PAGE数学文化十八、十九世纪的几何 十八、十九世纪的几何 对于几何学,十八世纪数学家们着眼于分析方法的应用,及与此相联系的坐标几何的发展。虽然早先已有部分结果,但微分几何形成为独立的学科主要是在十八世纪。 伯努利兄弟以及欧拉、拉格朗日等在确定平面曲线曲率、拐点、渐伸线、渐屈线、测地线及曲线簇包络等方面做出许多贡献;蒙日自1771年起发
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的一系列工作,则使微分几何在十八世纪的发展臻于高峰。 的基本课
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是对称的坐标轴概念、平面曲线的系统研究等。帕伦于1705年、1713年将解析几何推广至三维情形,该项工作被克莱罗所继续。解析几何突破了笛卡儿以来作为求解几何难题的代数技巧的界限。 对综合几何的兴趣直到十八世纪末才被重新唤起,这主要归功于蒙日的《画法几何学》。蒙日指出画法几何只是投影几何的一个方面,这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展。投影几何在十九世纪整整活跃了一个世纪,而几何变换则已成为现代几何学的基本概念。 十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和数学分析的严格化,非欧几何的问世和射影几何的完善,群论和非交换代数的诞生,是这一世纪典型的数学成就。它们所蕴含的新思想,深刻地影响着二十世纪的数学。 十九世纪最富革命性的创造当属非欧几何。自古希腊时代始,欧氏几何一直被认为是客观物质空间惟一正确的理想模型,是严格推理的典范。16世纪后的数学家在论证代数或分析结果的合理性时,都试图归之为欧氏几何问题。 但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注,以弄清它和其他公理、公设的关系。这个烦扰了数学家千百年的问题,终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明,得到在逻辑上相容的非欧几何,其中平行公设不成立,但由于担心受人指责而未发表。 1825年左右,波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果,并推演了这种新几何中的一些定理。罗巴切夫斯基1829年的文章《论几何基础》是最早发表的非欧几何著作,因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何。这项发现的技术细节是简单的,但观念的变革是深刻的,欧氏几何不再是神圣的,数学家步入了创造新几何的时代。 非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器,但由于它背叛传统,创立之初未受到数学界的重视。只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时,才因高斯的名望而引起数学家们的关注。 十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年,彭赛列发表《论图形的射影性质》,这是他1813~1814年被俘关在俄国时开始研究的
总结
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。他探讨几何图形在任一投影下所有截影共有的性质,他的方法具有象解析几何那样的普遍性。1827年左右,普吕克等人引进齐次坐标,用代数方法研究射影性质,丰富了射影几何的内容。 对纯几何问题兴趣的增长,并未减弱分析在几何中的应用。高斯从1816年起参与大地测量和地图绘制工作,引起他对微分几何的兴趣。1827年他发表的《关于曲面的一般研究》,为这一数学分支注入了全新的思想,开创了微分几何的现代研究。