“点差法”巧解椭圆中点弦题型一、重要结论及
证明
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过程在椭圆4+4=1(">方>0)中，若直线/与椭圆相交于M、N两点，点P(ao0'o)cr\r是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为褊”，贝仏肪•也.1兀0力证明：设M、N两点的坐标分别为(九”)、(x2,y2)7疔_卜)丁a2b2=1,・=1.⑴•⑵(1)-(2)，得匚芝+色二2二=0・.・・31・4x2-X]x2+X]b2儿一H刀+儿x2一X]X]+x22y=z2xx同理可证,在椭圆£+$=1(5>0)中，若直线，与椭圆相交于M、N两点，点Pg,儿)是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为心他，则二、典型例题1、设椭圆方程为宀才I,过点WU)的直线/交椭圆于点A、B,0为坐标原点，点P满足OP=-(OA+OB)2点N的坐标为丄丄］.当/绕点M旋转时，求:I<22)(1)动点P的轨迹方程;⑵I丽I的最大值和最小值.2、在直角坐标系，中，经过点(0,血)且斜率为斤的直线/与椭圆y+y2=1有两个不同的交点P和Q・(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数使得向量丽+况与帀共线如果存在，求《的取值范围；如果不存在，请说明理由.3、已知椭圆4+4=1(4>b>0)的左、右焦点分别为仟、几,离心率C=芋,cr2右准线方程为x=2.(I)求椭圆的标准方程;(II)过点仟的直线/与该椭圆相交于M、N两点，且迟财+可币1=斗，求直线/的方程.4、已知椭圆C：4+4=＞("＞〃＞0)的离心率为竺，过右焦点F的直线/与£lr3C相交于A、B两点.当/的斜率为1时，坐标原点0到/的距离为芋.(1)求2a,b的值；(2)C上是否存在点P,使得当/绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成立若存在，求出所有点P的坐标与/的方程；若不存在，说明理由.5.椭圆C的中心在原点，并以双曲线丄-兰=1的焦点为焦点，以抛物线2A-2=一6品y的准线为其中一条准线.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l-.y=kx+2伙HO)与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线/:y=mx+l（w工0）对称，求k的值.“点差法”巧解双曲线中点弦题型二、重要结论及证明过程在双曲线二—二=1（t/>0,b>0）中，若直线/与双曲线相交于M、Ncr『两点，点P（2）是张MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为心，则褊旷卫=竹.证明过程和椭圆证法相同（略）同理可证，在双曲线4-^=1（">o,b>o）中，若直线/与双曲线相crlr交于M、N两点，点P（x。,儿）是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为心炳，则k・'（）_cr久Ikmntv•二、典型例题1.已知双曲线x2-21=i,过点p（-l,_2）作直线/交双曲线于A、B两点.322（1）求弦AB的中点M的轨迹；（2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线/的方程和弦AB的长.2•设A、B是双曲线X2-—=i_E两点，点N（1,2）是线段AB的中点.2求直线AB的方程；如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么3、双曲线C的中心在原点，并以椭圆*+匚=1的焦点为焦点，以抛物线y2=-2V3a-的准线为右准线.(1)求双曲线C的方程；(2)设直线Z：y=H+3伙HO)与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线I:y=mx+6(m工0)対称，求《的值.“点差法”巧解抛物线中点弦题型三、重要结论及证明过程(略)在抛物线y2=2nvc(m0)中，若直线/与抛物线相交于M、N两点，点卩(心,儿)是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为褊.“，贝仏站儿=加・同理可证，在抛物线x2=2my(m#0)中，若直线/与抛物线相交于M、N两点,点Pg，儿)是弦MN的中点，弦MN所在的直线/的斜率为褊”，则丄.氐=加・注意：能用这个公式的条件：(1)直线与抛物线有两个不同的交点；(2)直线的斜率存在，且不等于零.二、典型例题1、设A(x{,y,),B(x2,y2)两点在抛物线y=2P上，/是AB的垂直平分线.(I)当且仅当坷+心取何值时，直线/经过抛物线的焦点F证明你的结论.(II)当“=1宀=-3时，求直线/的方程.(理)当直线/的斜率为2时，求/在y轴上的截距的取值范围.2.已知抛物线C：y=2x2,直线y=也+2交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(I)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(II)是否存在实数R使NANB=Ot若存在，求R的值；若不存在，请说明理由.
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