彰显数学魅力！演绎华软传奇！抽象函数单调性的判断例１已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)f(x)f(y)．且当x＞０时，f(x)＞０，试判断f(x)的单调性，并说明原由.分析：依据题目所给条件，原型函数为y＝kx，（k＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设x1,x2R，且x1x2，则x2－x1＞０，故f(x2x1)＞０．∴f(x)－f(x)＝f(x2x)x－f(x)21111＝f(x2x)＋f(x1)－f(x1)1＝f(x2x1)＞０．∴f(x1)＜f(x2)．故f(x)在（－，＋）上为增函数．例２已知函数yf(x)在R上是奇函数，并且在(0，)上为增函数，证明yf(x)在(，0)上也是增函数．分析：此函数原型函数相同可以为ykx(k0)，而奇函数这个条件正是转变的媒介．设x1，x2(，0)，且x1x2，f(x)为奇函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)．由假设可知x10，x20，即x1，x2(0，)，且x1x2，因为f(x)在(0，)上是增函数，于是有f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)，从而f(x1)f(x2)，yf(x)在(，0)上是增函数．例３已知函数f(x)关于任意正数x，y都有f(xy)＝f(x)·f(y),且f(x)≠0,当x＞1时,f(x)＜1．试判断f(x)在（０，＋）上的单调性，并说明原由．分析：此函数的原型函数可以为y1．明显此函数在（０，＋）上是减函数．x学数学用专页第1页共6页教数学用华软彰显数学魅力！演绎华软传奇！关于x）有f(x)＝f(xx)2（０，＋f(x)0又f(x)≠０，∴f(x)＞０设x1，x2（０，＋），且x1＜x2．则f(x2x1)f(x2)f(x1)f(x2)x1x1f(x2)＜１，f(x1)f(x1)f(x1)x1∴f(x1)＞f(x2)，故f(x)在（０，＋）上为减函数．一般形式为y=f(x)且没法用数字和字母表示出来的函数，一般出此刻题目中，或许有定义域、值域等。山武增补：抽象函数常常与周期函数结合，如：f(x)=-f(x+2)f(x)=f(x+4)2解抽象函数题，平时要用赋值法，并且高考数学中，常常要先求F（0）F（1）抽象函数的经典题目！！！我们把没有给出详尽分析式的函数称为抽象函数。因为这种问题可以全面观察学生对函数看法和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不停出现；如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。学生在解决这种问题时，常常会感觉无从下手，正确率低，本文就这种问题的解法谈一点浅易的看法。一．特别值法:在办理选择题时有意想不到的成效。例1定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，当x<0时，,f(x)>0，则函数f(x)在[a,b]上()A有最小值f(a)B有最大值f(b)C有最小值f(b)D有最大值f()分析：好多抽象函数是由特别函数抽象背景而获取的，如正比率函数f(x)=kx(k≠0)，,,，可抽象为f(x+y)=f(x)+f(y)，与此近似的还有特别函数抽象函数f(x)=xf(xy)=f(x)f(y)f(x)=f(x+y)=f(x)f(y)f(x)=f(xy)=f(x)+f(y)f(x)=tanxf(x+y)=学数学用专页第2页共6页教数学用华软彰显数学魅力！演绎华软传奇！此题作为选择题可采纳特别值函数f(x)=kx(k≠0)∵当x<0时f(x)>0即kx>0。.∴k<0，可得f(x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。二．赋值法．依据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特别值，从而来解决问题。例2除了用刚刚的方法外,也可采纳赋值法解:令y=-x，则由f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)得f(0)=f(x)+f(-x)⋯..①,再令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0)得f(0)=0，代入①式得f(-x)=-f(x)。得f(x)是一个奇函数，再令，且。∵x<0，f(x)>0，而∴，则得，即f(x)在R上是一个减函数，可得f(x)在[a,b]上有最小值f(b)。例3已知函数y=f(x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。解：令=-1，=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)⋯⋯①为了求f(-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)∴f(-1)=0代入①式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。三．利用函数的图象性质来解题：抽象函数固然没有给出详尽的分析式，但可利用它的性质图象直接来解题。抽象函数解题常常要用到以下结论：定理1：假如函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=对称。定理2：假如函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。例4f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。分析：由f(x)=f(2-x)，得f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，依据上述条件，可先画出吻合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为详尽。从图上直观地判断，而后再作证明。由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f(x)=f(2+x)。证明：f(x)=f(-x)=f[2-(-x)]=f(2+x)，∴T=2。∴f(x)是一个周期函数。例5已知定义在[-2，2]上的偶函数，f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)0时，f(x)>0.试判断f(x)的奇偶性和单调性.分析：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，∴f(0)=0，又令y=﹣x，f(x)+f(﹣x)=f(x﹣x)=f(0)=0，即f(﹣x)=﹣f(x)，∴f(x)是奇函数，再设x1、x2∈R，且x10，∴f(x2﹣x1)>0，从而f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(﹣∞.