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山西省运城市康杰中学2020届高考数学模拟试题(1)文(含解析)

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山西省运城市康杰中学2020届高考数学模拟试题(1)文(含解析)PAGE2020年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷(文科)(1) 一、选择题(5×12=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知集合A={x|0<x2<5},B={x|﹣3<x<2,x∈Z},则A∩B=(  )A.{﹣2,﹣1,0,1}B.{﹣2,﹣1,1,2}C.{﹣2,﹣1,1}D.{﹣1,0,1}2.设i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函...

山西省运城市康杰中学2020届高考数学模拟试题(1)文(含解析)
PAGE2020年山西省运城市康杰中学 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学模拟试卷(文科)(1) 一、选择 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (5×12=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知集合A={x|0<x2<5},B={x|﹣3<x<2,x∈Z},则A∩B=(  )A.{﹣2,﹣1,0,1}B.{﹣2,﹣1,1,2}C.{﹣2,﹣1,1}D.{﹣1,0,1}2.设i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数,则f(3)=(  )A.﹣3B.﹣1C.0D.14.设l,m,n 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示三条直线,α,β,γ表示三个平面,则下列命题中不成立的是(  )A.若m⊂α,n⊄α,m∥n,则n∥αB.若α⊥γ,α∥β,则β⊥γC.若m⊂β,n是l在β内的射影,若m⊥l,则m⊥nD.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于实轴长的,则该双曲线的离心率为(  )A.B.C.D.6.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,若向该矩形内随机投一点P,那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为(  )A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆里面内切一个小圆,若该几何体的表面积为16+16π,则正视图中的a值为(  )A.1B.2C.3D.48.《九章算术》中有这样一段叙述:“今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.”则现有如下说法:①驽马第九日走了九十三里路;②良马五日共走了一千零九十五里路;③良马和驽马相遇时,良马走了二十一日.则错误的说法个数为(  )A.0个B.1个C.2个D.3个9.执行如图所示的程序框图,输出的S的值为(  )A.0B.﹣1C.D.10.设函数的最小正周期为π,且是偶函数,则(  )A.f(x)在单调递增B.f(x)在单调递增C.f(x)在单调递减D.f(x)在单调递减11.已知直线l:x﹣y=1与圆Γ:x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A,C两点,点B,D分别在圆Γ上运动,且位于直线l的两侧,则四边形ABCD面积的最大值为(  )A.B.C.D.12.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意实数x,有f(x)>f'(x),且f(x)+2020为奇函数,则不等式f(x)+2020ex<0的解集是(  )A.(﹣∞,0)B.(0,+∞)C.D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量与的夹角为120°,且,则=  .14.已知实数x,y满足,则的最小值为  .15.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于两点A,B,交抛物线的准线于点C,若,则|FB|=  .16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2(n∈N+),若数列{bn}满足,则数列{bn}的前2n+3项和T2n+3=  . 三、解答题:本大题共5小题,满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.(12分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,,,.(Ⅰ)求sin∠BAC;(Ⅱ)求DC的长.18.(12分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数;(2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由;(3)若参加此次测试的学生中,有9人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加“毕业运动会”,已知a、b的成绩均为优秀,求两人至少有1人入选的概率.19.(12分)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,EF∥AC,AD=2,EA=ED=EF=.(Ⅰ)求证:AD⊥BE;(Ⅱ)若BE=,求三棱锥F﹣BCD的体积.20.