高数同济第五版答案第1章

习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 11 1. 设A(, 5)(5, ), B[10, 3), 写出AB, AB, A\B及A\(A\B)的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式. 解 AB(, 3)(5, ), AB[10, 5), A\B(, 10)(5, ), A\(A\B)[10, 5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)CAC B C . 证明 因为 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xB C xAC B C, 所以 (AB)CAC B C . 3. 设映射f : X Y, AX, BX . 证明 (1)f(AB)f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)f(B). 证明 因为 yf(AB)xAB 使f(x)y (因为xA或xB) yf(A)或yf(B) y f(A)f(B), 所以 f(AB)f(A)f(B). (2)因为 yf(AB) xAB 使f(x)y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B), 所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使 , , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX xx; 对于每一个yY, 有IY yy. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: gf 1. 证明 因为对于任意的yY, 有xg(y)X, 且f(x)f[g(y)]I y yy, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否则若f(x1)f(x2) g[ f(x1)]gf(x2)] x1x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g: YX, 因为对每个yY, 有g(y)xX, 且满足f(x)f[g(y)]I y yy, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f : XY, AX . 证明: (1)f 1(f(A))A; (2)当f是单射时, 有f 1(f(A))A . 证明 (1)因为xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)), 所以 f 1(f(A))A. (2)由(1)知f 1(f(A))A. 另一方面, 对于任意的xf 1(f(A))存在yf(A), 使f 1(y)xf(x)y . 因为yf(A)且f是单射, 所以xA. 这就证明了f 1(f(A))A. 因此f 1(f(A))A . 6. 求下列函数的自然定义域 (1) ; 解 由3x20得 .函数的定义域为 . (2) ; 解 由1x20得x1.函数的定义域为)(11)(1). (3) ; 解 由x0且1x20得函数的定义域D[1, 0)(0, 1]. (4) ; 解 由4x20得|x|2函数的定义域为(22). (5) ; 解 由x0得函数的定义D[0). (6) ytan(x1); 解 由 (k0, 1, 2, )得函数的定义域为 (k0, 1, 2, ). (7) yarcsin(x3); 解 由|x3|1得函数的定义域D[24]. (8) ; 解 由3x0且x0得函数的定义域D(0)(03). (9) yln(x1); 解 由x10得函数的定义域D(1). (10) . 解 由x0得函数的定义域D(0)(0). 7. 下列各题中 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)lg x2, g(x)2lg x; (2) f(x)x, g(x)  (3) , . (4)f(x)1, g(x)sec2xtan2x . 解 (1)不同.因为定义域不同. (2)不同.因为对应法则不同x0时g(x)x. (3)相同.因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同.因为定义域不同. 8. 设  求 , , , (2), 并作出函数y(x)的图形. 解    . 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1) , (, 1); (2)yxln x, (0, ). 证明 (1)对于任意的x1, x2(, 1), 有1x 10, 1x 20. 因为当x1x2时, , 所以函数 在区间(, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x1, x2(0, ), 当x1x2时, 有 , 所以函数yxln x在区间(0, )内是单调增加的. 10. 设 f(x)为定义在(l, l)内的奇函数 若f(x)在(0, l)内单调增加 证明f(x)在(l, 0)内也单调增加. 证明 对于x1x2(l, 0)且x1x2有x1x2(0, l)且x1x2. 