5专题一：整数和分数量子霍尔效应

http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 1 上讲回顾 • 金属自由电子气的低温性质 * 化学势随温度升高而降低 * 定量得到了比热与 T的正比关系 • Drude模型能够定性描述电导率的原因 * 电子自由程远远大于原子间距 • 碰撞机制——恢复平衡 * 弛豫时间是恢复平衡所需时间 • 均匀磁场中的电子气 * Landau能级和状态密度 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 2 本讲内容和目的 • 专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 一：整数和分数量子霍尔效应(11.1.3和 12.5) * 针对电子气的独立电子近似电子关联 * 究竟什么是多体问题？什么是电子强关联？ 电子的强关联是凝聚态物理中最重要的问题 • 专题选择所遵循的原则 * 前沿的、重要的问题。但前提是能够讲明白所选专 题的物理究竟是怎么回事 * 能不能讲明白取决于我们现有的背景知识够不够 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 3 第5讲、整数和分数量子霍尔效应 1. 多体（电子）问题？ 2. 整数量子霍尔效应(IQHE) 3. Landau能级和局域态 4. 整数量子霍尔效应的解释 5. 分数量子霍尔效应(FQHE) 6. 换个图象看量子霍尔效应 7. 分数量子霍尔效应的解释 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 4 1、多体（电子）问题？ • 金属自由电子气体模型与理想气体模型比较— —从设计Drude模型角度出发 • 理想气体模型： * 研究对象是气体分子，相互作用是指气体分子与气 体分子之间的相互作用——碰撞 • 自由电子气模型： * 研究对象是电子，但是电子与电子的相互作用却被 忽略独立电子近似； * 另外还有一隐形的——离子，但是电子-离子的作用 也被忽略自由电子近似 * 离子是不得不被加入的：否则，电子没有阻尼机 制，将在外电场下将被无限加速。于是设计成与离 子（不是对象）碰撞弛豫时间近似 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 5 独立电子近似质疑——关联问题 • 电子作为带电体至少有库仑相互作用 * 忽略这样的作用，近似能够好到什么程度？ • 固体物理、凝聚态物理最重要的问题 * 太复杂、太困难 * 到目前为止，已经颁发了8个与强关联有关的诺贝 尔物理奖 液氦(1962, 1978, 1996) 超导(1913, 1972, 1987) 量子霍尔效应(1985,1998) 全与低温有关思考：有没有看法或猜想？ http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 6 将分四个专题来专门介绍这个问题 • 单电子近似（专题二）：所有电子（包括被考 虑的对象）作为一个整体对单个电子（被考虑 的对象）的平均作用 • 金属—绝缘体相变（专题四）：忽略电子关联 会导致什么荒唐的结果? • 超导（专题五）：电子关联又会引起什么奇异 的结果? • 量子霍尔效应（专题一）：电子必须作为整体 （关联在）一起被考虑，才能解释量子霍尔效 应今天的主题 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 7 2、整数量子霍尔效应 • K. von Klitzing（1943~）：观察到整数量子霍 尔效应，PRL45, 494 (1980) * 极低温1.5K、强磁场18T、载流子浓度约1013/cm2？ * 二维电子气的霍尔电阻与栅电压的关系呈现一个个 量子化的平台 年起定为电阻单位 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 为整数。 1990 ,1 22 e hj e h jI V x H H  作用这个量来包装这个工常数称为 ,Klitzingvon , 2 1 0 1 2 ce h   • 这个实验在1978年已经完成，但当时没有注意 这个平台是量子化的。平台平整度10-8 • 因为这个发现的重要意义，1985年获Nobel奖 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 8 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 9 这个发现的重大意义 • 这个成果被包装成《用量子Hall电阻高精度地 确定精细结构常数的新 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 》 * 精确性，稳定性和可重复性。 * 精细结构常数是个基本物理常数，一个无量纲常数。 