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,直线l过椭圆的右顶点和上顶点,且右焦点到直线l的距离(I)求椭圆C的方程;(II)过点坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求出定值.21.(12分)已知函数f(x)=x2+(1﹣x)ex(e为自然对数的底数),g(x)=x﹣(1+a)lnx﹣,a<1.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数g(x)的极小值;(3)若对任意的x1∈[﹣1,0],总存在x2∈[e,3],使得f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围. [选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,以原点为O极点,以x轴正半轴为极轴,圆C的极坐标方程为ρ=4.(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过点P(2,0)作斜率为1直线l与圆C交于A,B两点,试求的值. [选修4-5;不等式选讲]23.设函数f(x)=|x+1|+|x﹣4|﹣a.(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)≥+1对任意的实数x恒成立,求实数a的取值范围. 2020年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷(文科)(1)参考答案与试题解析 一、选择题(5×12=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知集合A={x|0<x2<5},B={x|﹣3<x<2,x∈Z},则A∩B=(  )A.{﹣2,﹣1,0,1}B.{﹣2,﹣1,1,2}C.{﹣2,﹣1,1}D.{﹣1,0,1}【考点】1E:交集及其运算.【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】由二次不等式的解法,化简集合A,运用列举法化简集合B,再由交集的定义,即可得到所求集合.【解答】解:集合A={x|0<x2<5}={x|﹣<x<0或0<x<},B={x|﹣3<x<2,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1},则A∩B={﹣2,﹣1,1},故选:C.【点评】本题考查集合的交集的求法,注意运用定义法,同时考查二次不等式的解法,考查运算能力,属于基础题. 2.设i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于(  )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.【分析】先化简复数,再得出点的坐标,即可得出结论.【解答】解:=i(1+i)=﹣1+i,对应复平面上的点为(﹣1,1),在第二象限,故选:B.【点评】本题考查复数的运算,考查复数的几何意义,考查学生的计算能力,比较基础. 3.已知函数,则f(3)=(  )A.﹣3B.﹣1C.0D.1【考点】3T:函数的值.【分析】f(3)=f(2)﹣f(1)=[f(1)﹣f(0)]﹣f(0)=﹣f(0),由此能求出结果.【解答】解:∵函数,∴f(3)=f(2)﹣f(1)=[f(1)﹣f(0)]﹣f(1)=﹣f(0)=﹣log21=0.故选:C.【点评】本题考查函数值的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 4.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,则下列命题中不成立的是(  )A.若m⊂α,n⊄α,m∥n,则n∥αB.若α⊥γ,α∥β,则β⊥γC.若m⊂β,n是l在β内的射影,若m⊥l,则m⊥nD.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】在A中,由线面平行的判定定理得n∥α;在B中,由面面垂直的判定定理得β⊥γ;在C中,由三垂直线定理得m⊥n;在D中,l与β相交、平行或l⊂β.【解答】解:由l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,知:在A中,若m⊂α,n⊄α,m∥n,则由线面平行的判定定理得n∥α,故A正确;在B中,若α⊥γ,α∥β,则由面面垂直的判定定理得β⊥γ,故B正确;在C中,若m⊂β,n是l在β内的射影,若m⊥l,则由三垂直线定理得m⊥n,故C正确;在D中,若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l与β相交、平行或l⊂β,故D错误.故选:D.【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题. 5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于实轴长的,则该双曲线的离心率为(  )A.B.C.D.【考点】KC:双曲线的简单性质.【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长的,通过渐近线、离心率等几何元素,沟通a,b,c的关系,即可求出该双曲线的离心率.【解答】解:∵焦点F(c,0)到渐近线y=的距离等于实轴长的,∴=2a×,∴a=2b∴e2=1+=∴e=故选:C.【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质,双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过a,b,c的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程. 6.