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9.7 抛物线

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9.7 抛物线nullnull§9.7 抛物线基础知识 自主学习要点梳理 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距 离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .相等焦点准线null2.抛物线的标准方程与几何性质nullnull基础自测 1.抛物线y=-2x2的准线方程是 ( ) A.x= B.x= C.y= D.y= 解析 抛物线方程为x2=- y, ∴p= ,准线方程为y= .Dnull...

9.7  抛物线
nullnull§9.7 抛物线基础知识 自主学习要点梳理 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距 离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .相等焦点准线null2.抛物线的标准方程与几何性质nullnull基础自测 1.抛物线y=-2x2的准线方程是 ( ) A.x= B.x= C.y= D.y= 解析 抛物线方程为x2=- y, ∴p= ,准线方程为y= .Dnull2.若a∈R,则“a>3”是“方程y2=(a2-9)x表示开 口向右的抛物线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由抛物线y2=(a2-9)x开口向右可得 a2-9>0,即得a>3或a<-3, ∴“a>3”是“方程y2=(a2-9)x表示开口向右的 抛物线”的充分不必要条件,故应选A.Anull3.(2009·湖南)抛物线y2=-8x的焦点坐标是 ( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 解析 ∵y2=-8x,∴p=-4,∴焦点坐标为(-2,0).Bnull4.设a≠0,a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为( ) A.(a,0) B.(0,a) C. D.随a的符号而定 解析 抛物线标准方程为x2= y, 当a>0时,p= ,焦点坐标为 ; 当a<0时,p=- ,焦点坐标为Cnull5.(2009·宁夏,海南)已知抛物线C的顶点在坐 标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交 于A,B两点,若AB的中点为(2,2),则直线l的 方程为 . 解析 因为抛物线顶点在原点,焦点F(1,0), 故抛物线方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2), 则y =4x1,y =4x2. ∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2), ∴kAB= =1, ∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x. y=xnull题型一 抛物线的定义 【例1】已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物 线上的动点,又有点A(3,2). (1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值 时P点的坐标; (2)求点P到点B 的距离与点P到直线 x=- 的距离之和的最小值.题型分类 深度剖析null (1)由定义知,抛物线上点P到焦点 F的距离等于点P到准线l的距离d,求|PA|+|PF|的 问题可转化为|PA|+d的问题. (2)把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可 解决. 解 (1)将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=± .思维启迪null∵ >2,∴A在抛物线内部. 设抛物线上点P到准线l:x=- 的距离为d, 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为 , 即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时P点纵坐标为2, 代入y2=2x,得x=2,∴点P坐标为(2,2). (2)由于直线x=- 即为抛物线的准线, 故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|, 当且仅当B、P、F共线时取等号. 而|BF|= ∴|PB|+d的最小值为 .null探究提高 重视定义在解题中的应用,灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转 化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是 解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 设P是曲线y2=4x上的一个动点. (1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线 x=-1的距离之和的最小值; (2)若B(3,2),点F是抛物线的焦点,求 |PB|+|PF|的最小值.知能迁移1null解 (1)如图所示,易知抛物 线的焦点为F(1,0),准线是x=-1, 由抛物线的定义知:点P到直线 x=-1的距离等于点P到焦点F的 距离.于是,问题转化为:在曲 线上求一点P,使点P到点A(-1,1) 的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然, 连结AF交曲线于P点,故最小值为 ,即 .null(2)如图所示,自B作BQ垂直准 线于Q,交抛物线于P1,连接P1F 此时,|P1Q|=|P1F|, 那么,|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q| =|BQ|=4,即最小值为4. null题型二 抛物线的标准方程及几何性质 【例2】已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上, 又知此抛物线上的一点A(m,-3)到焦点F的距 离为5,求m的值,并写出此抛物线的方程. 