概率论与数理统计_浙大四版_习题解_第7章_参数估计

54 数理统计(浙大第四版)习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解 第 7 章 参数估计 【习题 7.1】随机地取 8只活塞环，测得它们的直径分别为（以 mm计） 74.001, 74.005, 74.003, 74.001, 74.000, 73.998, 74.006, 74.002 试求总体均值 及方差 2 的矩估计值，并求样本方差 2s 。 〖解〗 计算样本和如下 8 1 1 592.016 n i i i i x x      计算样本平方和如下 8 2 2 1 1 43810.36808 n i i i i x x      由样本和计算 的矩估计值如下 1 1 1 ˆ 592.016 74.002 8 n i i x x n        由样本和及样本平方和计算 2 的矩估计值如下 2 2 1 12 2 6 1 ˆ 43810.36808 592.016 8 6.0000 10 8 n n i i i i x x n n                  由样本和及样本平方和计算样本方差 2s 如下 2 2 1 12 2 6 1 1 43810.36808 592.016 8 6.8571 10 8 1 n n i i i i x x n s n                   结论：总体均值 的矩估计值为 74.002，总体方差 2 的矩估计值为 6×10-6，样本 55 方差 2s 为 6.8571×10-6。 【习题 7.2】设 1 2, , , nX X X 为总体 X 的一个样本， 1 2, , , nx x x 为一相应的样本值。 求下列各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值。 （1）       其它,0 , )( )1( cxxcθ xf θθ ，其中 0c  为已知， 1  为未知参数； （2）        .,0 10, )( 1 其它 xxθ xf θ ，其中 0  为未知参数； （3）    1 m xx m P X x p p x         ， 0,1, ,x m  ，0 1p  ，p为未知参数。 〖解（1）〗 已知总体 X 的概率密度为 ( 1) ( ) 0 0, 1 c x x c f x c             其它 解得 X 的期望如下 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 c c c E X xf x dx x c x dx c x dx c x c c c                                            设 1 2, , , nX X X 是来自总体 X 的样本，样本一阶原点矩（样本均值）作总体一阶 原点矩的估计，于是得矩法估计量 ˆ ˆˆ ˆ 1 c X X X c          〖解（2）〗 已知总体 X 的概率密度为 56 1 0 1 0 ( ) 0 x x f x         其它 解得总体 X 的期望如下 1 11 0 0 1 1 0 ( ) ( ) 1 1 E X xf x dx x x dx x dx x                          设 1 2, , , nX X X 是来自总体 X 的样本，样本一阶原点矩（样本均值）作总体一阶 原点矩的估计，于是得矩法估计量 2ˆ ˆˆ 1ˆ 1 X X X              〖解（3）〗 已知总体 X 的概率密度为    1 0,1, , 0 1 m xxmP X x p p x x m p                 引用二项公式，解得总体 X 的期望如下                    0 0 1 11 1 1 ( ) 1 ! 1 ! ! 1 ! 1 1 ! ! 1 m m xx x m m xx x m m xx x m E X m x p p x m x p p x m x m mp p p x m x mp p p mp                                  设 1 2, , , nX X X 是来自总体 X 的样本，样本一阶原点矩（样本均值）作总体一阶 原点矩的估计，于是得矩法估计量 57 ˆ ˆ ˆ X mp X p m      【习题 7.3】求习题 7.2中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 〖解（1）〗 建立问题的似然函数 ( 1) 1 1 ( 1) 1 2 ( ) ( ) ( ) n n i i i i n n n L f x c x c x x x                    作似然函数的自然对数变换 1 ln ( ) ln( ) ln ( 1) ln n i i L n n c x          对数变换后的似然函数对参数求偏导数，并令其等于 0，则得 1 1 1 ln ( ) ln ln 0 ˆ ˆ ln ln ln ln n i i n n i i i i L n n c x n n x n c X n c                        解唯一，故上面统计量ˆ是极大似然估计量。 〖解（2）〗 建立问题的似然函数 1 1 1 12 1 2 ( ) ( ) ( ) n n i i i n n L f x x x x x                作似然函数的自然对数变换 1 ln ( ) ln( ) ( 1) ln 2 n i i n L x        对数变换后的似然函数对参数求偏导数，并令其等于 0，则得 1 ln ( ) 1 ln 0 2 2 n i i L n x            58 由此方程解得 1 1 2 2 2 2 1 1 1 ln 0 ln 0 2 ˆ2 ˆ ˆ ln ln n n i i i i n n i i i i n n x x n n x X                                   解唯一，故上面统计量ˆ是极大似然估计量。 