第三章函数逼近(4-5)

第三章函数逼近(4-5)nullnull一般最佳平方逼近及其计算最佳平方逼近关于系数的二次函数 null最佳平方逼近null(*) 最佳平方逼近函数的存在性 ?——法方程组最佳平方逼近null最佳平方逼近null最佳平方逼近null最佳平方逼近(*) null最佳平方逼近误差分析null在Hn中求最佳平方逼近多项式 = Hn =span{1, x, …, xn}C[a, b],  (x) 1, [a, b]=[0,1] 最佳平方逼近null系数矩阵Hilbert阵最佳平方逼近法方程：Ha=d法方程的解即为所求。null最佳平方...

nullnull一般最佳平方逼近及其计算最佳平方逼近关于系数的二次函数 null最佳平方逼近null(*) 最佳平方逼近函数的存在性 ?——法方程组最佳平方逼近null最佳平方逼近null最佳平方逼近null最佳平方逼近(*) null最佳平方逼近误差分析null在Hn中求最佳平方逼近多项式 = Hn =span{1, x, …, xn}C[a, b],  (x) 1, [a, b]=[0,1] 最佳平方逼近null系数矩阵Hilbert阵最佳平方逼近法方程：Ha=d法方程的解即为所求。null最佳平方逼近null注：当n较大时，Hilbert矩阵严重病态，数值求解方程组Ha=d不稳定，因此用{1, x, …, xn}作基是不理想的。若能选择一组正交函数作为基，则系数矩阵变为对角阵，法方程组易于求解。平方误差最大误差最佳平方逼近null用正交函数族作最佳平方逼近最佳平方逼近解法方程组null最佳平方逼近null均方误差优点：用正交多项式求最佳平方逼近多项式，避免解法方程组。最佳平方逼近null说明：若取无穷多个正交函数作基，系数按计算，则得级数广义傅里叶级数是傅里叶级数的推广，有关傅里叶级数的结论对广义傅里叶级数都成立。广义傅里叶级数广义傅里叶系数最佳平方逼近nullLegendre多项式作最佳平方逼近当f(x)C[-1,1]时，用Legendre多项式作为Hn的基求最佳平方逼近多项式.最佳平方逼近null最佳平方逼近null最佳平方逼近null最佳平方逼近null切比雪夫(Chebyshev)多项式作最佳平方逼近最佳平方逼近null最佳平方逼近均方误差:null 说明: （2）若取基为{1,x}所求多项式可能是常数，基为{1,x,x2}所求以t为变量用勒让德或切比雪夫多项式作最佳平方逼近。多项式可能是一次多项式。最佳平方逼近null 本节介绍了基本理论(即最佳平方逼近多项式的存在性、唯一性) 总结：及计算方法。用多项式作最佳平方逼近存在缺陷，补救的方法是取正交基。即正交多项式的最佳平方逼近。最佳平方逼近曲线拟合的最小二乘法起源于以观测和测量为基础的天文学，历史悠久。 1794年，17岁的Gauss用最小二乘法解决了多余观测问题。曲线拟合为了应用方便或理论分析近似反映实际问题的函数关系式y=f(x)曲线拟合曲线拟合的一般方法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法拟合标准希望S(x)对数据组“拟合得最好”，衡量标准是什么？残差向量曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法p=1,时，标准直观，也很理想，但涉及绝对值运算，使用不便；上述标准的缺点：所有观测点作用均等，但有时希望某些点(比如比较准确的点)作用大一些，另一些作用小一些。这时采用带权的误差标准曲线拟合的最小二乘法p=2时，就是最小二乘法，(可以使观测或实验中的偶然误差对近似函数的影响最小。)曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法最小二乘法及其运算讨论的问题:曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法离散情形下的基本定义（1）内积：（2）范数：曲线拟合的最小二乘法自己证验证是否满足内积的三个条件或范数的三个条件，即曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法（3）正交:（4）函数组的线性相关与线性无关含m个方程的方程组曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法举例：曲线拟合的最小二乘法关于系数的二次函数曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法上式写为Ga=d(*) 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法最小二乘解的存在性 ?曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法由上面分析看出，最小二乘法只不过是最佳平方逼近在离散情况下的一种特殊形式，同理可证，用上法求得的就是最小二乘解。平方误差：曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法注：当n超过2时，法方程Ga=d是个病态问题。曲线拟合的最小二乘法用正交多项式作最小二乘拟合关于点集{xi}带权函数{(xi)}正交,即满足曲线拟合的最小二乘法设最小二乘解为曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法正交多项式的存在定理定理已知点集及权函数 ,则有关于X及权函数为正交多项式组 ,满足下述三项递推公式：曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法用最小二乘法解矛盾方程组已知y=f(x)实验数据 ,用较简单和合适的函数来逼近（或拟合）实验数据。n+1 数学模型为双曲函数作变换，令，寻求a，b使曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法求解法方程得到最大偏差：从而得数学模型最小平方误差：曲线拟合的最小二乘法nullnull

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