因点A(m,-3)在直线y=-3上,所以 抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情 况,必须分类讨论.思维启迪null解 ①若抛物线开口方向向下,设抛物线方程为 x2=-2py (p>0),这时准线方程为y= , 由抛物线定义知 -(-3)=5,解得p=4, ∴抛物线方程为x2=-8y, 这时将点A(m,-3)代入方程,得m=±2 . ②若抛物线开口方向向左或向右,可设抛物线方 程为y2=2ax (a≠0),从p=|a|知准线方程可统一 成x=- 的形式,于是从题设有 解此方程组可得四组解null ∴y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ; y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .null探究提高 抛物线的标准方程有四种,在求解过程 中,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式, 若只能判断对称轴,而不能判断开口方向,可设为 x2=ay (a≠0)或y2=ax (a≠0),然后利用待定系数法 和已知条件求解. 根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左 顶点; (2)过点P(2,-4).知能迁移2null解 (1)双曲线方程化为 左顶点为 (-3,0), 由题意设抛物线方程为 y2=-2px (p>0)且- =-3, ∴p=6,∴方程为y2=-12x. (2)由于P(2,-4)在第四象限且对称轴为坐标 轴, 可设方程为y2=mx或x2=ny, 代入P点坐标求得m=8,n=-1, ∴所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y.null题型三 直线与抛物线的位置关系 【例3】 (14分) (2008·山东) 如图所示,设抛物线方程为 x2=2py (p>0),M为直线y=-2p上 任意一点,过M引抛物线的切线, 切点分别为A,B. (1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列; (2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4 . 求此时抛物线的方程.null(1)证明 由题意设 x1<x2, M(x0,-2p). 由x2=2py得y= ,则y′= , 所以kMA= ,kMB= . 2分 因此,直线MA的方程为y+2p= (x-x0), 直线MB的方程为y+2p= (x-x0). 所以, ① ② 4分null由①、②得 =x1+x2-x0, 因此,x0= 即2x0=x1+x2. 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. 6分 (2)解 由(1)知,当x0=2时, 将其代入①、②,并整理得: x -4x1-4p2=0,x -4x2-4p2=0, 所以,x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根, 8分 因此,x1+x2=4,x1x2=-4p2, 又kAB=null所以kAB= . 10分 由弦长公式得 |AB|= 又|AB|=4 ,所以p=1或p=2, 因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y. 14分null探究提高 (1)标准形式的抛物线上点一般设高次 项变量,如本题设抛物线上点的坐标为 形式,就减少了变量,使运算量减小; (2)处理多个变量问题时,常常应用整体代换技巧,消去变量; (3)利用韦达定理简化两点间距离公式是直线与圆 锥曲线弦长问题常用的运算技巧.null知能迁移3 已知动圆过定点F(0,2),且与定直 线L:y=-2相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2), 分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交 点为Q,证明:AQ⊥BQ. (1)解 依题意,圆心的轨迹是以F(0,2)为焦 点, L:y=-2为准线的抛物线, 因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是x2=8y.null(2)证明 因为直线AB与x轴不垂直, 设AB:y=kx+2.A(x1,y1),B(x2,y2). 由 可得x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16. 抛物线方程为y= x2,求导得y′= x. 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 k1= x1,k2= x2,k1k2= x1· x2 = x1·x2=-1. 所以AQ⊥BQ.null 方法与技巧 1.焦半径:x0+ ;通径长为2p. 注:过焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的 通径. 2.抛物线的焦点弦:设过抛物线的焦点的直线与 抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1)y1y2=-p2,x1x2= ; (2)若直线AB的倾斜角为 ,则|AB|= ; (3)若F为抛物线焦点,则有思想方法 感悟提高null失误与防范 1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值,但首先要判断抛物线是否为标准方程,若是 标准方程,则要由焦点位置(或开口方向)判断 是哪一种标准方程. 2.注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题. null一、选择题 1.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于 A、B两点,若线段AF、BF的长分别为m、n,则 等于 ( ) A. B. C.2a D. 解析 取通径AB,则m=n= ,故定时检测Bnull2.已知点M(1,0),直线l:x=-1,点B是l上的动 点,过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分 线交于点P,则点P的轨迹是 ( ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线 解析 P在BM的垂直平分线上,故|PB|=|PM|. 又PB⊥l,因而点P到直线l的距离等于P到M的距离,所以点P的轨迹是抛物线.Anull3.