〖解（3）〗 建立问题的似然函数                  n i n i i ixmnx n n i i ppx m x m xXPpL 11 )1(}{)( 11         1 1 1 1 1 2 1 1 ii n n i ii i n n m xx i i i x nm x n m L p P X x p p x mm m p p xx x                                        作似然函数的自然对数变换         1 1 1 2 1 1 1 ln ln 1 ln ln ln 1 n n i ii i x nm x n n n n i i i i ii mm m L p p p xx x m p x p nm x x                                                   对数变换后的似然函数对参数 p求偏导数，并令其等于 0，则得   1 1 ln 1 1 0 1 n n i i i i L p x nm x p p p               由此方程解得 59 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 ˆ1 ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ n n i i i i n i i n i i n i i n n i i i i n i i x nm x p p nm x p p x nm x nm p x x x x X p p nm m m                                       解唯一，故上面统计量 pˆ是极大似然估计量。 【习题 7.4】资料和任务： （1）设总体 X具有分布律 X 1 2 3 Pk θ 2 2θ(1－θ) (1－θ) 2 其中  0 1   为未知参数。已知取得了样本值 x1=1，x2=2和 x3=1，试求 θ的矩 估计值和最大似然估计值。 （2）设 1 2, , , nX X X 是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的极大 似然估计量及矩估计量。 （3）设随机变量 X 服从以 ,r p为参数的负二项分布，其分布律为     1 1 1 kx rk r k x P X x p p r        ， , 1, ,kx r r   其中 r已知， p未知。设有样本值 1 2, , , nx x x ，试求 p的最大似然估计值。 〖解（1）〗 由总体 X的分布律求解它的期望如下      22 2 2 2 1 2 2 1 3 1 4 4 3 3 6 3 2 E X                           60 样本一阶原点矩（样本均值）作总体一阶原点矩的估计，于是得矩法估计量 ˆˆ 3 2 3ˆ 2 X X          进而得 θ的矩估计值为 6 5 2 3 1213 2 3ˆ    Xθ 建立问题的似然函数     3 1 1 2 3 2 2 5 ( ) { } { 1} { 2} { 1} 2 1 2 1 i i i L P X x P X P X P X                     作似然函数的自然对数变换      5ln ( ) ln 2 1 ln 2 5ln ln 1L             对数变换后的似然函数对参数求偏导数，并令其等于 0，则得    ln ( ) ln 2 5ln ln 1 5 1 0 1 1 5 5 5 1 1 1 6 d L d                               解唯一，故 6 5ˆ θ 是的极大似然估计值。 〖解（2）〗 已知总体  X   ，则 X 的概率函数为     ! x f x P X x e x     解得总体 X 的期望如下 61       0 0 1 1 ! 1 ! x i x x x E X xf x x e x e e e x                             样本一阶原点矩（样本均值）作总体一阶原点矩的估计，于是得矩法估计量 ˆ X  建立的似然函数     1 1 1 1 2 ! ! ! ! i n i i xn n i i i i x n n L f x e x e x x x                  作似然函数的对数变换 1 1 ln ( ) ln ln ! n n i i i i L x n x         对数变换后的似然函数对参数求偏导数，并令其等于 0，则得 1 1 ln ( ) 0 1ˆ ˆ n i i n i i x L n x x n X                    解唯一，故 ˆ X  是参数的极大似然估计量。 〖解（3）〗 已知随机变量 X 的分布律（负二项分布）为     1 1 1 kx rk r k x P X x p p r        ， , 1, ,kx r r   引用累积概率总和等于 1，解得总体 X 的期望如下 62                     1 11 1 1 1 1 ! 1 1 ! ! ! 1 ! ! 