第四章平面问题的极坐标解答

§4-6圆环或圆筒受均布压力设有圆环或圆筒，内半径为r,外半径为R,受内压力qi及外压力q2,图4-4a。显然,应力分布应当是轴对称的。因此，取应力分量表达式（4-11）,应当可以求出其中的任意常A,B,Co内外的应力边界条件要求「顼;=0，「S），.：R=0，一一*（a）j=—q，林=—q2.由表达式（4-11）可见，前两个关于丁伸的条件是满足的，而后两个条件要求A_一(b)—B12lnrL2C--q1,rA2B12lnR2C=*.R现在，边界条件都已满足，但上面2个方程不能决定3个常数A,B,Co因为这里讨论的是多连体，所以我们来考察位移单值条件。4B?"•由（4-12）可见，在环向位移U（p的表达式中，一-—一项是多值的：对于同一个P值,例如P=P〔，在中=气时与中=气+2兀时，环向位移相差―~B1。在圆环或圆筒中，这是不可能的，因为（P〔，明川P〔，甲1+2兀）是同一点，不可能有不同的位移。于是由位移单值条件可见必须B=0。对于单连体和多连体，位移单值条件都是必须满足的。在按应力求解时，首先求出应力分量，自然取为单值函数；再求形变分量，并由几何方程通过积分求出位移分量。在多连体中，积分时常常会出现多值函数，因此，须要校核位移单值条件，以排除其中的多值项。命B=0，即可由式（b）求得A和2C:r2R2q2-q1q〔r2-qzR2A=—―2—，2C=R-rR-■「代入式（4-11）,稍加整理，即得圆筒受均布压力的拉梅解答如下:~~2r一q1-一-11q〔-q2,21:、2(4-13)q2.1r2为明了起见，试分别考察内压力或外压力单独作用时的情况。R2.1=~R2qi°~2—1r半径趋于无限大时（体，而上列解答成为2r"-次,2r二一=—q1°如果只有内压力qi作用，则q2=0,解答（4-13）简化为Rl_i_J二"=-勺1，Rr-1r图4-4显然，bp总是压应力，。中总是拉应力。应力分布大致如图4-4b所示。当圆环或圆筒的外R^oo）,得到具有圆孔的元限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性2一、…r,,一、…一、.一，…可见应力和力成正比。在P和r之处（即距圆孔或圆形孔道较远之处），应力是很小的。：、2可以流域。这个实例也证实了圣维南原理，因为圆孔或圆形孔道中的内压力是平衡力系。如果只有外压力q2作用，贝Uq1=0,QEVTWGK（4-13）简化为21-与：2二*q2,1-与R221—I*:=—q21-土R2(4-14)显然，总是压应力。应力分布大致如图4-4c所示。§4-7压力隧洞设有圆筒，埋在无限大弹性体中，受有均布压力q,例如压力隧洞，图4-5。设圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为E,H和E',»。由于两者的材料性质不同，不符合均匀性假定，因此，不能用同一个函数表示其解答。本 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 属于接触问题，即两个弹性体在边界上互相接触的问题，必须考虑交界面上的接触条件。图4-5无限大弹性体，可以看成是内半径为R而外半径为无限大的圆筒。显然，圆筒和无限大弹性体的应力分布都是轴对称的，可以分别引用轴对称应力解答（4-11）和相庆的位移解答（4-12），并注意这里是平面应变的情况，若取圆筒解答中的系数为A,B,C,无限大弹性体解答中的系数为A：B',C‘，由多连体中的位移单值条件，有B=0,(a)B'=0。(b)现在，取圆筒的应力表达式为二-；=当2C,。=一£2C(c)取无限大弹性体的应力表达式为A一..A一.c-=—2C,c-=-2C(d)试考虑边界条件和接触条件来求解常数A,C,A,CL首先，在圆筒的内面，有边界条件(bp)由=-q,由此得A一-+2C=—q°(e)r其次，在远离圆筒处，按照圣维南原理，应当几乎没有应力，于是有(。时^=0,=0,由此得2C'=0。