如图,过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F的直线l交抛物线于点 A、B,交其准线于点C,若 |BC|=2|BF|,且|AF|=3,则 此抛物线的方程为 ( ) A.y2= B.y2=3x C.y2= D.y2=9xnull解析 由抛物线定义,|BF|等于B到准线的距离, 由|BC|=2|BF|得∠BCM=30°,又|AF|=3, 从而 A在抛物线上, 代入抛物线方程y2=2px, 解得p= . 答案 Bnull4.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线 (a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交 点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为 ( ) A. B. +1 C. +1 D.null解析 ∵F 又∵c= ,即p=2c,∴A(c,2c). 代入双曲线方程,化简, ∴e2-2e-1=0.∵e>1,∴e= +1. 答案 Bnull5.(2009·山东)设斜率为2的直线l过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF (O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ) A.y2=±4x B.y2=±8x C.y2=4x D.y2=8x 解析 y2=ax的焦点坐标为 ,过焦点且斜率 为2的直线方程为y=2 ,令x=0得y=- . ∴ ∴a2=64,∴a=±8.Bnull6.(2008·辽宁)已知点P是抛物线y2=2x上的一个 动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物 线准线的距离之和的最小值为 ( ) A. B.3 C. D. 解析 如图所示,由抛物线的定 义知,点P到准线x=- 的距离d 等于点P到焦点的距离|PF|. 因此点P到点(0,2)的距离与 点P到准线的距离之和可转化为 点P到点(0,2)的距离与点P到 点F的距离之和,其最小值为点M (0,2)到点 的距离,则距离之和的最小 值为Anull二、填空题 7.已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时,测量水 面宽为8米,当水面上升 米后,水面的宽度是 米. 解析 设抛物线方程为x2=-2py,将(4,-2)代 入方程得16=-2p·(-2),解得2p=8. 故方程为x2=-8y,水面上升 米,则y=- , 代入方程,得x2=-8· =12,x=±2 . 故水面宽4 米.4 null8.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l,交抛 物线于A,B两点,交其准线于C点.若 =3 ,则直线l的斜率为 . 解析 由抛物线定义,|BF|等于B到准线距离 |BB1|, 在△CBB1中,sin∠BCB1= 故直线l的斜率为k=±2 .±2 null9.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是 5,则线段AB中点到y轴的距离是 . 解析 由抛物线定义可得,A、B到准线x=- 的距离之和也是5,从而线段AB中点到准线距 离是 ,故AB中点到y轴的距离是2null三、解答题 10.如图所示,已知F(0,1), 直线l:y=-2,圆C:x2+(y-3)2=1. (1)若动点M到点F的距离比它到 直线l的距离小1,求动点M的轨迹 方程E; (2)过轨迹E上一点P作圆C的切线,切点为A、B,要使四边形PACB的面积S最小,求点P的坐 标及S的最小值.null解 (1)设M(x,y),得 =|y+2|-1. 当y≥-2时,化简得x2=4y; 当y<-2时,有x2=8y+8,则y≥-1与y<-2矛盾, 故舍去. ∴点M的轨迹E的方程为x2=4y. (2)设P(x,y),∵S=2S△PAC,|AC|=1, ∴若要S最小,则要S△PAC最小. 要S△PAC= |PA|最小,即|PA|最小. ∵|PC|2=1+|PA|2,null又∵|PC|2=x2+(y-3)2=4y+(y-3)2 =(y-1)2+8, 当y=1时, ∴Smin= , 此时点P的坐标为(±2,1).null11.如图所示,倾斜角为 的直 线经过抛物线y2=8x的焦点F, 且与抛物线交于A、B两点. (1)求抛物线焦点F的坐标及 准线l的方程; (2)若 为锐角,作线段AB的 垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2 为定值,并求此定值.null(1)解 由已知得2p=8,∴ =2, ∴抛物线的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2. (2)证明 设A(xA,yA),B(xB,yB),直线 AB的斜率为k=tan ,则直线方程为y=k(x-2), 将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0, 故xA+xB= 记直线m与AB的交点为E(xE,yE),则 null故直线m的方程为y- 令y=0,得点P的横坐标xP= 故|FP|=xP-2= ∴|FP|-|FP|cos 2 = (1-cos 2 ) 为定值.null12.如图,过点F(1,0)的直线l与抛 物线C:y2=4x交于A、B两点. (1)若|AB|=8,求直线AB的 方程; (2)记抛物线C的准线为l′, 设直线OA、OB分别交l′于点 N、M,求 · 的值. null解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=8, 即x1+x2+p=8,∴x1+x2=6. ∵|AB|>2p,∴直线l的斜率存在,设其方程为 y=k(x-1). 由方程组 消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ∴x1+x2= 即 得k=±1. ∴直线AB的方程是x-y-1=0或x+y-1=0.null(2)①当直线l的斜率不存在时, =x1x2+y1y2=1-4=-3. ②当直线l的斜率存在时, 由(1)知,x1x2=1,y1y2=- 设M(-1,y3),N(-1,y4),B,O,M三点共线, ∴ 同理可得y4=- ∴ =(-1,y3)·(-1,y4) =1+y3y4=1+ 综上, =-3. 返回
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