三角函数的运算
一、三角函数的定义
图中 ，则三角函数的定义为：
，，，
，，。
二、0、、、角的三角函数值
1．当的情形
---------不存在
2．当的情形
------不存在---
3．当的情形
---------不存在
4．当 的情形
------不存在---
三、同角三角函数间的关系
1．倒数关系式
------
2．商数关系式
---
3．平方关系式
------
三角函数的运算
四、三角函数的简化公式
1．与的三角函数的关系
----
---
2．与的三角函数的关系
----
3．与的三角函数的关系
由于 ，则可得
----
----
三角函数的运算
五、三角函数的加法定理
计算四边形ONBC的面积，可以得到：
即
INCLUDEPICTURE "http://www.caac.net/circuit/schoolweb/fulu/fl1-1-1.files/image005.gif"
INCLUDEPICTURE "http://www.caac.net/circuit/schoolweb/fulu/fl1-1-1.files/2.gif"
-----------
---------
由于，则
____
六、二倍角公式
1．二倍角的正弦
2．二倍角的余弦
七、三角函数的积化和差公式
由于
INCLUDEPICTURE "http://www.caac.net/circuit/schoolweb/fulu/fl1-1-1.files/5.gif"
---------------------
则，同理可得：
八、三角函数的和差化积公式
令，，则，，由积化和差公式可得
导数和微分
一、微分的意义
微分（或导数）记为或。
它反映了函数的变化率或曲线切线的斜率。
二、电路中常用的常数和基本初等函数的微分公式
1．（c为常数）；
2． （）；
3．（a>0，a≠1）；
4． ；
5． ；
6． ；
7． ；
8． 。
三、函数的和、差、积、商的微分
1．
2．
3．
四、复合函数的微分
定义：
例如：
五、二阶导数
定义：
例如：
六、微分的应用
由于微分
表
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示曲线切线的斜率，所以可以推导出a点的导数为正（曲线斜率为正），c点的导数为负（曲线斜率为负）。
在极大值（b点）或极小值（d点）处的导数为零（曲线斜率为零）。
其中极大值（b点）左侧的点的斜率为正，极小值（d点）左侧的点的斜率为负。
例如：求解函数的极值。
解：
微分方程
一、一阶线性微分方程
一般形式为：
若，方程变为，称为一阶线性齐次微分方程。
一阶线性齐次微分方程的通解为：
................................ .......
其中c表示常数。
若，方程，称为一阶线性非齐次微分方程。
线性非齐次微分方程的解等于线性齐次微分方程的通解加线性非齐次方程的一个特解。
即
二、二阶常系数线性微分方程：
一般形式为：，其中p，q为常数。
二阶齐次线性微分方程解的相关定理
若，方程变为，称为二阶常系数线性齐次微分方程。
二阶常系数线性齐次微分方程的解法
若不是恒为零，称为二阶常系数线性非齐次微分方程。
二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
积---分
一、积分的定义
若，则，其中c称为积分常数。
二、常用积分的基本公式
积分是微分的逆运算，可从微分的基本公式，得到相应的积分基本公式。
1．（c为常数）；
2． ；
3．（a≠-1）；
4． ；
5． ；
6． ；
7． ；
8． 。
三、积分的基本法则
1．
2． （k为常数）
3．
四、定积分的定义
若，则。
复数运算规则
规则1：若是一个实常数，是实变数的任一复函数，则
。
证明
规则2：若和是实变数的任一复函数，则
。
证明
规则3：设相量，则。
证明
规则4：设和为相量，为角频率，若在所有时刻都满足，则。
证明
平行四边形法则
三角形法则
正弦量的加减
设两个同频率的正弦量分别为：、，
两正弦量可表示为：，，
其中，为两个正弦量的振幅相量。
则两个正弦量之和为：
INCLUDEPICTURE "http://www.caac.net/circuit/schoolweb/fulu/fl5-3.files/image083.gif"
-----
INCLUDEPICTURE "http://www.caac.net/circuit/schoolweb/fulu/fl5-3.files/image087.gif"
式中为两正弦量之和的相量，的角频率仍为。
可见：同频率的正弦电流相加，其结果仍是频率相同的正弦电流，且两者和的相量为两个正弦电流的相量之和。
同理，同频率的正弦电流相减，其差的相量也为两个正弦电流的相量之差。
例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
由于相量可以表示在复平面上，相量的加减还可以按照平行四边形法则或三角形法则求解。如图所示。
傅立叶级数
一、级数的概念
定义：设给定一个数列，，，…，，…，则表达式称为无穷级数，简称级数，记作。
若是常数，称级数为常数项级数；若是函数，称级数为函数项级数。
二、三角级数
三角级数：由正弦周期函数列构成的级数。记为；
由于
则三角级数也可表示为：，
其中，，
三、三角函数系的正交性
在三角函数中出现的函数：
1，，，，，…，，，…，构成了一个三角函数系，此三角函数系的特性为：在这些函数中任意两个不同的函数的乘积在上的积分必为零，即：
-----
这一特性称为三角函数系的正交性。
四、周期为的函数的傅氏级数
五、常用信号的傅立叶展开式
狄里赫利条件
一、函数的连续性的定义
定义1：设在的某邻域内有定义，且有，则称在处连续。
定义2：设在(a，b)内点点连续，则称在(a，b)内连续。
定义3：设在内有定义，且有，则称在处右连续。
若在内有定义，且有，则称在处左连续。
定义4：设在(a，b)内点点连续，且在x=a处右连续，在x=b处左连续，则称 在[a，b]上连续。
二、函数的间断点及其分类
定义：若不是的连续点，则称是的间断点。
间断点可以分成两类，即第一类间断点与第二类间断点。
若是的间断点，但与都存在，则称为的第一类间断点。
若是的间断点，但不是第一类间断点，即与中至少有一个不存在，则称为的第二类间断点。
三、狄里赫利条件
定理：设
1．函数在上连续或至多只具有有限个第一类间断点；
2．函数在上只具有有限个极值点。
则由确定的傅立叶级数收敛。
如果是以为周期的函数，则对于任意，上述结论也成立。
可以证明，凡可展开为幂级数的函数都可以展开为收敛的傅氏级数。但是反之不真。
浙公网安备 33021202002483