(f)再其次，在圆筒和无限大弹性体的接触面上，应当有于是由式(c)及式(d)得AAr2C=—22CR2R2(g)上述条件仍然不足以确定4个常数，下面来考虑位移。应用式(4-12)中的第一式，并注意这里是平面应变问题，而且B=0,可以写出圆筒和无限大弹性体的径向位移的表达式i-^2「ra-a)11+—-!-+21-一-CP+Icos平+Ksin中，El1-PP<1-^J一1_W2一fW*A‘(、'、uR=^^—1+土令+21—*!C'P+I'cos中+3"E，L1一顷i1一皿一将上列二式稍加简化，得u.：-u.：-1+P「,A〕小小——.|2(1—2^CP—A+Icos平+Ksin平E->(h)"'一A'l、'|2(1—2»C'P—A+I'cos中+K'sin里EI——■j在接触面上，圆筒和无限大弹性体应当具有相同的位移，即U,"M=u；：:由。将式（h）代入，得仆二「A-|-21一2」。日邙IcosKsin*［」A~~E21-2」CR-石IcosKsin因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立,以方程两边的自由项必须相等（当然，两边得AAn2C1-2」=0R2R2也就是在◎取任何数值时都应当成立，所cos中的系数及sin中的系数也必须相等）。于是其中(4-15)E'1」n=E1」由方程（e）,（f）,（g）,（i）求出A,C,A',C‘，然后代入（c）及式（d）,得圆筒及无限大弹性体的应力分量表达式：R211-2」ny-1-nTOC\o"1-5"\h\zcl=—R^,1•1-2」J—-1-nri.iR2(4-16)p=r面上切应力等于零的边界条11-2七匕1-nHYPERLINK\l"bookmark82"\o"CurrentDocument"'"q,11-2」n—-1-nr221-」nRoB=t$=-q2.1+(1-2卜>1性-(1-n)r当nv1时，应力分布大致如图4-5所示。读者可以检查，由于本题是轴对称问题，因此，关于件、P=R边界上环向的应力和位移的接触条件都是自然满足的。这个问题是最简单的一个接触问题。在一般的接触问题中，通常都假定各弹性体在接触面上保持“完全接触”，即，既不互相脱离也不互相滑动。这样，在接触面上，应力方面的接触条件是：两弹性体在接触面上的正应力相等，切应力也相等。位移方面的接触条件是：两弹性体在接触面上的法向位移相等，切向位移也相等。以前已经看到，对平面问题说来，在通常的边界面上，有两个边界条件。现在看到，在接触面上，有四个接触条件，条件并没有增多或减少，因为接触面是两个弹性体的共同的边界。“光滑接触”是“非完全接触”O在光滑接触面上，也有四个接触条件：两个弹性体的切应力都等于零，两个弹性体的正应力相等，法向位移也相等（由于有滑动，切向位移并不相等）。此外，还有“摩擦滑移接触”。即在接触面上，法向仍保持接触，两弹性体的正应力相等，法向位移也相等；而在环向，则达到极限滑移状态而产生移动，这时，两弹性体的切应力都等于极限摩擦力。接触问题中若有“局部脱离接触”，则在此局部接触面上，由于两弹性体互相脱离，各自的两个正应力和两个切应力都等于零。§4-8圆孔的孔口应力集中在本节我们研究所谓“小孔口问题”，即孔口的尺寸远小于弹性体的尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远（约大于1.5倍孔口尺寸。否则孔口应力分布将受边界条件的影响）。在许多工程结构中，常常根据需要设置一些孔口。由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力。这种现象称为孔口应力集中。孔口应力集中，不是简单地由于减少了截面尺寸（由于开孔而减少的截面尺寸一般是很小的），而是由于开孔后发生的应力扰动所引起的。因为孔口应力集中的程度比较高，所以在结构设计中应充分注意。孔口应力集中还具有局部性，一般孔口的应力集中区域约在距孔边1.5倍孔口尺寸（例如圆孔的直径）的范围内。下面介绍圆孔口的一些解答。