因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数 所以 f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) 这就证明了对于x1x2(l, 0)有f(x1) f(x2)所以f(x)在(l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l, l)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明 (1)设F(x)f(x)g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数则 F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数则 F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F(x)f(x)g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数则 F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数则 F(x)f(x)g(x)f(x)][g(x)]f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则 F(x)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)g(x)F(x) 所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)yx2(1x2); (2)y3x2x3; (3) ; (4)yx(x1)(x1) (5)ysin xcos x1; (6) . 解 (1)因为f(x)(x)2[1(x)2]x2(1x2)f(x)所以f(x)是偶函数. (2)由f(x)3(x)2(x)33x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数. (3)因为 所以f(x)是偶函数. (4)因为f(x)(x)(x1)(x1)x(x1)(x1)f(x)所以f(x)是奇函数. (5)由f(x)sin(x)cos(x)1sin xcos x1可见f(x)既非奇函数又非偶函数. (6)因为 所以f(x)是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数 指出其周期 (1)ycos(x2); (2)ycos 4x; (3)y1sin x (4)yx cos x; (5)ysin2 x. 解 (1)是周期函数周期为l2. (2)是周期函数周期为 . (3)是周期函数周期为l2. (4)不是周期函数. (5)是周期函数周期为l. 14. 求下列函数的反函数 (1)  (2)  (3) (adbc0); (4) y2sin3x; (5) y1ln(x2); (6) . 解 (1)由 得xy31所以 的反函数为yx31. (2)由 得 所以 的反函数为 . (3)由 得 所以 的反函数为 . (4)由y2sin 3x得 所以y2sin 3x的反函数为 . (5)由y1ln(x2)得xe y12所以y1ln(x2)的反函数为ye x12. (6)由 得 所以 的反函数为 . 15. 设函数f(x)在数集X上有定义 试证 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界. 证明 先证必要性. 设函数f(x)在X上有界, 则存在正数M, 使|f(x)|M, 即Mf(x)M. 这这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M. 再证充分性. 设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1f(x) K2 . 取Mmax{|K1|, |K2|}, 则 M K1f(x) K2M , 即 |f(x)|M. 这就证明了f(x)在X上有界. 16. 在下列各题中 求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值 (1) yu2 usin x   (2) ysin u u2x   (3) u1x2 x11 x2 2 (4) yeu ux2 x1 0 x21 (5) yu2 uex x11x21. 解 (1)ysin2x  . (2)ysin2x  . (3)   . (4)   . (5)ye2xy1e21e2 y2e2(1)e2. 17. 设f(x)的定义域D[0 1]求下列各函数的定义域 (1) f(x2) (2) f(sinx) (3) f(xa)(a>0) (4)f(xa)f(xa)(a0). 解 (1)由0x21得|x|1所以函数f(x2)的定义域为[11]. (2)由0sin x1得2nx(2n1) (n012)所以函数f(sin x)的定义域为 [2n(2n1) (n012) . (3)由0xa1得ax1a所以函数f(xa)的定义域为[a1a]. (4)由0xa1且0xa1得当 时ax1a当 时无解.因此当 时函数的定义域为[a1a]当 时函数无意义. 18. 设 g(x)ex  求f[g(x)]和g[f(x)] 并作出这两个函数的图形. 解 即 . 即 . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形 斜角40(图137). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时 求湿周L(LACCDDB)与水深h之间的函数关系式 并说明定义域. 图137 解 又从 得 所以 . 自变量h的取值范围应由不等式组 h0 确定定义域为 . 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0x100时, p90. 令0. 01(x0100)9075, 得x01600. 因此当x1600时, p75. 当100x1600时, p90(x100)0. 01910. 01x. 综合上述结果得到 . (2) . (3) P3110000. 011000221000(元). 习题12 1. 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势, 写出它们的极限: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) xnn(1)n. 解 (1)当n时, 0, . (2)当n时, 0, . (3)当n时, 2, . (4)当n时, 0, . (5)当n时, xnn(1)n没有极限. 2. 设数列{xn}的一般项 . 问 ? 求出N, 使当n>N时, xn与其极限之差的绝对值小于正数 , 当 0.001时, 求出数N. 解 . >0, 要使|x n0|< , 只要 , 也就是 . 取 , 则n>N, 有|xn0|< . 当 0.001时, 1000. 3. 