高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 新人教版必修4

2.2　平面向量的线性运算2.2.1　向量加法运算及其几何意义【自主预习】主题:向量加法的法则及运算律1.两个向量可以相加,并且两个向量的和还是一个向量,一般地,求两个向量和的运算,叫做向量的加法,如图所示,是上海到台北的航线示意图,一是经香港转停到台北;二是由上海直接飞往台北.通过上面地图中客机的位移,我们得到向量加法的什么法则?提示:向量加法的三角形法则.2.两个力F1,F2作用于同一个物体上,当物体静止时,说明了什么?提示:F1+F2=0.3.做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗?在竖直方向上有速度吗?提示:在水平方向上有速度,在竖直方向上也有速度.4.在问题3中,物体为什么没沿水平或垂直方向运动?提示:力的合力不在这两个方向上.根据以上探究过程,总结向量加法的概念及向量加法的三角形法则与平行四边形法则.1.向量加法的概念:(1)向量和的概念:前提:a,b是_________;　⇓形式:在平面内任取一点A,作则向量___叫做a与b的和,记作____,即a+b=________=____.(2)向量加法的定义:求两个向量___的运算.(3)规定:a+0=____=__.非零向量a+b和0+aa2.向量的加法法则:三角形法则:按向量的加法的定义求向量和的方法.　　　⇓平行四边形法则:如图,以点A为起点作不共线的向量____________,以AB,AD为邻边作______,则以点A为起点的_________所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的向量____就是a与b的和,记作a+b=________=____.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.▱ABCD对角线AC3.向量加法的运算律:(1)交换律:a+b=____.(2)结合律:(a+b)+c=________.b+aa+(b+c)【深度思考】结合教材P81例1你认为应怎样求作两个向量的和向量?第一步:__________________________________;第二步:______________________________;第三步:_______________________________________________.任取一点O,过O分别作连接平行四边形的对角线OC，则向量即为所求以OA,OB为邻边作平行四边形OACB【预习小测】1.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是　(　　)【解析】选C.因为所以2.下列等式错误的是　(　　)【解析】选B.由向量加法的三角形法则知A,C,D均正确,而故B错误.3.向量等于______.【解析】原式= 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :【备选训练】如图,已知向量a,b,求作向量a+b.(仿照教材P81例11的解析过程)【解析】(1)作则=a+b,如图(1).(2)作则=a+b,如图(2).(3)作则=a+b,如图(3).【互动探究】1.在使用三角形法则和平行四边形法则时应注意什么?提示:在使用三角形法则时应注意“首尾连接”;在使用平行四边形法则时应注意两向量起点相同.2.当涉及多个向量相加时,一般利用向量的哪个法则求和?提示:当涉及多个向量相加时,一般利用三角形法则求和.3.两向量a,b满足什么条件时,(1)|a+b|=|a|+|b|.(2)|a+b|=|a|-|b|(或者|b|-|a|).提示:(1)两向量方向相同时.(2)两向量方向相反时.4.观察向量加法运算的交换律与结合律,回答下列问题:(1)向量的加法交换律以及结合律是否只对两个和三个的向量成立?提示:不是,向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立.(2)交换律与结合律的作用是什么?提示:交换律与结合律的作用是对向量的加法进行化简.【拓展延伸】向量加法的多边形法则设A1,A2,A3,…,An(n∈N,且n≥3)是平面内的点,则一般情况下,特别地,当A1与An重合时,运用该结论可以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 一个图形是否为封闭的图形.【探究总结】知识归纳:方法总结:求作和向量的方法【题型探究】类型一:求作向量的和向量【典例1】如图,已知正方形ABCD的边长等于1,试作以下向量并分别求其模.(1)b+d.(2)a+b+c.【解题指南】(1)以BC,BD为邻边作平行四边形BCED,向量即为所求.(2)先利用向量加法的三角形法则求作a+b,然后再作a+b+c.【解析】(1)如图,以BD,BC为邻边作平行四边形BCED,连接则即为所作向量b+d,【规律总结】作向量和的法则的选取策略(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”.即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.【巩固训练】如图,已知a,b,c,求作向量a+b+c.【解析】作法:在平面内任取一点O,如图所示,作类型二:向量加法法则及运算律【典例2】(1)如图,正六边形ABCDEF中,=(　　)(2)化简下列各式:【解题指南】(1)根据向量加法的几何表示,首尾顺次相连即可得结果.(2)根据向量加法法则及运算律进行化简及运算,注意对和式中向量重新组合和拆分.【解析】(1)选D.答案:①　②0【延伸探究】1.本例(1)中条件不变,求【解析】由向量加法的三角形法则可知2.本例(1)的条件不变,求【解析】由向量加法的法则及向量相等的定义.【规律总结】向量运算中化简的两种方法(1)代数法:借助向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相接”,向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.(2)几何法:通过作图,根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简.提醒:利用平行四边形法则时要注意加数向量必须在同一起点,否则要通过平移将它们变为有相同起点的向量,然后作平行四边形.【补偿训练】设a=b是任意一非零向量,则在下列结论中,正确的为　(　　)①a∥b　②a+b=a　③a+b=b④|a+b|<|a|+|b|　⑤|a+b|=|a|+|b|A.①②　　B.①③　　C.①③⑤　　D.③④⑤【解析】选C.因为所以a∥b,a+b=b,即①③正确,②错误,而a=0时,|a+b|=|b|=|a|+|b|,故④错误,⑤正确.类型三　向量加法的实际应用【典例3】在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.【解题指南】解答本题首先正确画出方位图,再根据图形借助向量求解.【解析】如图所示,设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km,从B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是两次飞行的位移的和指的是依题意,有=800+800=1600(km).又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°.所以其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为km,方向为北偏东80°.【规律总结】向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.(2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.【巩固训练】一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船实际速度.【解析】如图所示,表示水流速度,表示船垂直于对岸的方向行驶的速度,表示船实际航行的速度,∠AOC=30°,||=5.因为四边形OACB为矩形,所以所以水流速度大小为km/h,船实际速度为10km/h.