专题二：函数与导数

专题二：函数与导数 一、高考动向： 函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分．一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题 ,而且常考常新. 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现在： 1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象． 2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现． 3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． 4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的． 5．涌现了一些函数新题型． 6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导． 7.多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. 8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 2011复习备考中关注： 1．集合问题中注意考虑空集，逻辑部分注意充要条件的判定及全称量词和存在量词的否定方法，次部分重在基础领会，不要好高骛远。 2.函数部分注意函数、分段函数、复合函数的概念，注意在教材薄弱知识点----二次函数中根的分布、分段函数的最值、抽象函数的对称性与周期性、复合函数的定义域与单调性下功夫。 3．在选择题与填空题中注意不等式的解法，建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题. 4．导数中注意定义、几何意义，熟记公式与求导法则，注意研究利用构造函数解决代数式大小、不等式证明、参数范围等问题。 二、知识再现： 1．求函数 反函数的步骤： eq \o\ac(○,1)确定 的值域，也即是确定反函数的 ； eq \o\ac(○,2)由 求出 ； eq \o\ac(○,3)将 对换，得到反函数 （1）互为反函数的图象间的关系：函数 的图象和它的反函数 的图象关于直线 对称。 若点 在函数 的图象上，则 在其反函数 的图象上 若 有反函数，则 （2）一些重要类型的反函数 函数 与函数 互为反函数 函数 与函数 互为反函数 2．函数奇偶性：⑴ 既为奇函数又为偶函数，则 为偶函数 奇函数的反函数仍为奇函数 （2） 为奇函数且在 处有定义，则 为偶函数，则 （3）一些重要类型的奇偶函数 指数类函数的奇偶性： 为偶函数， 为奇函数， 的奇函数， 为奇函数 对数类函数的奇偶性： 为奇函数， 为奇函数， 为奇函数 3.对号函数的图象及单调性 ⑴ ⑵ 4．函数的周期性：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意 ，都有 ，则称 为周期函数。若T为周期，则 也为周期，对任意 ， ，则周期 ，你能写出多少有关周期及对称的性质 5．对数的运算性质： EMBED Equation.3 6．指数函数与对数函数： （1）指数函数： 且 eq \o\ac(○,1)函数的定义域为 函数的值域为 当 时函数为减函数；当 时函数为增函数 eq \o\ac(○,2)函数的图象：指数函的图象都经过点 且图象都在一、二象限；指数函数都以 轴为渐近线，（当 时，图象向右无限接近x轴，当 时，图象向左无限接近x轴）；对于相同的 ，函数 与 的图象关于y轴对称。 （2）对数函数： 且 eq \o\ac(○,1)函数的定义域为 函数的值域为 当 时函数为减函数；当 时函数为增函数对数函数 与指数函数 EMBED Equation.3 且 互为反函数 eq \o\ac(○,2)函数的图象：对数函的图象都经过点 且图象都在一、四象限；指数函数都以 轴为渐近线，（当 时，图象向上无限接近y轴，当 时，图象向下无限接近y轴）；对于相同的 ，函数 与 的图象关于x轴对称。 7．导数的定义： 8．导数的几何意义：函数 在点 处的导数的几何意义是曲线 在点 处的切线的斜率，也就是说，曲线 在点 处的切线的斜率是 ，相应地，切线方程为 . 9．导数的应用： （1）曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线斜率为负，右侧为正； （2）导数公式： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 注意：导数与函数的单调性的关系 ⑴ 与 为增函数的关系 能推出 为增函数，但反之不一定，如函数 在 上单调递增，但 是 为增函数的充分不必要条件 ⑵ 时， 与 为增函数的关系 若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 ， 当 时， 是 为增函数的充分必要条件 ⑶ 与 为增函数的关系 为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 ，当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性， EMBED Equation.DSMT4 是 为增函数的必要不充分条件 ⑷单调区间的求解过程，已知 ：①分析 的定义域；②求导数 ；③解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 在某个区间内可导。 利用导数求极值，求最值 在区间 上连续的函数 在 必有最大值与最小值。 ①求函数 在 内的极值； ②求函数 在区间端点的值 EMBED Equation.3 ③求函数 的 与 比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值 注意：极值 最值。函数 在区间 上的最大值为极大值和 中最大的一个，最小值为极小值和 中最小的一个。 不能得到当 时，函数有极值，但是，当 时，函数有极值 。判断极值，还需结合函数的单调性说明。 三、课前热身： 1. 曲线 在P0点处的切线平行直线 ，则P0点的坐标为（ C ） A. （1，0） B. （2，8） C. （1，0）或（―1，―4） D. （2，8）或（―1，―4） 2．设 ， 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当 时， 且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ D ） A． B． C． D． 3.已知函数 ， ，若对于任一实数 ， 与 至少有一个为正数，则实数 的取值范围是B A． B． C． D． 4．若不等式 对于一切 成立，则 的最小值是（ C ） A．0 B. –2 C. D.