根据数列极限的定义证明: (1) ; (2) ; (3) (4) . (1) 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 要使 , 只须 , 即 . 证明 因为>0, , 当n>N时, 有 , 所以 . (2)分析 要使 , 只须 , 即 . 证明 因为>0, , 当n>N时, 有 , 所以 . (3)分析 要使 , 只须 . 证明 因为>0, , 当n>N时, 有 , 所以 . (4)分析 要使|0.99 91| , 只须 < , 即 . 证明 因为>0, , 当n>N时, 有|0.99 91|< , 所以 . 4. , 证明 . 并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限. 证明 因为 , 所以>0, NN, 当n>N时, 有 , 从而 ||un||a|||una| . 这就证明了 . 数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限. 例如 , 但 不存在. 5. 设数列{xn}有界, 又 , 证明: . 证明 因为数列{xn}有界, 所以存在M, 使nZ, 有|xn|M. 又 , 所以>0, NN, 当n>N时, 有 . 从而当n>N时, 有 , 所以 . 6. 对于数列{xn}若x2ka (k ), x2k1a (k ), 证明: xna (n ). 证明 因为x2ka (k ), x2k1a (k ), 所以>0, K1, 当2k>2K1时, 有| x2ka |< ; K2,当2k+1>2K2+1时, 有| x2k+1a |<.. 取Nmax{2K1, 2K2+1}, 只要n>N, 就有|xna |< . 因此xna (n ). 习题13 1. 根据函数极限的定义证明: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 证明 (1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须 . 证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以 . (2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须 . 证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以 . (3)分析 , 要使 , 只须 . 证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有 , 所以 . (4)分析 , 要使 , 只须 . 证明 因为 0, , 当 时, 有 , 所以 . 2. 根据函数极限的定义证明: (1) ; (2) . 证明 (1)分析 , 要使 , 只须 , 即 . 证明 因为 0, , 当|x|X时, 有 , 所以 . (2)分析 , 要使 , 只须 , 即 . 证明 因为0, , 当xX时, 有 , 所以 . 3. 当x2时, yx24. 问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0. 001？ 解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3. 要使|x24||x2||x2|5|x2|0. 001, 只要 , 取0. 0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0. 001. 4. 当x时, , 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|<0.01? 解 要使 , 只 , . 5. 证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零. 6. 求 当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在. 证明 因为 , , , 所以极限 存在. 因为 , , , 所以极限 不存在. 7. 证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则 . 证明 因为 , , 所以>0, X10, 使当xX1时, 有|f(x)A| ; X20, 使当xX2时, 有|f(x)A| . 取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即 . 8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 证明 先证明必要性. 设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0<|xx0|< 时, 有 |f(x)A|< . 因此当x00, 1>0, 使当x010, 使当x0 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 , 并加以证明. 解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以 |f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A| 这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A| 习题14 1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定. 例如, 当x0时, (x)2x, (x)3x都是无穷小, 但 , 不是无穷小. 2. 根据定义证明: (1) 当x3时为无穷小; (2) 当x0时为无穷小. 证明 (1)当x3时 . 因为 0, , 当0|x3|时, 有 , 所以当x3时 为无穷小. (2)当x0时 . 因为 0, , 当0|x0|时, 有 , 所以当x0时 为无穷小. 3. 根据定义证明: 函数 为当x0时的无穷大. 问x应满足什么条件, 能使|y|>104？ 证明 分析 , 要使|y|M, 只须 , 即 . 证明 因为M0, , 使当0|x0|时, 有 , 所以当x0时, 函数 是无穷大. 取M104, 则 . 