1 k k k k k k k x rk r k k k x r x r x rk r k x r k x rrk x r k x E X x f x x p p r x x p p r x r xr p p p r x r r r p p                                    样本一阶原点矩（样本均值）作总体一阶原点矩的估计，于是得 p的矩估计量和矩 估计值为 ˆ ˆ ˆ r r X p p X      ˆ ˆ ˆ r r x p p x      建立问题的似然函数                     1 1 1 1 1 ( ) { } 1 1 1 1 ! 1 1 ! ! 1 ! 1 1 1 ! ! i i n i i n i i i n x ri r i n x ri r i i n x nr inr i i L p P X x x p p r x p p r x r x p p p r x r                               作似然函数的自然对数变换                     1 1 1 1 ! ln ( ) ln 1 1 1 ! ! 1 ! ln ln 1 ln 1 ln 1 ! ! n i i n x nr inr i i n i i i x L p p p p r x r x nr p nx p nr p r x r                        对数变换后的似然函数对参数 p求偏导数，并令其等于 0，则得 63   ln ( ) 0 1 1 1 0 0 ˆ nr nx nr L p p p p p p nr pnx pnr r px r p x                   解唯一，故 ˆ r p x  是 p的极大似然估计值。 【习题 7.5】设某种电子器件的寿命（以小时计）T 服从双参数的指数分布，其概率密 度为 ( ) /1 ( ) 0 其它 t ce t c f t         其中 )0,(,  cc 为未知参数，自一批这种器件中随机地取 n件进行寿命试验。设它们 的失效时间依次为 nxxx  ...21 ，（1）求 和c 的最大似然估计；（2）求 和c 的矩 估计。 〖解（1）〗 由题所给条件可知寿命T 的概率密度为 ( ) /1 ( ; , ) 0 其它 t ce t c f t c          建立似然函数 1 ( ) / 1 ( ) 1 ( , ) e i n i i n t c i t c n L c e                由定义域 t c 可知  1 2 1min , , , nc x x x x  对于任意 0  ，由于似然函数  ,L c  在 1c x 处获得最大值，因此推断 1cˆ X 是 参数c的极大似然估计量。 64 作似然函数的对数变换，并代入样本观察值 1 2 nx x x     1 ( ) 1 ln ( , ) ln e ( ) ln n i i x c n n i i L c x c n                          对数变换后的似然函数对参数求偏导数，并令其等于 0，则得 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ln ( , ) ln( ) ( ) ( ) 0 ( ) ˆ n i i n n i i i i n i i x c L c n x c x c n n x x x x n                                                 解唯一，故 1 ˆ X X   是参数的极大似然估计量。 〖小资料〗 对于 t c ，寿命T 的分布函数为     ( ) /1 1 t t c c tc t t c c F t P T t e dt e e e                   因而，全定义域寿命T 的分布函数为   1 0 t c e t cF t t c         由定义域 t c 可知  1 2 1min , , , nc x x x x  65 设参数c的一个估计量为 cˆ，则使 1cˆ x 的概率为           1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 min , , , 1 min , , , 1 1 1 1 n n n nx c x c n P c x P T T T x P T T T x F x e e                            上述概率在 1c x 处达最大，因此参数c的最大似然估计量为 1c X 〖解（2）〗 由题所给条件可知寿命T 的概率密度为 ( ) /1 ( ; , ) 0 其它 t ce t c f t c          求T 的一阶原点矩如下   ( ) /1 c t c t c t t c c c c c c t c t c c E T t e dt te d e te e e e dt te e e e c                                             求T 的二阶原点矩如下     2 2 ( ) / 2 2 2 2 1 2 1 2 2 c t t c c c c t c t c c c t c t c c E T t e dt t e d e t e e te e dt t e e t e e dt c c                                                 样本一阶原点矩作总体一阶原点矩的估计，样本二阶原点矩作总体二阶原点矩的估 66 计，得估计量的正则方程组，即  2 2 1 ˆˆ 1ˆ ˆˆ ˆ2 n i i c x c c x n               解该方程组得    22 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 2 1ˆ n i i c c x x x x n                由上式推得参数的矩估计值和矩估计量为       22 