成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-1圆锥曲线与方程第三章3.3 双曲线第1课时 双曲线及其
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方程第三章知识要点解读2预习效果检测3课堂典例讲练4课时作业6易混易错辨析5课前自主预习1课前自主预习1．在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作________．这两个定点叫作双曲线的________，两焦点之间的距离叫作双曲线的________．2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是________；若2a>|F1F2|则动点的轨迹________．双曲线焦点焦距两条射线不存在3．双曲线定义中应注意关键词“________”，若去掉定义中“________”三个字，动点轨迹只能是___________．4．焦点在x轴上的双曲线的标准方程为______________，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为_________________．5．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为________.绝对值绝对值双曲线一支a2＋b2＝c2知识要点解读1．对双曲线定义的两点说明(1)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1、F2
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示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上．(2)在双曲线定义中，规定2a＜|F1F2|，若把|F1F2|用2c表示，则当2a＜2c时，P的轨迹为双曲线．当2a＝2c时，P的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线．当2a＞2c时，动点P的轨迹不存在．2．对双曲线标准方程的四点说明(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程的中两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a＞b＞0，而双曲线中a、b大小则不确定．(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上，若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．(4)双曲线的标准方程可化为一个统一的形式，即Ax2＋By2＝1(AB＜0)．预习效果检测1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )A．双曲线 B．双曲线的一支C．直线D．一条射线[
答案
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] D[解析] F1，F2是两定点，|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．5．已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________________．[答案] 6课堂典例讲练双曲线的标准方程已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[分析] 因为所求双曲线的焦点的位置不确定，故必须对双曲线的焦点的位置进行讨论．本题也可把双曲线方程设为Ax2＋By2＝1，用待定系数法求解．[
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反思] 求双曲线的标准方程时，可以根据其焦点的位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a、b的值；若双曲线的焦点的位置难以确定，可设出双曲线方程的一般式，利用条件，通过待定系数法求出系数的值，从而可写出双曲线的标准方程．双曲线定义的应用[总结反思] 在圆锥曲线中，圆锥曲线的定义非常重要，正确运用定义可以巧妙地解决看似非常困难的题目．再者当我们已知某点在圆锥曲线上时应想到：①此点满足圆锥曲线的定义；②此点坐标满足圆锥曲线方程．当0°≤α≤180°时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线怎样变化？[分析] 对特殊情况α为0°、45°、90°、180°时进行讨论，并与圆锥曲线方程的标准形式进行类比，得出结论．判断曲线类型如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km.双曲线的实际应用求：(1)河流沿岸PQ所在的曲线方程；(2)修建这两条公路的总费用的最小值．[解析] (1)如图，以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2，0)．如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100m，BP＝150m，BC＝60m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．双曲线的焦点三角形问题易混易错辨析[总结反思] 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是c－a，到另一个焦点的距离是a＋c，本题是2或10，|PF2|＝1小于2，不合题意．
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