当 时, |y|>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1) ; (2) . 解 (1)因为 , 而当x 时 是无穷小, 所以 . (2)因为 (x1), 而当x0时x为无穷小, 所以 . 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: 6. 函数yxcos x在(, )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？ 解 函数yxcos x在(, )内无界. 这是因为M0, 在(, )内总能找到这样的x, 使得|y(x)|M. 例如 y(2k)2k cos2k2k (k0, 1, 2, ), 当k充分大时, 就有| y(2k)|M. 当x 时, 函数yxcos x不是无穷大. 这是因为M0, 找不到这样一个时刻N, 使对一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如 (k0, 1, 2, ), 对任何大的N, 当k充分大时, 总有 , 但|y(x)|0M. 7. 证明: 函数 在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x0+时的无穷大. 证明 函数 在区间(0, 1]上无界. 这是因为 M0, 在(0, 1]中总可以找到点xk, 使y(xk)M. 例如当 (k0, 1, 2, ) 时, 有 , 当k充分大时, y(xk)M. 当x0+ 时, 函数 不是无穷大. 这是因为 M0, 对所有的0, 总可以找到这样的点xk, 使0xk, 但y(xk)M. 例如可取 (k0, 1, 2, ), 当k充分大时, xk, 但y(xk)2ksin2k0M. 习题15 1. 计算下列极限: (1) ; 解 . (2) ; 解 . (3) ;解 . (4) ;解 . (5) ; 解 . (6) ; 解 . (7) ; 解 . (8) ; 解 (分子次数低于分母次数, 极限为零) 或 . (9) ; 解 . (10) ; 解 . (11) ; 解 . (12) ; 解 . (13) ; 解 (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比). 或 . (14) ; 解 . 2. 计算下列极限: (1) ;解 因为 , 所以 . (2) ; 解 (因为分子次数高于分母次数).  (3) . 解 (因为分子次数高于分母次数). 3. 计算下列极限: (1) ; 解 (当x0时, x2是无穷小, 而 是有界变量). (2) . 解 (当x时, 是无穷小, 而arctan x是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2). 习题16 1. 计算下列极限: (1) ; 解 . (2) ; 解 . (3) ; 解 . (4) ; 解 . (5) ; 解法一 . 解法二 . (6) (x为不等于零的常数). 解 . 2. 计算下列极限: (1) ; 解 . (2) ;解 . (3) ; 解 . (4) (k为正整数). 解 . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I. 解 4. 利用极限存在准则证明: (1) ; 证明 因为 , 而 且 , 由极限存在准则I, . (2) ; 证明 因为 而 , , 所以 (3)数列 , , , 的极限存在; 证明 , (n1, 2, 3, ). 先证明数列{xn}有界. 当n1时 , 假定nk时xk2, 当nk1时, , 所以xn2(n1, 2, 3, ), 即数列{xn}有界. 再证明数列单调增. , 而xn20, xn10, 所以xn1xn0, 即数列{xn}单调增. 因为数列{xn}单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4) ; 证明 当|x|1时, 则有 1x1|x|(1|x|)n , 1x1|x|(1|x|)n , 从而有 . 因为 , 根据夹逼准则, 有 . (5) . 证明 因为 , 所以 . 又因为 , 根据夹逼准则, 有 . 习题 17 1. 当x0时 2xx2 与x2x3相比 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为 , 所以当x0时 x2x3是高阶无穷小, 即x2x3o(2xx2). 2. 当x1时 无穷小1x和(1)1x3, (2) 是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为 , 所以当x1时, 1x和1x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. (2)因为 , 所以当x1时, 1x和 是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x0时 有: (1) arctanx~x; (2) . 证明 (1)因为 (提示: 令yarctan x, 则当x0时, y 0), 所以当x0时 arctanx~x. (2)因为 , 所以当x0时,  . 4. 利用等价无穷小的性质 求下列极限: (1) ; (2) (n, m为正整数); (3) ; (4) . 解 (1) . (2) . (3) . (4)因为 (x0), (x0), (x0), 所以 . 5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) ~ 自反性); (2)若~, 则~对称性); (3)若~, ~, 则~传递性). 证明 (1) , 所以~ ; (2)若~, 则 , 从而 . 因此~; (3)若~, ~, . 因此~. 习题18 1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1) ; (2) . 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x1处, 因为f(1)1, ,  所以 , 从而函数f(x)在x1处是连续的. 综上所述，函数f(x)在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x1和x1处的连续性. 