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1ˆ 1ˆ 1ˆ n n i i i i n i i n i i x x x x n n x x n X X n                      将ˆ的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式代入正规方程组，得参数c的矩估计值和矩估计量为     2 1 2 1 1ˆˆ 1 ˆ n i i n i i c x x x x n c X X X n               【习题 7.6】一地质学家为研究密歇根湖湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取 100 个样品，每个样品有 10 块石子， 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 了每个样品中属石灰石的石子数。假设这 100 次 观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为 m和 p的  ,B m p 分布。p是该地 区一块石子是石灰石的概率。求 p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下表。 样本频数分布表 样品中属石灰石的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 观察到石灰石的样品个数 0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0 〖解〗 设 m 表每个样品中的石子总数，并设 X 表每个样品中属石灰石的石子数，则有 67  ,X B m p ，其概率函数为    1 m xx m P X x p p x         设地质学家所取样本的容量为n，由样本 1 2, , , nx x x 建立似然函数      1 1 1 1 2 1 1 ii n n i ii i n m xx i i x nm x n m L p p p x mm m p p xx x                                对似然函数作对数变换         1 1 1 2 1 1 1 ln ln 1 ln ln ln 1 n n i ii i x nm x n n n n i i i i ii mm m L p p p xx x n p x nm x p x                                               对数变换后的似然函数对参数 p求偏导数，并令其等于 0，则得       1 1 1 1 1 ln ln ln ln 1 1 0 1 n n n i i i i ii n in i i i nd L p p x nm x p xp dp nm x x p p                                    1 1 1 1 1 1 ˆ1 1 0 ˆ1 1 1 ˆ ˆ n n i in i i i n i i i n in i i i nm x nm x p x p p p x nm x p x p nm m x                          解唯一，故 pˆ x m 是参数 p的极大似然估计值。 设 x表样品中属于石灰石的石子数，则极大似然估计值计算如下 68   10 0 0 0 1 1 2 6 10 0 499 x xn x              10 0 1 499 4.99 100x x xn x n     4.99 ˆ 0.499 10 x p m    【习题 7.7】资料和任务： （1）设 1 2, , , nX X X 是来自总体 X的一个样本，且  X   ，求  0XP 的 最大似然估计值。 （2）某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布。 试求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率 p的最大似然估计。下表对 122个观察 值的统计结果，其中 x表示一扳道员五年中引起严重事故的次数，  n x 表示观察到的 扳道员人数（频数）。 严重事故样本频数分布表 5年内严重事故次数／x 0 1 2 3 4 5 扳道员人数／n(x) 44 42 21 9 4 2 〖解（1）〗 设 X 表五年内一个扳道员所引起的严重事故的次数，则 X 的概率函数为 { } ! xe P X x x     问题可表为对下面事件的概率做极大似然估计 0 { 0} 0! e p P X e        为计算上面事件的概率，需对做最大似然估计。建立似然函数 1 1 1 2 ( ) ! ! ! ! n i i i x x nn i i i e e L x x x x            对似然函数做对数变换，则 69 1 1 ln ( ) ln ln ! nn i i i i L x n x                对数变换后的似然函数对参数求偏导数，并令其等于 0，则得 1 ln ( ) 1 0 n i i L x n           1 1ˆ n i i x x n     解唯一，故 ˆ x  是参数的极大似然估计值。 