+∞)上是增函数.二、变量代换依据题设条件中所给等式或不等式的结构特色及欲证的结论，将题中的某些量替代为的需要的量(要注意新换的变量的取值范围，要与原题设条件等价)，可以获取较为简单的等式或不等式，而后再想法作进一步的转变从中获解，例2已知函数f(x)存在反函数且－1－1f(x)+f(﹣x)=2，则f(x﹣1)+f(3﹣x)=________.分析：此题没法直接求出f－1(x)，若将已知等式左侧看作两个函数，利用变量代换，则有以下简解：－1(y1)－1，且当y1+y2=2－1－1令y1=f(x)，y2=f(﹣x)，则x=f，﹣x=f(y2)时，有f(y1)+f(y2)=x﹣x=0，－1－1∵(x﹣1)+(3﹣x)=2，∴f(x﹣1)+f(3﹣x)=0.三、利用函数性质依据题目所给的条件，分析、研究函数拥有哪些特别的性质，比方：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，而后充分利用这些性质进行求解.例3f(x)是定义在R上的函数，且满足以下两个条件：①关于任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)；②当x＞0时，f(x)＜0，且f(1)=﹣2.求函数f(x)在[﹣3，3]上的最大值和最小值.分析：设0≤x1≤x2≤3，由条件①得f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1)，即f(x2﹣x1)=f(x2)f(x1)，x2﹣x1＞0，由条件②得f(x2﹣x1)＜0,∵f(x2)﹣f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在[0，3]上是减函数，在条件①中令x=y=0，则f(0+0)=f(0.)+f(0)，∴f(0)=0.再令x=﹣y，得f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)，∴f(﹣x)=﹣f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(x)在[﹣3，0]上是减函数，又∵当x＜0时f(x)=﹣f(﹣x)＞0，从而f(x)在[﹣3，3]上是减函数，f(x)max=f(﹣3)=﹣f(3)=﹣f(1+2)=﹣f(1)﹣f(2)=﹣f(1)﹣f(1)﹣f(1)=﹣3f(1)=6，f(x)min=f(3)=﹣f(﹣3)=﹣6.4已知函数f(x)=ax5+bsinx+3，且f(﹣3)=7，求f(3)的值.分析:f(x)的分析式中含有两个参数a、b，却只有一个条件f(﹣3)=7，没法确立出a、b的值，所以函数f(x)(分析式不确立)是抽象函数，注意到g(x)=ax5+bsinx=f(x)﹣3是奇函数，可得g(﹣3)=﹣g(3)，即f(﹣3)﹣3=﹣[f(3)﹣3]，f(3)=6﹣f(﹣3)=﹣1.学数学用专页第4页共6页教数学用华软彰显数学魅力！演绎华软传奇！四、正难则反当关于某些抽象函数的命题不易从正面直接证明时，可采纳反证法，它常常需结合其他一些求解策略，而此法是办理“能否存在”型函数综合题的常用方法.例5已知函数f(x)在区间(﹣∞，+∞)上是增函数，a、b∈R，(1)求证：若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b)；(2)判断(1)中命题的抗命题能否正确，并证明你的结论.证明：(1)由a+b≥0，得a≥﹣b，由函数f(x)在区间(﹣∞，+∞)上是增函数，得f(a)≥f(﹣b)，同理，f(b)≥f(﹣a)，f(a)+f(b)≥f(﹣b)+f(﹣a)，即f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b).(2)中命题的抗命题是：若f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b)，则a+b≥0，此抗命题为真命题，现用反证法证明以下：假设a+b≥0不成立，则a+b＜0，a＜﹣b，b＜﹣a，依据单调性，得f(a)＜f(﹣b)，f(b)＜f(﹣a)，f(a)+f(b)＜f(﹣a)+f(﹣b)，这与已知f(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b)相矛盾，故a+b＜0不成立，即a+b≥0成立，所以(1)中命题的抗命题是真命题.五、利用模型函数探路抽象型函数问题的设计或编拟，常以某个基本函数为模型，在解题前，若能从研究的抽象函数的“模型”下手，依据已知条件，找寻其模型函数，经过分析、研究其图象及性质，找出问题的解法或证法.例6已知定义域为R+的函数f(x)满足：(1)x＞1时，f(x)＜0；(2)f(1)=1；(3)对任意的x，2y∈R+，都有f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(x)+f(5﹣x)≥﹣2的解集.分析：由题设(3)知f(x)以y=logax为模型函数，由题(1)知0＜a＜1，从而y=logax在(0,+∞)上为减函数，故此题可先证f(x)在(0,+∞)上为减函数为打破口.0＜x1＜x2，则x2＞1，且由f(xy)=f(x)+f(y)，得f(x2)=f(x2·x1)=f(x2)+f(x1)，1x1x1又由条件x＞1时，f(x)＜0，得f(x2)＜0，∴f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在R+上为减函数，x1111又由f(1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0，又f()=1，∴f(2·)=f(2)+f()=0，∴f(2)=﹣1，222∴f(x)+f(5﹣x)≥﹣2=2f(2)=f(4)，于是0＜x＜5，解得0＜x≤1或4≤x＜5，x(5﹣x)≤4∴解集为x∈(0，1]∪[4，5).六、数形结合依据题目所给的函数的有关的性质和背景，作出大体吻合条件的函数的图象，再依据图象的直观性作出正确解答.例7若f(x)为奇函数，且在(﹣∞，0)内是增函数，又f(﹣2)=0，则xf(x)<0的解集为()A.(﹣2,0)∪(0,2)B.(﹣∞,﹣2)∪(0，2)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣2,0)∪(2,+∞)分析：此题可依据题设条件先作出函数f(x)在(﹣∞，0)内的大体图象，如图，由对称性(奇函数的图象关于原点对称)及单调性(在(﹣∞，0)内是增函数)得出f(x)在(0，＋∞)的图象，以下列图.学数学用专页第5页共6页教数学用华软彰显数学魅力！演绎华软传奇！f(x)为奇函数，且，f(﹣2)=0，∴f(2)=0.由图象可知：当﹣20，∴xf(x)<0；当0
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