以前测量精细结构常数一是与量子电动力学有关的 实验；另一是从Joephson效应 * 诺贝尔奖只授予那些改变了人类文明，促进了世界 进步的成果 • 强关联，注意条件： * 强磁场18T，极低温1.5K，低密度的载流子 载流子：传导的载体，现在可以理解为就是电子 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 10 • 观测量子霍尔效应示 意图：MOSFET样品。 固定B，改变栅电压以 改变载流子数目，观 察霍尔电压VH和纵向电压VL的变化 • 霍尔电压呈现平台的 地方，纵向电压VL为零纵向电阻为零！ • 几种样品都有同样的 结果（外型尺寸、载 流子类型、能带结 构，…），这是一个 普适现象 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 11 • 也可控制栅电 压保持电流密 度不变，只改 变磁场，也可 看到霍尔电阻 的平台和纵向 电阻为零 • 今天我们不讲它对世界文明有什么重要，只关 心物理！就是说，这现象背后的物理实质是什 么？怎么解释这个实验现象？ http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 12 3、Landau能级和简并度 • 实验观测条件指出，这是一种强磁场下的二维 约束的电子气体 • 三维自由电子气在均匀磁场(z方向)下如何运动 • kz和绕磁场方向的角动量是好量子数 • 电子绕磁场方向作螺旋运动 * 其解为 m eBn m kkE cczzn      , 2 1 2 )( 22  • 即在平行于磁场方向，能量仍是连续的，但在 垂直于磁场平面，原来无磁场时的连续能量， 量子化，简并到分立的Landau能级 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 13 Landau环 • 对二维电子气体，在垂 直于该平面加上均匀磁 场后，k空间被等分成 一个个面积为常数的 Landau环，每个环上的 能量各自相等；三维 时，则被等分成一个个 横截面为常数Landau管      eBm EmkkA c yx   22 2 2 2 22   h eBL h eBLeBAp 面积 单位    2 2 2 21   k • 原均匀分布的k点，简并 到Landau环，简并度 kx ky http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 14 磁场下的二维电子气态密度 • 磁场垂直于二维面 • 如果是二维电子气，那么加磁场垂直于二维电 子所在面，能量态密度也是量子化的 • 能量态密度是δ函数形式，δ函数乘以简并度 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 15 因此，简并度也可从2D态密度得到 • 也可从没有磁场时的二维电子气的电子能态密 度(是常数，单位面积态密度为)得到简并度 22 2 )(  mEg D  • 引入磁场后，连续分布的能态收缩为等能级间 隔的分立能级，但总的能态数目并没有减少， 都简并到分立能级上 • 因此，单位面积Landau能级简并度为(注意： 强磁场下自旋简并已消除) B h emEEgp cD   22 2)( http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 16 霍尔电阻j参数的物理意义：填充因子 • 电子密度为n时对Landau能级密度p的填充， 填充因子为 eB nh p nj  • 将n代入霍尔电阻 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 (Ix纵向电流VH霍尔电压) x H H I V • 霍尔电阻中的j参数的物理意义就是填充因 子，即电子填充到哪个Landau能级 思考：能不能用金属观察量子霍尔效应？ wI wV x H / / B BJ E x H ne BBRH  21 e h j  http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 17 4、整数量子霍尔效应的解释 • 扩展态：原Landau能 级态，可在整个平面 内自由移动的电子态 • 局域态：由缺陷导致 的态局域在缺陷附 近，好象芯电子被束 缚在原子核周围 • 量子霍尔效应就是由 这些局域态产生 • 如果材料有缺陷，会使Landau能级的简并度降 低，Landau能级展宽成有限宽度的局域态 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 18 整数量子霍尔效应解释 • 当电子态密度增加或磁场降低时，局域态被逐 步填充，但扩展态占据数没有改变，因此，电 流不变，霍尔电阻不变，形成一个台阶，只有 电子密度在电压下增加到占据更高的Landau能 级时，传导电子才增加，霍尔电阻突然变化 • 栅电压变化(EF变化)。