（新课程）2020高中数学 3.1.3知能优化训练 苏教版必修4

PAGE（新课程）2020高中数学3.1.3知能优化训练1.eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)＝__________.解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).答案：eq\r(3)2．tan75°＋tan15°＝__________.解析：tan75°＋tan15°＝tan(45°＋30°)＋tan(45°－30°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＋eq\f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－1×\f(\r(3),3))＋eq\f(1－\f(\r(3),3),1＋1×\f(\r(3),3))＝(2＋eq\r(3))＋(2－eq\r(3))＝4.答案：43.eq\f(1－tan15°,1＋tan15°)的值为__________．解析：原式＝eq\f(tan45°－tan15°,1＋tan45°tan15°)＝tan(45°－15°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)4．tan18°＋tan42°＋eq\r(3)tan18°tan42°＝__________.解析：tan60°＝tan(18°＋42°)＝eq\f(tan18°＋tan42°,1－tan18°tan42°)，所以tan18°＋tan42°＝tan60°(1－tan18°tan42°)，tan18°＋tan42°＋eq\r(3)tan18°tan42°＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋eq\r(3)tan18°tan42°＝eq\r(3).答案：eq\r(3)一、填空题1．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于__________．解析：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，∴4＝eq\f(2,1－x)，x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，则C等于__________．解析：A＋B＋C＝π，tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)＝eq\f(\r(3)tanAtanB－1,1－tanAtanB)＝－eq\r(3)，∴tanC＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)3．化简eq\f(tanα＋β－tanα－tanβ,tanαtanα＋β)的结果为__________．解析：原式＝eq\f(tanα＋β－tanα＋tanβ,tanα·tanα＋β)＝eq\f(tanα＋β－1－tanαtanβ·tanα＋β,tanα·tanα＋β)＝tanβ.答案：tanβ4．设tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值是__________．解析：∵α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))).∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))＝eq\f(\f(3,20),\f(22,20))＝eq\f(3,22).答案：eq\f(3,22)5．已知tan(α＋β)＝7，tanα＝eq\f(3,4)，且β∈(0，π)，则β的值为__________．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(7－\f(3,4),1＋7×\f(3,4))＝1，又β∈(0，π)，所以β＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)6．若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos(A＋B)＝________.解析：由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z，所以cos(A＋B)＝±eq\f(\r(2),2).答案：±eq\f(\r(2),2)7．已知tan(α＋β)＝eq\f(1,3)，tanβ＝eq\f(1,4)，则tanα的值应是________．解析：tanα＝tan[(α＋β)－β]＝eq\f(tanα＋β－tanβ,1＋tanα＋βtanβ)＝eq\f(\f(1,3)－\f(1,4),1＋\f(1,3)×\f(1,4))＝eq\f(1,13).答案：eq\f(1,13)8．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，则eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)的值为__________．解析：由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，得tanα＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋1,1＋2tanα)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋1,2×\f(1,3)＋1)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)二、解答题9．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，求tan2α，tan2β.解：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝eq\f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq\f(3＋5,1－3×5)＝－eq\f(4,7)，tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝eq\f(tanα＋β－tanα－β,1＋tanα＋βtanα－β)＝eq\f(3－5,1＋3×5)＝－eq\f(1,8).10．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两个根，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求α＋β的值．解：由题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－3\r(3),tanαtanβ＝4))，tanα＜0且tanβ＜0.又因为α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，α＋β∈(－π，0)．又因为tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3).在(－π，0)内，正切值为eq\r(3)的角只有－eq\f(2π,3)，所以α＋β＝－eq\f(2π,3).11．已知tanA与taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－A＋\f(π,4)))是关于x的方程x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－A))，求p和q的值．解：设t＝tanA，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－A))＝eq\f(1－tanA,1＋tanA)＝eq\f(1－t,1＋t)，由3tanA＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－A))，得3t＝eq\f(21－t,1＋t)，解得t＝eq\f(1,3)或t＝－2.当t＝eq\f(1,3)时，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－A))＝eq\f(1－t,1＋t)＝eq\f(1,2)，p＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(tanA＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－A))))＝－eq\f(5,6)，q＝tanAtaneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－A))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)；当t＝－2时，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－A))＝eq\f(1－t,1＋t)＝－3，p＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(tanA＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－A))))＝5，q＝tanAtaneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－A))＝6.所以p，q的值为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝－\f(5,6)，,q＝\f(1,6)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝5，,q＝6.))