一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法

一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法 刘剑波 蔡喜平 （哈尔滨工业大学应用物理系，哈尔滨 !"###!） （$###年 !!月 !%日收到） 将实验模拟法引入量子力学 &设计了一个弦振动系统，这个系统的定态方程与定态薛定谔方程数学形式一样， 为定态薛定谔方程的模拟解法提供了理论和实验途径 &宏观模拟的结果为理解薛定谔方程提供了宏观类比 & 关键词：薛定谔方程，宏观模拟解法 !"##：#’(" ! 引 言 在量子力学的局域性理论中，薛定谔方程具有 核心地位 &目前解这个方程有三种方法 &一是在数学 上严格求解，得到体系的能量本征值与本征波函数 （如著名的氢原子问题）；二是近似计算方法（如微扰 法、变分法、)*+法等）；三是数值计算法，由于计算 机的应用，目前有大量文献报道这种方法的使 用［!—’］&本文将研究另外一种方法，即将微分方程的 实验模拟法引入量子力学 &建立一个宏观波动体系， 这个体系所服从的波动方程在数学形式上与薛定谔 方程一样，那么，我们就可以用实验的方法研究这个 宏观体系在各种边界条件下所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出的现象，这些 宏观现象在数学上对应量子体系的行为 &这样，就通 过研究宏观现象巧妙地研究了微观现象 &这样做有 三点好处：一是使难以理解的量子现象有了一个宏 观类比；二是宏观实验可以模拟任意形状的定态势 场约束下德布罗意波的行为，这是严格求解法和近 似计算法做不到的；三是通过宏观模拟可以洞察一 些至今没有发现的量子现象 &对于定态的薛定谔方 程，本文介绍的工作达到了上述目的 & $ 非齐次弦振动方程 设一柔软的细线，线密度!、张力为 !，处在一 种弹性媒质中，媒质对弦线仅提供形式为 " , - #（$）·%（$）·!$ 的力 & %（ $）是弦线上任一点离 开平衡位置的位移，#（$）是 $ 点的弹性系数，!$ 是 所研究弦线上的一小段在 $ 轴上的投影，负号代表 " 方向与%（$）方向相反（图 !所示）&下面用 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的 力学程序证明，这个体系的运动规律符合 *./0123452 641方程 & 图 ! 非齐次弦振动方程的推导 在弦上任取一小段 &&7 &由于弦的振动是微小 的，故可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可以认 为 &&7的弧长!’ ,!$，这时张力 ! 是一个常数，它 与位置 $ 和时间 ( 均无关 &又由于弦是柔软的，所以 张力 ! 的方向总是沿着弦的切线方向［8］& 受力分析： （!）作用在 &7点上的张力 !，它在 ) 轴方向的 分力为 !901"7 & （$）作用在 & 点的张力 !，它在 ) 轴方向的分 力为 - !901"& （’）作用在 &&7上，垂直于 $ 轴约束力为 " , - #（$）·!$·!)（$），其中 #（ $）是作用于弦线上质 量元!$·!的弹性约束力 " 的线密度，!是弦的质 第 "#卷 第 "期 $##!年 "月 !###2’$:#;$##!;"#（#"）;#<$#2#" 物 理 学 报 =>?= @ABCD>= CDED>= F4.&"#，E4&"，GHI，$##! " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! $##! >J01& @JI9& C4K& 万方数据 量密度 ! 根据牛顿第二定律 !"#$!% & !"#$! & "（#）·$·!# ’"·!#·$%% ! （(） 因 )*!’ $#，故 "#$!’ )*! ( + )*,! ! ’ $# ( + $,! # ! 由于弦作微小振动，形变很小，$,#"(，故 "#$!# $#（#，%）! （,） 同理 "#$!# $#（# +!#，%）! （-） （,），（-）式代入（(）式，得 !［$#（# +!#，%）& $#（#，%）］ & "（#）·$·!# ’"·!#·$%% ! 应用中值定理： ［$#（# +!#，%）& $#（#，%）］’ $##·!#， 得 !$##·!# & "（#）·$·!# ’"·!#·&%% ! 式中，$##是 $ 对空间变量 # 的二阶偏导数，$%%是 $ 对时间变量 % 的二阶偏导数 ! 令!#$.，上式化为 $%% ’ ! " $## & "（#） " ·$ ! 记 ! " ’ ’,，& "（#） " ’ (，上式写成 $%% ’ ’, $## + (·$ ! （/） 这就是所设系统的运动方程 !