EF在能隙(局域态)中 时，对应霍尔电阻平台， EF在Landau能级(扩 展态)时，对应霍尔电阻突然增加， • 如保持栅电压不变(相当于EF不变)，只改变磁 场，Landau能级及局域态整体压缩或伸展，也 可以引起霍尔电阻发生类似的变化 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 19 思考：是否还有什么没有解释清楚？ • 填充时，局域 态对电流没有 贡献，因此对 应电阻平台， 只有填充到更 高级的朗道能 级，才进入下 一个平台似 乎已经很好地 解释了整数量 子霍尔效应? 20 尚有两个问题没有解释！ 1. 对应霍尔电 阻平台为什 么纵向电阻 会变成零？ 2. Landau能 级展宽后， 霍尔电阻平 台数值是否 还正好等于 实验值？ • 较新的固体教材如涉这个问题就到此为止了。 不能用前面的图象解释，那是单粒子图象 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 21 5、分数量子霍尔效应 • R. B. Laughlin (T) D. C. Tsui (E, 崔琦) H. L. Stoermer (E) • 1982年，0.5K，20T，1011/cm2，发现分数量子 霍尔效应， PRL48, 1559 (1982) 为分数je h jH ,1 2 • 同年由Laughlin对此进行理论解释，论文发表 在 PRL50, 1395 (1983) • 1998年上述三人共同分享诺贝尔物理奖 * 实验论文发表是三个人署名，还有A. C. Gossard， 主要提供样品 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 22 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 23 • 对于整数量子霍尔效应的单粒子图象不再适用： 实验条件指明是强关联！ • 新稳定态好象在电子填充Landau能级到一个分 数时产生！而且分母都是奇数！ Landau能级 中间还有新的态，态与态之间有能隙？ http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 24 6、换个图象看量子霍尔效应 • 二维路径绕一圈必有一点 交点，三维则不然 * 考虑到电子有波动性时这有 很大不同 • 电子波在封闭路径上必须 形成驻波才有稳定态，三 维没有此约束条件 • Landau能级的物理原因！ * 形成本征值问题，即只有特 定的波长才能满足驻波条件。 这个条件决定电子在磁场中 能量是不连续的。 三维路径 二维路径 交点 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 25 磁通量子 • 由前面的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 可以知道：一个被束缚 在二维空间运动的电子必须包围整数 倍磁通量子时才是稳定的，即绕磁通 量子一圈，位相变化必须正好是2π 的整数倍，这样形成的驻波才是稳定 的，因为二维时路径一定是闭合的， 不闭合就是发散的 • 否则，分数的磁通不能使相位等于2 π的整数倍，因而是不稳定的 • 用磁通量子作磁场基本单位 e h0 0n 0m n http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 26 为何引入磁通量子？ • Landau能级的简并度等于磁场以磁通量子为单 位的数目！ * 就是单位面积内有多少个磁通量子 • 这样，填充因子j就等于二维电子气的电子数目 与磁通量子数目的比 * 即j=电子密度/磁通密度 * j就是每个磁通量子分配到的电子数目 * 电子气中电子数固定，磁场越大，j就越小；磁场固 定，电子数越大，j就越大 0  BB h ep heB n p nj /  http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 27 • 磁通量子上的几个电子，能级是不连续的 • 磁通量子上串几个电子，就是被填充到哪个 Landau能级 • 磁场强度小的时候，电子数目大于磁场的磁通 数目，电子平均分在每个磁通量子上，所以每 个磁通量子总有几个电子与之配对，填充因子 是整数 1j 2j 3j • 如果用箭头表示磁通量子，圆饼表示电子 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 28 电子-磁通量子串形成量子超流体 • j为整数的电子和磁通量子串，相互排斥(关联) 形成一种不可压缩的量子流体 • 量子超流体没有散射：量子超流体就好象是一 挤满粒子的非常狭窄的通道，所有粒子只能一 起行动，要么都往前，要么都往后走。