会计学1右手螺旋定则判定2(3)在直角坐标系中质点角动量可以表示为其Z轴分量为：第1页/共14页3(4)作圆周运动的质点的角动量例1：一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：，其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。l=mrv解：已知o第2页/共14页4二、角动量定理(theoremofangularmomentum)角动量，两边求导角动量第3页/共14页5其中令为合外力对同一固定点的力矩。大小；M＝rFsin(为矢径与力之间的夹角)方向：右手螺旋定则。单位：Nm量纲：ML2T-2mo第4页/共14页6角动量定理：质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。如果质点始终在Oxy平面上运动,可得到Mz第5页/共14页7若作用于质点的合力对参考点的力矩,由，得恒矢量即若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零,则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。三、质点角动量守恒定律注意：1.这也是自然界普遍适用的一条基本规律。2.=0，可以是=0,也可以是=0,还可能是与同向或反向，例如有心力情况。第6页/共14页83.如果作用于质点的合力矩不为零,而合力矩沿Oz轴的分量为零,则恒量(当Mz=0时)当质点所受对Oz轴的力矩为零时,质点对该轴的角动量保持不变。此结论称为质点对轴的角动量守恒定律。例2：行星运动的开普勒第二定律认为,对于任一行星,由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角动量守恒定律证明之。第7页/共14页9解:将行星看为质点,在dt时间内以速度完成的位移为,矢径在dt时间内扫过的面积为dS（图中阴影）。根据质点角动量的定义则om·第8页/共14页10矢径在单位时间内扫过的面积（称为掠面速度）万有引力属于有心力,行星相对于太阳所在处的点O的角动量是守恒的,即=恒矢量,故有恒量行星对太阳所在点O的角动量守恒,不仅角动量的大小不随时间变化,即掠面速度恒定,而且角动量的方向也是不随时间变化的,即行星的轨道平面在空间的取向是恒定的。第9页/共14页11例3：质量为m的小球系于细绳的一端,绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上,小球被约束在水平面内绕细棒旋转,某时刻角速度为1，细绳的长度为r1。当旋转了若干圈后,由于细绳缠绕在细棒上,绳长变为r2,求此时小球绕细棒旋转的角速度2。解：小球受力绳子的张力,指向细棒；重力，竖直向下；支撑力,竖直向上。与绳子平行,不产生力矩；与平衡，力矩始终为零。所以,作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零,故小球对细棒的角动量必定是守恒的。第10页/共14页12根据质点对轴的角动量守恒定律式中v1是半径为r1时小球的线速度,v2是半径为r2时小球的线速度。代入上式得解得可见,由于细绳越转越短,,小球的角速度必定越转越大,即。而第11页/共14页13例4：半径为R的光滑圆环上A点有一质量为m的小球，从静止开始下滑，若不计摩擦力，求小球到达B点时的角动量和角速度。解：小球受重力矩作用，由角动量定理：θABPR第12页/共14页14利用初始条件对上式积分：本题也可以用质点的功能原理求解。得到：第13页/共14页
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