与相对论性量子 论的 012#$345675$ 方程数学形成上完全一样，比一 维含时薛定谔方程（8）在时间变量上多一次偏导 ! ##""%$ ’ & #, ,) ", "#,$ + *（#）$ ! （8） 重要的是力函数 ( ’ & "（#） " 在方程（/）中的作 用与薛定谔方程中的势函数 *（ #）完全一样，正是 这一点，保证了我们能够模拟一维定态薛定谔方程 ! 下面将证明这一点 ! - 定态非齐次弦振动方程与一维定态 薛定谔方程的对应 虽然方程（/）对时间是二阶偏导，与薛定谔方程 （8）对时间一阶偏导不一致，但下面可以证明，不含 时的定态方程（/）与一维定态薛定谔方程数学形式 完全一致 !由于研究的是（/）式的定态形式即驻波 解，力函数 (（ #）仅与空间有关，所以可以考虑方程 （/）的分离变量形成的驻波解 ! 将（9）式代入（/）式，两边同除 ’, +, 得 ( ’, ,· 7, , 7 %, ’ ( +· 7, + 7#, + ( ’, ! （:） 方程（:）左边只与时间有关，右边只与空间坐标 有关，两边相等，必然是左右两边共同等于一个常 数 !设这个常数为 & -，则（:）式分离为如下两个方 程 ! 描写时间行为的左式： ,;（ %）+ -’, , ’ .! （<） 描写空间行为的右式： +;（#）+ (’, + ’ & -+ ! 将 ( ’ & "（#） " ，’, ’ ! " 代入上式得 +; & "（#） " + ’ & -+ ! （=） 方程（=）就是图 (所设系统的定态方程 !为了方 便与一维定态薛定谔方程的比较，将（8）式写成 $; & ,) #, *（#）·$ ’ & ,) #, ·.$ ! （(.） 现在比较（=），（(.）式，很显然（=），（(.）两式左 边第一项都是关于空间的二阶导，第二项函数都乘 以一个只与 # 有关的变系数，右侧的函数都乘以一 个常数，所以有如下的模拟关系： $ $ +， （((） & ,) #, *（ /）$& "（#） ! ， （(,） & ,) #, . $& - ! （(-） 可见，定态的薛定谔方程（(.）与定态的齐次弦 振动方程（=）在数学形式上完全一样，可以利用（=） 式在宏观上的行为模拟薛定谔方程的微观量子行 为 ! / 模拟关系的进一步明确 (> 模拟关系（((）式，意义很明确：弦振幅沿 # 方向的分布形状就对应概率波的本征波函数的具体 形状 ! , > 将（=），（(.）式都框定在一维无限深势阱中 运动，即令 *（#）$?， "（#） ! $?，则薛定谔方程形 成分立的能级： .0 ’ # ,#, 0, ,)1,物 ，0 ’ (，,，-，⋯ （(/） (,<8期 刘剑波等：一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法 万方数据 ! 为电子质量、"物 为势垒宽度 ! 弦振动方程将形成驻波： # " ! # $# "#弦 ，$ " $，#，%，⋯ （$&） 在（$’）式中令 $ " #，即在势阱中形成一个电子 的德布罗意波（波长!物），即 "物 "!物，（$’）式化为 %# " ! #"#·## #!!#物 ! （$(） 在（$&）式中令 $ " #，即在弦的势阱中形成一个 驻波（波长!弦），（$&）式化为 ## " ! #·## !#弦 ! （$)） （$(），（$)）式代入对应关系（$%）式，并整理得 !物 !!弦 ! （$*） 很明显，对 $ " $，#，%，⋯都会得到（$*）式 !这样 通过势阱中两方程的行为，得到了非常齐整的（$*） 式 !更普遍地，可以证明两方程在势场内部的行为也 将导出相同的对应关系 ! % + 讨论模拟关系（$#）式的意义 !对于确定的弦 振动系统，线密度#、张力 &，一般都是固定的，所以 在实际的模拟实验中，一旦调整合适后，#，& 可视 为常数 !这样（$#）式中变动的量就是 ’（ (）和)（(）! 所以（$#）式化为 ’（(）! )（(）! （$,） ’+ 讨论时间方程（*）导致的模拟关系 !在定态 的情形中，时间部分和空间部分是分离的，但又有一 定的确定关系 !在势场内部薛定谔方程的时间分量 方程为 -" . * . + " %* ! 通解为 *（(）" ,·/0 -% " ·+，% 是定态能量， % ""-物 ! （#1） 相应地，在弹性势场内部，定态非齐次弦振动方 程的时间方程（*）的通解为 .（ +）" /·234"#·0+ 5 14-6"#·0+ ! 即此弦振动的圆频率为 -弦 " "#·0， 写成 # " $0#·- # 弦 ! （#$） 将（#1），（#$）式代入模拟关系（$%）式，并略掉系 数得 -物 ! -#弦 ! 总结以上讨论，得到如下明确的模拟关系，这种 模拟关系在后面的模拟实验中变得更加具体、生动 ! $ ! 