引用极大似然估计的不变性，得概率  0P X  的极大似然估计为     ˆˆ 0 ˆ 0 x X P X e e P X e          〖解（2）〗 计算样本均值如下       5 0 5 2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 44 1 42 2 21 3 9 4 4 5 2 137 0 44 1 42 2 21 3 9 4 4 5 2 321 1 1 137 1.12295 122 x x k i xn x x n x x xn x n                                     引用问题（1）结论，五年内一个扳道员未引起严重事故概率 p的极大似然估计如 下 1.12295 ˆˆ { 0} 0.3253 xp P X e e        结论：五年内一个扳道员未引起严重事故概率的极大似然估计为 0.3253。 【习题 7.8】资料和任务： （1）设 1 2, , , nX X X 是来自概率密度为 1 0 1 ( ; ) 0 x x f x         其它 70 的总体的样本，未知，求 1U e  的最大似然估计值。 （2）设 1 2, , , nX X X 是来自正态总体  ,1N  的样本， 未知，求  2P X   的最大似然估计值。 （3）设 1 2, , , nx x x 是来自总体  ,b m  的样本值，又  1 3   ，求 的最大 似然估计值。 〖解（1）〗 已知样本 1 2, , , nX X X 来自总体 X ，其概率密度为 1 0 1 ( ; ) 0 x x f x         其它 建立关于参数的似然函数   1 1 1 1 1 ( ) ; n i i n i i n n i i L f x x x                  作似然函数的自然对数变换   1 1 1 ln ( ) ln ln 1 ln n n i i n i i L x n x                    对数变换后的似然函数对参数求偏导数，并令其等于 0，得   1 1 ln ( ) ln 1 ln ln 0 n i i n i i L n x n x                         因而参数的极大似然估计为 71 1 1 1 ln 0 ˆ ˆ ln ln n i i n n i i i i n x n n x X                  解唯一，故 1 ˆ ln n i i n x     是的极大似然估计值。 引用极大似然估计的不变性，解得 1U e  的最大似然估计值为 1 1 ln ˆ1 1 1 ln 1 ˆ n i i n i i x n n nx n i i U e e e x                      结论： 1U e  的最大似然估计值为样本的几何平均。 〖解（2）〗 已知样本 1 2, , , nX X X 来自正态总体  ,1N  ，建立关于参数 的似然函数         2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 ( ) 1 2 2 i n i i n i i n x i xn L f x e e                    作似然函数的自然对数变换       2 1 1 2 2 2 1 ln ( ) ln 2 1 ln 2 2 2 n i i xn n i i L e n x                       对数变换后的似然函数对参数 求偏导数，并令其等于 0，则得 72     2 1 1 1 1 ln ( ) ln 2 2 2 1 ˆ0 n i i n n i i i i n L x x x x n                                解唯一，故 ˆ x  是 的极大似然估计值。 引用极大似然估计的不变性，解得  2P X   的最大似然估计值为         ˆ ˆ 2 ˆ1 2 ˆ1 2 1 2 P X P X x              〖解（3）〗 已知样本值 1 2, , , nx x x 是来自总体  ,b m  ，则  ,b m  的概率密度为  ( ; ) 1 ii m xx i m f x x           建立关于参数的似然函数      1 1 1 1 1 ( ) { } 1 1 1 ii n n i ii i n i i i n m xx i i nx nm x i i L P X x m x m x                                  作似然函数的自然对数变换         1 1 1 1 1 1 ln ( ) ln 1 1 ln ln 1 ln 1 ln n n i ii i nx nm x i i nn n i i i i i i m L x m x nm x x                                              对数变换后的似然函数对参数求偏导数，并令其等于 0，则得 73     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ( ) ln ln 1 ln 1 ln 0 0 1 1 1 1 1 1 1 nn n i i i i i i n n i i n n i i i i i i n n i i i i n n i i i i n i i m L x nm x x x x nm x nm x x nm x nm x x nm x m x                                                                                        解唯一，故 ˆ x m  是参数的极大似然估计值。 引用极大似然估计的不变性，解得 的最大似然估计值为 ˆ ˆ3 1 3 1x m      【习题 7.9】资料和任务： （1）验证第六章第三节定理四中的统计量 2wS         2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 2 w n n S S S n n n n n S n S n n                 是两总体公共方差 2 的无偏估计量（ 2wS 称为 2 的合并估计）。 （2）设总体 X 的数学期望为 ， 1 2, , , nX X X 是来自 X 的样本。 1 2, , , na a a 是 任意常数，验证下面的样本加权平均统计量 X 1 1 1 0 n i i n i in i i i a X X a a          是 的无偏估计量。 74 〖解（1）〗 设 21S 是样本 11 2, , , nX X X 的样本方差， 2 2S 是样本 21 2, , , nY Y Y 的样本方差，则有         1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 12 1 1 1 1 2 2 1 11 2 2 2 2 1 11 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n i i i i i i n i i n i X X n X nX E S E E n n E X n E X n n n n n n                                                                     同理，  2 22E S  于是                 2 2 1 1 2 22 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) 2 1 1 2 1 1 2 w n S n S E S E n n n E S n E S n n n n n n                             证毕。 〖解（2）〗 记 )( iXE ，引用随机变量和期望的运算 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf ，则   1 1 1 1 1 1 ( ) n n n i i i i i i i i n n n i i i i i i a X a E X a E X E a a a                              因此，样本的加权平均统计量 X 是 的无偏估计。 75 【习题 7.10】设 1 2, , , nX X X 是来自总体 X 的一个样本，且期望  E X  和方差   2Var X  。 （1）试确定常数c使统计量   1 2 1 1 n i i i c X X     为 2 的无偏估计。 （2）试确定常数 c使统计量 2 2X cS 为 2 的无偏估计。其中， X 为样本均值， 2S 为样本方差。 〖解（1）〗 由于              1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 ( ) 0 2 1 n n i i i i i i n i i i i i n i E c X X c E X X c Var X X E X X c c n                                           由此可见，当   1 2 1 c n   时，   1 2 1 1 n i i i c X X     是参数 2 的无偏估计。 〖解（2）〗 由于           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 E X cS E X cE S Var X E X c c c n n                         由此可见，当 1 c n  时， 2 2X cS 是参数 2 的无偏估计。 【习题 7.11】设总体 X 的概率密度为 76 11 0 1 ( ; ) 0 x x f x           其它 ，0    1 2, , , nX X X 是来自总体 X 的样本。 （1）验证的最大似然估计量是 1 1ˆ ln n i i X n      。 （2）证明ˆ是的无偏估计量。 〖解（1）〗 已知变量 X 的概率密度为 11 0 1 ( ; ) 0 x x f x           其它 ，0    由样本 1 2, , , nX X X 的观察值建立问题的似然函数如下 1 1 1 1 1 ( ) n i i n n i i L x x                 作似然函数的对数变换 1 1 1 ln ( ) ln 1 ln ln n n i i n i i L x n x                        对数变换后的似然函数对参数求偏导数，并令其等于 0，则得   1 1 2 1 1 ln ( ) ln ln ln 1 ln 0 n i i n in i i i L n x x n x n                                       由上式推得参数的极大似然估计值和估计量为 77 1 1 1 ln 0 1 1ˆ ˆln ln n i i n n i i i i x n x X n n                   解唯一，故 1 1ˆ ln n i i X n      是参数的极大似然估计量。 〖解（2）〗 求总体 X 的函数 ln X 的期望如下       1 1 0 1 1 0 11 1 1 0 0 11 1 11 0 0 1 ln ln ln 1 ln E X x x dx x d x x x x dx x x dx x                                  由于   1 1 1ˆ ln 1 ln 1 n i i n i i E E X n X n n n                        因此， 1 1ˆ ln n i i X n      是参数的无偏估计量。 【习题 7.12】设 1 2 3 4,