A万元，按年利率 以复利计息，若该在年初贷进，前 年不偿还债务，从第 年度开始，每年年末以相同的金额 万元偿还，要求在后续的 年把贷款的本利全部还清。求 的表达式．
分析：本题系复利问题，其计息方式为：第1年后的本利之和为 元；第2年后的本利之和为 元（前一年的本利之和为后一年的本金）；这样，年后的本利之和为 元．
解：从贷款之日起，到还清傻务共 年，A万元的本利之和为 万元。
每年偿还 万元， 年偿还金额的本利之和为
（万元）
根据 年末还清债务的要求，则
∴
评注：这里分别计算贷款及分期付款本利之和，有利化归为等比数列问题处理。
例5 某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200％，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为 。
（l）写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第 年与第年 （ ，且 为自然数）的产量之间的关系式．
（2）由于存在鱼塘老化及环境污染等因素，估计每年将损失年产量的10％，照这样下去，以后每年的产量是否逐年提高？若是，请给予证明；若不是，清说明从第几年起，产量将不如上一年．（参考数据 ， ）
解（l）设改进饲养技术后第 年的产量为 （ ），则
，
由题意，第 年与第 年的产量之间的关系是
（ ， ）
（2）若考虑损失因素，则第 年与第 年的产量之间的关系为
（ )，
即
假设 ，得 ，即
， ，
所以 ，
故
答：以后每年产量不是始终逐年提高，从第6年起，产量将不如上一年．
说明 本题（2）的结论是不确定的，需要我们进行探索，解答这类题的一般思路是：先假设结论是肯定的，然后进行推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，则假设成立．
例6 某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20％．问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知 ， ）
解：设 为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即 ，并将这家工厂1984年，1985年，……生产这种产品的年产量分别记为 ， ，…根据题意， 是一个公比为1．2的等比数列，其通项公式为
根据题意，设 ，
即 。
整理得
因为 是增函数，现 取正整数。
可知从1993年并始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件
评注：此题是1984年全国高考题在高考中发生的主要错误有三类：一是将通项当做前 项和，结果产生列式错误；二是不会将指数问题化为对数问题，导致无法求出解；三是不会近似计算和求正整数，致使无法得到准确解。
浙公网安备 33021202002483