2， ’（(）! )（(）， !物 !!弦， -物 ! -#弦 ! （##） & 简单的实验模拟和讨论 理论上已经明确，图 $所示的弦振动装置中，弹 性体的弹性系数 )（(）就相当于薛定谔方程中的势 场 ’（(）!这说明，)（(）对弦线的弹性约束对应薛定 谔方程的 ’（(）对$ 的约束 !这确实是幸运的事，使 我们可以利用极简单的装置就可以模拟定态薛定谔 方程的深刻内涵 !这里只能粗略介绍模拟一维线性 谐振子的结果，详细的应用范例另文发表 ! 量子力学的一维谐振子形成分立的能级 %$ " 3- $ 5( )$# !这完全是由于势函数 ’（ (）的空间形 状对自由电子波的约束造成的 !用一个电磁铁激励 的振子作为激励源，激励一段张紧的弦线，将几条弹 性极好的橡胶丝固结在弦线上，将橡胶丝的自由端 /和 /7固定（图 #（8））!容易证明一个均匀的橡胶 丝，长度越长，相应的 ) 值就越小，正是利用这一 点，可以随意控制 ) 的取值，用它来模拟不同形状 的势函数 ’（(）!在模拟谐振子的实验中布置 )（ (） 在 ( 轴方向的分布呈 )（ (）" $# #( # 形 !调节激励源 频率，在 ,*9:，$)’9:，##(9:，#($9: ’ 个频率处出现 了明显的驻波 !相应地，在弦上出现了 ’ 种驻波波 形，如图 #（;）所示 !由于空气阻尼的作用，其他高频 的共振驻波几乎出现不了 !可以预料，如果将这个装 置放于真空中，更高次的驻波一定可以观察到，实验 中，其他参数的数据为：& " ’4，#" $! ) < $1 0 ’ =>?@， )/ " %4 ?!，)1 " 1! ’4 ?!，橡胶丝间距 5 " 1+1’ @， 橡胶丝线密度#7 " $ < $1 0 ’ =>?@! 利用模拟关系（##），对所得数据进行处理如表 $ !可以看出表 $最后一列数据就体现了线性谐振子 的能级结构，可以归纳，在 &A的误差内，对于 $ " 1， $，#，%存在关系 %$ " 3-物 $ 5( )$# !这正是一维线 性谐振子的本征能量的严格解析解 !对于实验中出 现的 ’个驻波波形，可以很容易看出，它们分别对应 于 $ " 1，$，#，%的 ’个本征波函数 ! ##* 物 理 学 报 &1卷 万方数据 图 ! 一维线性谐振子的模拟 （"）虚线代表 !（ "）“势场” 的形状，圆点代表橡胶丝的固定端，激励源在 # 点激励这个 弦振动系统 #（$）实验中观察到的 %个共振驻波波形，它们对 应 $ & ’，(，!，)的本征波函数 表 ( 数据处理及结果 %弦 *+, %!弦 *（+,）! 取 -.’%（+,）! 的 ! 倍为 (个 %!弦单位 %物 & & (’ %弦 -/ -.’% (*! (*! （’ 0 (*!）*!%物 (1) !--!- (23. (2’. 0 (*! （(2’. 0 (*!）*!%物 !!. 3(’1. !2.. !2’. 0 (*! （!2’. 0 (*!）*!%物 !.( ./(!( )233 )2’3 0 (*! （)2’3 0 (*!）*!%物 以上，大致给出了应用模拟法解定态薛定谔方 程的简单步骤 #由于是模拟解法，结果只能给出所研 究系统的能级结构和本征波函数的形状 #显然要想 了解所研究系统的具体数值，需要知道一个能量本 征值和相应的波函数作为定标初始值，这也是其他 近似法和数值计算法都具有的缺点［%］# . 结 论 (2 找到了一个宏观系统，它的行为遵从 456789 :;<=;8方程，它的定态方程就是 ()" & &" #这为研 究量子力学提供了一种新方法———实验模拟法 # ! 2 定态薛定谔方程的宏观模拟，为理解量子力 学的结论提供了宏观对比物 # ［(］ ># ?# 4<"@A6，4# ># BCD"EF6<，4# G# 4@5"8=6<，*’+, # -./ # 0.11 #，!" （(--!），)3)3 # ［!］ 469,D@ H"8 .1 23 #，4512 *’+,652 76$652，#"（(---），((/3（ 78 GD79 86A6）［闫珂柱、谭维翰，物理学报，#"（(---），((/3］# ［)］ 4# I@<86FF，J# ?# 487KDF，I#L#M# J7<"@N .1 23 #，*’+, # -./ # 0.11 #， !!（(--(），)’(# ［%］ 4# M# ?7"8K，J"1%*> >?2 2@A2;492BCDE F49GEDC48B 92C?86 4F 4BC;86G326 4BC8 C?2 HGDBCG9 923?DB43F I % 54:;DC4BJ 3?8;6 FKFC29 L4C? 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