-3 5.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A.0 B. C.1 D. 6．已知函数,若0b>c,∴a>0,c<0∴ c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点 (2)解 设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－ ，x1x2= ． |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 EMBED Equation.DSMT4 ∵a>b>c,a+b+c=0，a>0，c<0，∴a>－a－c>c，解得 ∈(－2，－ )． ∵ 的对称轴方程是 ∈(－2，－ )时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( )． （3）∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是［0， ］， ∴P到曲线y=f（x）对称轴x=－ 的距离d =x0－（－ ）=x0+ . 又∵ （x0）=2ax0+b∈［0，1］，∴x0∈［ ， ］.∴d=x0+ ∈［0， ］. （18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分） 已知函数其中实数。 （I） 若a=-2，求曲线在点处的切线方程； 若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。 例题2. (全国卷)已知a≥ 0 ，函数f(x)=（ -2ax ） （1）当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围. 解：（I）对函数 求导数得 令 得［ +2(1－ ) －2 ］ =0从而 +2(1－ ) －2 =0 解得 当 变化时， 、 的变化如下表 + 0 － 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴ 在 = 处取得极大值，在 = 处取得极小值。 当 ≥0时， <－1, EMBED Equation.3 在 上为减函数，在 上为增函数 而当 时 = ，当x=0时， 所以当 时， 取得最小值 （II）当 ≥0时， 在 上为单调函数的充要条件是 即 ，解得 EMBED Equation.3 于是 在[-1，1]上为单调函数的充要条件是 即 的取值范围是 例3.设函数 （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）已知 对任意 成立，求实数 的取值范围。 解 (1) 若 则 列表如下 + 0 - - 单调增 极大值 单调减 单调减 (2) 在 两边取对数, 得 ,由于 所以 (1) 由(1)的结果可知,当 时, , 为使(1)式对所有 成立,当且仅当 ,即 例4．已知函数 （ 且 ， ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 ． （Ⅰ）求函数 的另一个极值点； （Ⅱ）求函数 的极大值 和极小值 ，并求 时 的取值范围． 解：（Ⅰ） ，由题意知 ， 即得 ，（*） ， ． 由 得 ， 由韦达定理知另一个极值点为 （或 ）． （Ⅱ）由（*）式得 ，即 ． 当 时， ；当 时， ． （i）当 时， 在 和 内是减函数，在 内是增函数． ， ， 由 及 ，解得 ． （ii）当 时， 在 和 内是增函数，在 内是减函数． ， 恒成立． 综上可知，所求 的取值范围为 ． 例5. （）设函数 ． （Ⅰ）求 的最小值 ； （Ⅱ）若 对 恒成立，求实数 的取值范围． 解：（Ⅰ） ， 当 时， 取最小值 ， 即 ． （Ⅱ）令 ， 由 得 ， （不合题意，舍去）． 当 变化时 ， 的变化情况如下表： 递增 极大值 递减 在 内有最大值 ． 在 内恒成立等价于 在 内恒成立， 即等价于 ，所以 的取值范围为 ． （变式）：已知函数 （ ），其中 ． （Ⅰ）当 时，讨论函数 的单调性； （Ⅱ）若函数 仅在 处有极值，求 的取值范围； （Ⅲ）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围． 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）解： ． 当 时， ． 令 ，解得 ， ， ． 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 0 2 － 0 ＋ 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数． （Ⅱ）解： ，显然 不是方程 的根． 为使 仅在 处有极值，必须 成立，即有 ． 解些不等式，得 ．这时， 是唯一极值． 因此满足条件的 的取值范围是 ． （Ⅲ）解：由条件 ，可知 ，从而 恒成立． 当 时， ；当 时， ． 因此函数 在 上的最大值是 与 两者中的较大者． 为使对任意的 ，不等式 在 上恒成立，当且仅当 ，即 ，在 上恒成立． 所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 ． 例6．已知函数。 （I）求函数的定义域，并判断的单调性； （II）若 （III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 解：（Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分） （Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故00), 由已知得 解得a=，x=e2, ∴ 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 ∴ 切线的方程为 （Ⅱ）由条件知 ∴ （1） 当a.>0时，令解得， ∴ 当0 << 时，，在（0，）上递减； 当x>时，，在上递增. （iii）由（Ⅱ）知 对任意的 ① ② ③ 故由①，②，③得 � EMBED Flash.Movie ��� y x O -2 2 � � O 1 -1 -1 1 - 14 - _1185086845.unknown _1274644647.unknown _1290754026.unknown _1329590109.unknown _1329591019.unknown _1329591690.unknown _1329591931.unknown _1329592065.unknown _1329592292.unknown _1329592515.unknown _1329592813.unknown 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