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,若向该矩形内随机投一点P,那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为(  )A.B.C.D.【考点】CF:几何概型.【分析】本题是一个几何概型的概率,以AB为底边,要使面积不小于2,则三角形的高要h≥1,得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离,得到对应区域,利用面积比求概率.【解答】,解:由题意知本题是一个几何概型的概率,以AB为底边,要使面积不小于2,由于S△ABP=AB×h=2h,则三角形的高要h≥1,同样,P点到AD的距离要不小于,满足条件的P的区域如图,其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是整个矩形面积的(4﹣)(3﹣1)=,∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为:;故选D.【点评】本题给出几何概型,明确满足条件的区域,利用面积比求概率是关键. 7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆里面内切一个小圆,若该几何体的表面积为16+16π,则正视图中的a值为(  )A.1B.2C.3D.4【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】由已知三视图得到几何体是直径为a的球和底面半径为a,高为4的半个圆柱的组合体,根据表面积就是a.【解答】解:由已知三视图得到几何体是直径为a的球和底面半径为a,高为4的半个圆柱的组合体,所以表面积为4+2a×4+×2=16+16π,解得a=2;故选B.【点评】本题考查了由几何体的三视图得到几何体的表面积;关键是正确还原几何体的形状. 8.《九章算术》中有这样一段叙述:“今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.”则现有如下说法:①驽马第九日走了九十三里路;②良马五日共走了一千零九十五里路;③良马和驽马相遇时,良马走了二十一日.则错误的说法个数为(  )A.0个B.1个C.2个D.3个【考点】85:等差数列的前n项和.【分析】根据题意,良马走的路程可以看成一个首项a1=193,公差d1=13的等差数列,记其前n项和为Sn,驽马走的路程可以看成一个首项b1=97,公差为d2=﹣0.5的等差数列,记其前n项和为Tn,由等差数列的通项公式以及其前n项和公式分析三个说法的正误,即可得答案.【解答】解:根据题意,良马走的路程可以看成一个首项a1=193,公差d1=13的等差数列,记其前n项和为Sn,驽马走的路程可以看成一个首项b1=97,公差为d2=﹣0.5的等差数列,记其前n项和为Tn,依次分析3个说法:对于①、b9=b1+(9﹣1)×d2=93,故①正确;对于②、S5=5a1+×d1=5×193+10×13=1095;故②正确;对于③、设第n天两马相遇,则有Sn+Tn≥6000,即na1+d1+nb1+d2≥6000,变形可得5n2+227n﹣4800≥0,分析可得n的最小值为16,故两马相遇时,良马走了16日,故③错误;3个说法中只有1个错误;故选:B.【点评】本题考查等差数列的通项公式与求和公式,关键要熟悉等差数列的通项公式和前n项和公式. 9.执行如图所示的程序框图,输出的S的值为(  )A.0B.﹣1C.D.【考点】EF:程序框图.【分析】模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出S=cos+cos+…+cos的值,由余弦函数的图象和性质即可计算得解.【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出S=cos+cos+…+cos的值.由余弦函数的图象可知cos=0,m∈N,又由于2020=6×336+1,可得:S=cos+cos+…+cos=336×()=.故选:C.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题. 10.设函数的最小正周期为π,且是偶函数,则(  )A.f(x)在单调递增B.f(x)在单调递增C.f(x)在单调递减D.f(x)在单调递减【考点】H2:正弦函数的图象.【分析】利用三角恒等变换求出f(x)的解析式,根据正弦函数在(﹣,)和(,)上的单调性判断f(x)在(﹣,)和(,)上的单调性.【解答】解:f(x)=sin(ωx+Φ+),∴f(x)的最小正周期T==π,∴ω=2,∵f(x+)=sin(2x++Φ+)是偶函数,∴+Φ+=+kπ,解得Φ=﹣+kπ,k∈Z,又|Φ|<,∴Φ=﹣.∴f(x)=sin(2x+),∴当x∈(﹣,)时,2x+∈(﹣,),当x∈(,)时,2x+∈(,),∵y=sinx在(﹣,)上单调递增,在(,)上不单调,∴f(x)在(﹣,)上单调递增,在(,)上不单调.故选A.【点评】本题考查了三角恒等变换,正弦函数的性质,属于中档题. 11.已知直线l:x﹣y=1与圆Γ:x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A,C两点,点B,D分别在圆Γ上运动,且位于直线l的两侧,则四边形ABCD面积的最大值为(  )A.B.C.D.【考点】J9:直线与圆的位置关系.【分析】先求出弦长|AB|的长度,然后结合圆与直线的位置关系图象,然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和,分析可得当BD为AC的垂直平分线时,四边形ABCD的面积最大.【解答】解:把圆Γ:x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程:(x﹣1)2+(y+1)2=3,圆心(1,﹣1),半径r=.