在x1处, 因为f(1)1, , , 所以函数在x1处间断, 但右连续. 在x1处, 因为f(1)1, f(1), f(1), 所以函数在x1处连续. 综合上述讨论, 函数在(, 1)和(1, )内连续, 在x1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1) , x1, x2; (2) , xk, (k0, 1, 2, ); (3) x0; (4) , x 1. 解 (1) . 因为函数在x2和x1处无定义, 所以x2和x1是函数的间断点. 因为 , 所以x2是函数的第二类间断点; 因为 , 所以x1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x1处, 令y2, 则函数在x1处成为连续的. (2)函数在点xk(kZ)和 (kZ)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因 (k0), 故xk(k0)是第二类间断点; 因为 , (kZ), 所以x0和 (kZ) 是第一类间断点且是可去间断点. 令y|x01, 则函数在x0处成为连续的; 令 时, y0, 则函数在 处成为连续的. (3)因为函数 在x0处无定义, 所以x0是函数 的间断点. 又因为 不存在, 所以x0是函数的第二类间断点. (4)因为  , 所以x1是函数的第一类不可去间断点. 3. 讨论函数 的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 . 在分段点x1处, 因为 , , 所以x1为函数的第一类不可去间断点. 在分段点x1处, 因为 , , 所以x1为函数的第一类不可去间断点. 4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0. 证明 不妨设f(x0)>0. 因为f(x)在x0连续, 所以 , 由极限的局部保号性定理, 存在x0的某一去心邻域 , 使当x 时f(x)>0, 从而当xU(x0)时, f(x)>0. 这就是说, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子: (1)x0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; (2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续; (3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数 在点x0, 1, 2, , , n, , 处是间断的且这些点是函数的无穷间断点. 解(2)函数 在R上处处不连续, 但|f(x)|1在R上处处连续. 解(3)函数 在R上处处有定义, 它只在x0处连续. 习题19 1. 求函数 的连续区间, 并求极限 , 及 . 解 , 函数在(, )内除点x2和x3外是连续的, 所以函数f(x)的连续区间为(, 3)、(3, 2)、(2, ). 在函数的连续点x0处, . 在函数的间断点x2和x3处, , . 2. 设函数f(x)与g(x)在点x0连续, 证明函数 (x)max{f(x), g(x)}, (x)min{f(x), g(x)} 在点x0也连续. 证明 已知 , . 可以验证 , . 因此 , . 因为 (x0), 所以(x)在点x0也连续. 同理可证明(x)在点x0也连续. 3. 求下列极限: (1) ; (2) ; (3) (4) ; (5) ;(6) ;(7) . 解 (1)因为函数 是初等函数, f(x)在点x0有定义, 所以 . (2)因为函数f(x)(sin 2x)3是初等函数, f(x)在点x 有定义, 所以 . (3)因为函数f(x)ln(2cos2x)是初等函数, f(x)在点x 有定义, 所以 . (4) . (5) . (6) . (7) . 4. 求下列极限: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5) . 因为 , , 所以 . (6) . 5. 设函数  应当如何选择数a, 使得f(x)成为在(, )内的连续函数？ 解 要使函数f(x)在(, )内连续, 只须f(x)在x0处连续, 即只须 . 因为 , , 所以只须取a1. 习题110 1. 证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f(x)x53x1, 则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)3, f(2)25, f(1)f(2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点(1<<2), 使f()0, 即x 是方程x53x1的介于1和2之间的根. 因此方程x53x1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程xasinxb, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 并且它不超过ab. 证明 设f(x)asin xbx, 则f(x)是[0, ab]上的连续函数. f(0)b, f(ab)a sin (ab)b(ab)a[sin(ab)1]0. 若f(ab)0, 则说明xab就是方程xasinxb的一个不超过ab的根; 若f(ab)<0, 则f(0)f(ab)<0, 由零点定理, 至少存在一点(0, ab), 使f()0, 这说明x 也是方程x=asinxb的一个不超过ab的根. 总之, 方程xasinxb至少有一个正根, 并且它不超过ab. 3. 设函数f(x)对于闭区间[a, b]上的任意两点x、y, 恒有|f(x)f(y)|L|xy|, 其中L为正常数, 且f(a)f(b)0. 证明: 至少有一点(a, b), 使得f()0. 证明 设x0为(a, b)内任意一点. 因为 , 所以 , 即 . 因此f(x)在(a, b)内连续. 同理可证f(x)在点a处左连续, 在点b处右连续, 所以f(x)在[a, b]上连续. 因为f(x)在[a, b]上连续, 且f(a)f(b)0, 由零点定理, 至少有一点(a, b), 使得f()0. 4. 若f(x)在[a, b]上连续, a