PAGE§3.2.3立体几何中的向量
方法
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——利用空间向量求空间角教学目标1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问
题
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；3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学过程一、复习引入1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量
表
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示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“
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”成相应的几何意义。（回到图形）2、向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1、异面直线所成的角（范围：）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的不大于90°的角，叫做异面直线a与b所成的角。a´b´•oab（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角的关系？相等问题2当与的夹角大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角的关系？互补所以，异面直线a、b所成的角的余弦值为nm,coscos典型例题1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则A(1,0,0)B(0,1,0)F1(,0,1)D1(,,1)所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为知识点2、直线与平面所成的角（范围：）BAOnSHAPE\*MERGEFORMATBAOn据图分析出直线与平面所成的角的正弦值为=典型例题2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点，A1zC1AD(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;D1(2)求二面角F-AE-D的余弦值。B1yBCx解：(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为n1n23、二面角（范围：）n1n2典型例题2(2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余弦值。解：(2)由题意知设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2),故m=(-2,1,-2)取y2=1,得x2=z2=-2所以又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值为典型例题3如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.解：如图根据向量的加法法则,于是，得设向量与的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.因此所以库底与水坝所成二面角的余弦值是OABCS三、巩固练习如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；⑵直线OS与平面SAB所成角α的正弦值；⑶二面角B－AS－O的余弦值.四、课堂小结1、异面直线所成的角2、直线和平面所成的角3、二面角或五、布置作业课本第112页A组第6题
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