首先，设有矩形薄板（或长柱）在离开边界较远处有半径为r的小圆孔，在四边受均布拉力，集度为q,图4-6a。坐标原点取在圆孔的中心，坐标轴平行于边界。就直边的边界条件而论，宜用直角坐标；就圆孔的边界条件而论，宜用极坐标。因为这里主要是考察圆孔附近的应力，所以用极坐标求解，而首先将直边变换为圆边。为此，以远大于r的某一长度R为半径，以坐标原点为圆心，作一个大圆，如图中虚线所示。由应力集中的局部性可见，在大圆周处，例如在A点，应力情况与无孔时相同，也就是，bx=q,By=q,Txy=0。代入坐标变换式（4-7）,得到该处的极坐标应力分量为bp=q,T即=0。于是，原来的问题变换为这样一个新问题：内半径为r而外半径为R的圆环或圆筒，在外边界上受均布拉力q。图4-6为了得出这个新问题的争答，只需在圆环（或圆筒）受均布外压力时的解答（4-14）中命—q2=q。于是得21LIX二、=q—t21土-*q—r既然R远大于r,可以取—=0,从而得到解答R/2、/2\Tplp=T@=0o(4-17)/r/r。P=q~~^2G中=q1+—2，IPJIPJ其次，设该矩形薄板（或长柱）在左右两边受有均布拉力q而在上下两边受有均布压力q,图4-6b。进行与上相同的处理和分析，可见在大圆周处，例如在点A,应力情况与无孔时相同，也就是Ox=q,by=-q,Txy=。。利用坐标变换式（4-7）,可得[.i"：R=qcos%-qsin%：=qcos2*fLr--2sin「cos--qsin2:.而这也就是外边界上的边界条件。在孔边，边界条件是(。p)芭=0,(*)芭=0(b)由边界条件（a）和（b）可见，用半逆解法时，可以假设。p为P的某一函数乘以cos2平,而丁伸为P的另一函数乘以sin2中。但11d2小樽M特阡=下云+宁萨，如钠cP[P因此可以假设(c)n-f[f）cos2‘将式（c）代入相容方程（4-6）,得sgW[d4f(P)+2d3f(P)9d2f(P)+9df(p)1s2!dP4PdP3P2dP2P3dP一删去因子cos2中以后，求解这个常微分方程，得f：E4B：2C当其中A,B,C,D为待定常数。代入式（c）,得应力函数、=cos2iA*B：2C从而由式（4-5）得应力分量4C6D—cos2平2B+—十一4P2P4。甲=cos2甲12AP2+2B+6D2^6DP2一P4力将式（d）代入边界条件式（a）和（b）,得即=sin2平6AP2+2BE4C6D2B=_q2BR2R4q,c…2c-2C6D6AR■2B-一24=-q,R2R46D八?=Qr22C6D6Ar22^—=0.rr4C2B了rr求解A,B,C,D,然后命一T0,得RB=_q2再将各已知值代入式（d）,A=0得应力分量的最后表达式ap=qcos2中1=-qcos2中1十32\2:!1-3^2"P2人P2J4、rP4,qr2(4-18)g=t*=-qsin2申1-睫"3』IpApJJ如果该矩形薄板（或长柱）在左右两边受有均布拉力图4-7a,可以将荷载分解为两部分第一部分是四边的均布拉力住上下两边受有均布拉力q2,虫，图4-7b,第二部分2是左右两边的均布拉力鱼也和上下两边的均布压力宜虫22,图4-7c。对于第一部分荷载，可应用解答（4-17）而命q=一；对于第二部分荷载,2可应用解答（4-18）而命q^Lq2。将两部分解答叠加即得原荷载作用下的应力分量。2例如，设该矩形薄板（或长柱）只在左右两边受有均布拉力法得出基尔斯的解答：q,图4-8,则由上述叠加Pa2a3a4a3q1.22q1.07q1.04q可见应力在孔边达到均匀拉力的3倍，但随着远离孔边而急剧趋近于q,如图4-8所示。沿着x轴，中=0°,环向正应力是图4-7图4-8/2、/2V2qrq」r『r:op=Y1-—+-cos^1!1—3r，2，p2j2n人pj24<^=91+^——qcos2中1+3二2'、、P勺2iP。/2V2、q.rlc「W=咖=—*sin2中1—r1+3r.2、P2人P2Jj沿着孔边，-=r,环向正应力是(4-19)*=q(1—2cos2#),