因此就 根本没有碰撞和散射——没有阻尼机制 • 没有同样配对的电子和磁通形成准粒子或缺 陷，受其他超流体排斥，是局域的 • 这种准粒子或缺陷只有积累到一定程度，才会 破坏超流体状态 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 29 量子超流体对IQHE的解释 • 前面遗留的两个问题现在可以解释 • 基态和激发态之间存在能隙，Landau能级间隔 • 在极低温下，超流体粒子不能获足够的能量跃 迁到激发态，但低能态又全被占满，无处可 去，挤在一起，形成所谓的超流，不会受散 射，故沿栅电场方向电阻Rxx=0，对应ρH平台 • 磁场增加，破坏配对，开始破坏超流态，达到 一定程度后，不再有超流态性质，霍尔电阻平 台被破坏 • j为整数时，这幅图象比较简单 * 纵向电阻为零得到了解释 * 平台的数值与von Klitzing常数的关系也得到了解释 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 30 7、分数量子霍尔效应的解释 • 当j为分数，怎么解释呢？ • 强磁场，低载流子浓度才能观察到！从磁通的 观点这是由于电子密度小于磁通密度，如此， 填充因子是分数。Landau能级被占了比如 1/3，还有2/3空着 • 先看j为分数时的磁 通量子和电子串图 • 这时，可以看成几个 磁通穿一个电子，这 里j=1/3 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 31 不可压缩量子超流体 • 这样的圆饼箭头串形成不可压缩量子流体，称 为量子超流体 • 这种量子超流体的状态与填充因子j有关 • 压缩一个系统，等于改变电子密度，改变j。当 面积和磁场都固定时，这样的改变都要改变能 量，有空隙的存在 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 32 量子超流体状态在外场下如何变化？ • 需要解释量子超流体如何变化。显然，填充因 子j是一个表示超流体状态的量。因为，这时所 有超流子都是j。如j改变，才使超流体发生变 化，观察的霍尔电阻才会发生改变 • 但当磁场增加或减少，磁通量变而电子数不变 时，不会立即改变整个量子超流体的状态。这 时，会出现有些圆饼（电子）少一个箭头（磁 通），或有些箭头（磁通）没有圆饼（电子） 这样的缺陷。这样的缺陷积累多了，达到一定 程度，整个系统就不再是量子超流体，纵向电 阻不为零，霍尔电阻发生改变 • 栅电压变化时，改变电子数，结果也一样 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 33 为什么量子超流体中有缺陷？ • 并不总是正好所有的电子分配到同样的磁通 * 当正好都是三个磁通量子配一个电子，而有一个电 子只分配到两个磁通量子，这就是一个j=1/3态缺陷 * 当正好都是三个磁通量子配一个电子，可能只有一 个磁通量子没有任何电子，这也是一个j=1/3态缺陷 • 准粒子 * 由于缺陷的能量稍高，附近的超流体会排斥它使它 孤立出来，其余部分仍保留超流体性质 * 孤立出来的缺陷也可以流动，有自己的动量，能 量，称为准粒子，占据准粒子能级 * 准粒子带电量这样考虑：对少一个磁通量子而言， 相当于多了-1/3e的电量，而对多一个磁通量子而 言，则少了1/3e的电量，这就是准粒子带有的电量 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 34 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 35电荷的准粒子 3 e 电荷的准粒子 3 e http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 36电荷的准空穴 3 e 电荷的准空穴 3 e http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 37 准粒子或缺陷如何运动？ • 准粒子不是超流体，准粒子之间会有相互作 用，会受到散射 * 准粒子受散射，就会产生电阻 * 改变外场，一些正常粒子被激发成准粒子，有能隙 • 问：为何准粒子少时，觉察不出来电阻变化？ • 准粒子能级也有扩展态和局域态！ * 局域态不参与导电，而扩展态可以到处流动 * 准粒子数量少时，先占据局域态，但多了后，就填 到扩展态，参与导电 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 38 准粒子如何积累改变超流体状态？ • 准粒子被其他完整的圆 饼箭头串(粒子)排斥 * 排斥势能起伏，准粒子局 域在势能的洼地 * 这时，系统仍然是超流 体，因此Rxx=0，对应ρH 平台 • 随外场变化，准粒子开 始增加，正常粒子减 少，直至洼地全被填 平，洼地开始连通 * 超流态被破坏 * Rxx开始变，ρH平台消失 图中的带箭头球都是准粒 子，量子超流体内其他正 常粒子形成起伏的势 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 39 3 1j 5 2j 如果这样的准粒子多到正好每两个电子就 有一个准粒子，即一个准粒子配一个正常 粒子，两个电子就有五个磁通量子，这就 形成新的j=2/5态 当磁场持续减少，小于j=1/3很多 时，就产生很多准粒子，准粒子 是两个磁通量子穿一个电子 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 40 • 如果外场继续减少，这样的准粒子越聚越多， 直到所有的电子和磁通再次达成新的配对，就 会就发育成新的不可压缩量子超流体状态—— j=2/5态，又开始建立新的霍尔电阻平台，纵向 电阻又为零 * j=2/5的态称为j= 1/3的子态；j= 1/3的态称为j=2/5的 母态 • 如果外场继续小下去， j=2/5还会生出新的准粒 子，电阻增加，电流变化。积累到一定程度， 再形成子态的子态的超流体，再建立霍尔电阻 平台。但平台会越来越模糊，一代不如一代。 直到磁通量子数和电子数之比为整数，建立整 数平台，然后循环——这样就解释了FQHE • 问：对这样的解释还有什么疑问？ * 或者说，这幅图象有其他证据吗？？？？ http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 41 是一种量子超流体的凝聚现象 • 看实验，从中能 发现什么？ • 整数1平台以前的 分数平台出现在： 1/3，2/5，3/7， 4/9，5/9，4/7， 3/5，2/3，5/7， 4/5，…， • 为什么没有1/2? • 这预示什么？能不能有所启发，从这里找证据？ http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 42 统计特性的转换证明图象的合理性！ • 看电子-磁通量子作为一整体的统计性质转换 * 磁通和电子串在一起是费米子或玻色子？ • 看j=1的两个电子-磁通量子，将它们交换位置 * 相当于一个电子-磁通量子绕另一个固定的走半圈 一个电子绕一个磁通量子走半圈有π相位差，-1 的相因子。加上电子交换本身一个-1，这两个电 子-磁通量子交换不变号，是玻色子！ • 同样，看j=1/2的两个电子-磁通量子， * 等于在j=1上再加了一个磁通，即再增加一个-1，这 样三个-1的相因子相乘，可知j=1/2还是费米子！ • 这样j= 1/2的霍尔电阻平台不出现是很正常的 * 因为费米子不能占据同一状态——辅助的证据！ http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 43 量子约束导致另类统计性质 • j=1/3又是玻色子，… • 这样，这种约束产生了一个很有趣的现象 * 处于强磁场约束下的电子，结合磁通产生的电子-磁 通量子，可以改变电子的统计特性？！ * 电子-磁通量子可以变成玻色子，也可再变回费米子 • 问：两带分数电荷的准粒子交换位置会怎样？ • 结果是相因子改变既不是1，也不是-1，而是一 个复数=eiu！ * 因此它既不是玻色子，也不是费米子，而被称为任 意子(anyon)，它的统计可以称为分数统计 • PRL63, 199 (1989)，证明电子-磁通量子存在 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 44 本讲小结 • 量子霍尔效应明显地显示电子关联相互作用 • FQHE是电子的强关联现象的反映(IQHE的严 格解释也需将它视作强关联) * 什么是关联？每个磁通量子平均分配到分数个电 子——即当电子间存在关联时，几个电子关联着一 起分配到一个或几个磁通量子 • 关联电子-磁通量子形成不可压缩量子超流体 * 显示霍尔电阻平台，粒子间无散射，纵向电阻为零 • 电子密度或磁通密度改变时，形成准粒子—— 超流体的缺陷 * 准粒子积累直至完全破坏超流态，导致了整数和分 数量子霍尔效应 * 磁场下二维电子气体：超流(分数)电子(整数) http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 45 概念要点 • 电子关联 • 扩展态，局域态 • 填充因子 • 磁通量子 • 电子-磁通量子 • 量子超流体——准粒子，准空穴 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 46 思考题 • 能不能用金属来观察量子霍尔效应？ http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 47 习题 4. 计算j=3/7电子-磁通量子的交换性质，是费米 子还是玻色子？试画出j=3/7的电子-磁通量子 的箭头圆饼串图，再作 j=4/9。 http://10.107.0.68/~jgche/ 整数和分数量子霍尔效应 48 下讲预告 • 自由电子气模型的局限 • 第一章总结