有趣的平方和等式
下面是一些关于平方和的等式：
12＋42＋62＋72＝22＋32＋52＋82 (都等于102)
22＋52＋72＋82＝32＋42＋62＋92 (都等于142)
32＋62＋82＋92＝42＋52＋72＋102 (都等于190)
观察发现：这3个等式中的8个平方数的底数都是连续自然数。（第一个等式是1～8，第二个等式是2～9，第三个等式是3～10）。
进一步观察又发现：如果用①～⑧表示3个等式中，从小到大第一个自然数的平方到第八个自然数的平方，那么，这3个等式都可以归结为：
①＋④＋⑥＋⑦＝②＋③＋⑤＋⑧
难道这就是组成这类等式的规律吗？让我们换8个数，比如4～11试试看：
①＝42＝16，②＝52＝25，③＝62＝36，④＝72＝49，⑤＝82＝64，⑥＝92＝81，⑦＝102＝100，⑧＝112＝121。
①＋④＋⑥＋⑦＝16＋49＋81＋100＝246，②＋③＋⑤＋⑧＝25＋36＋64＋121＝246。果然①＋④＋⑥＋⑦＝②＋③＋⑤＋⑧。
再换大一点的数，比如57～64试试看：
①＝572＝3249，②＝582＝3364，③＝592＝3481，④＝602＝3600，⑤＝612＝3721，⑥＝622＝3844，⑦＝632＝3969，⑧＝642＝4096。
①＋④＋⑥＋⑦＝3249＋3600＋3844＋3969＝14662，②＋③＋⑤＋⑧＝3364＋3481＋3721＋4096＝14662。果然①＋④＋⑥＋⑦＝②＋③＋⑤＋⑧。
当然，验证不能代替证明。为了检验上面发现的规律有没有普遍性，设8个连续自然数是n、n＋1、n＋2、n＋3、n＋4、n＋5、n＋6、n＋7。
①＋④＋⑥＋⑦＝n2＋(n＋3)2＋(n＋5)2＋(n＋6)2＝n2＋(n2＋6n＋9)＋(n2＋10n＋25)＋(n2＋12n＋36)＝4n2＋28n＋70。
②＋③＋⑤＋⑧＝(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋4)2＋(n＋7)2＝(n2＋2n＋1)＋(n2＋4n＋4)＋(n2＋8n＋16)＋(n2＋14n＋49)＝4n2＋28n＋70。
于是，①＋④＋⑥＋⑦＝②＋③＋⑤＋⑧，即
n2＋(n＋3)2＋(n＋5)2＋(n＋6)2＝(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋4)2＋(n＋7)2
看来，我们的确发现了一个有普遍性的规律。于是，想写出多少个这样的等式就能写出多少个这样的等式。比如，
用123～130就能写出：
1232＋1262＋1282＋1292＝1242＋1252＋1272＋1302
用987654321～987654328就能写出：
9876543212＋9876543242＋9876543262＋9876543272＝9876543222＋9876543232＋9876543252＋9876543282
由此我们得到一个可贵的经验：观察—探索—发现—验证—证明，看来是学习数学的一个有效
方法
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，值得记取。
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