直线与圆相交,由点到直线的距离公式的弦心距d==,由勾股定理的半弦长==,所以弦长|AB|=2×=.又B,D两点在圆上,并且位于直线l的两侧,四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和,如图所示,当B,D为如图所示位置,即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时),两三角形的面积之和最大,即四边形ABCD的面积最大,最大面积为:S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|===.故选:A.【点评】本题涉及到圆与位置关系的题目,可采用数形结合思想,实现代数和几何间的转化,然后分析题目具体问题,求解即可,属于中档题 12.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意实数x,有f(x)>f'(x),且f(x)+2020为奇函数,则不等式f(x)+2020ex<0的解集是(  )A.(﹣∞,0)B.(0,+∞)C.D.【考点】3L:函数奇偶性的性质;6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】令2020g(x)=,(x∈R),从而求导g′(x)<0,从而可判断y=g(x)单调递减,从而可得到不等式的解集.【解答】解:设2020g(x)=,由f(x)>f′(x),得:g′(x)=<0,故函数g(x)在R递减,由f(x)+2020为奇函数,得f(0)=﹣2020,∴g(0)=﹣1,∵f(x)+2020ex<0,∴<﹣2020,即g(x)<g(0),结合函数的单调性得:x>0,故不等式f(x)+2020ex<0的解集是(0,+∞).故选B.【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用,构造函数的思想,阅读分析问题的能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量与的夹角为120°,且,则= 2 .【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】对||=两边平方得出关于||的方程,从而可求得||.【解答】解:∵||=,∴﹣2+=19,∵=||2=9,=||||cos120°=﹣||,即9+3||+||2=19,解得||=2.故答案为2.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,属于基础题. 14.已知实数x,y满足,则的最小值为 2 .【考点】7C:简单线性规划.【分析】作出约束条件表示的平面区域,由线性规划的知识求得t=2x﹣y的最大值,由此求出z的最小值.【解答】解:作出约束条件,如图所示;由解得点B(1,3);作出直线2x﹣y=0,对该直线进行平移,可以发现经过点B时t=2x﹣y=2×1﹣3=﹣1,此时取得最小值为2.故答案为:2.【点评】本题考查了线性规划中目标函数的最值问题,是基础题. 15.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于两点A,B,交抛物线的准线于点C,若,则|FB|= 6 .【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】利用相似三角形和抛物线的性质计算.【解答】解:过A,F,B作抛物线准线的垂线,垂足依次为A1,M,B1,则FM=p=3,AA1=AF,BB1=BF,由=,∴AA1=AF=2,CF=3AF=6,∴sin∠B1CB=,∴∠B1CB=30°,∴==,解得BF=6.故答案为:6.【点评】本题考查了抛物线的性质,属于基础题. 16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2(n∈N+),若数列{bn}满足,则数列{bn}的前2n+3项和T2n+3=  .【考点】8E:数列的求和.【分析】Sn=2an﹣2(n∈N+),可得n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,化为:an=2an﹣1.n=1时,a1=2a1﹣2,解得a1.利用等比数列的通项公式可得:an=2n.数列{bn}满足,可得bn+bn+1=.则数列{bn}的前2n+3项和T2n+3=b1+(b2+b3)+…+(b2n+2+b2n+3),利用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解:∵Sn=2an﹣2(n∈N+),∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2),化为:an=2an﹣1.n=1时,a1=2a1﹣2,解得a1=2.∴数列{an}是等比数列,首项与公比都为2.∴an=2n.数列{bn}满足,∴bn+bn+1=.则数列{bn}的前2n+3项和T2n+3=b1+(b2+b3)+…+(b2n+2+b2n+3)=1+++…+==.故答案为:.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共5小题,满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.(12分)(2020•白银模拟)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,,,.(Ⅰ)求sin∠BAC;(Ⅱ)求DC的长.【考点】HP:正弦定理.【分析】(Ⅰ)由已知及余弦定理可求BC的值,利用正弦定理即可得解sin∠BAC的值.(Ⅱ)由(Ⅰ)利用诱导公式可求cos∠CAD,从而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠CAD,进而利用两角和的正弦函数公式可求sinD的值,由正弦定理即可得解DC的值.【解答】(本题满分为12分)解:(Ⅰ)在△ABC中,由余弦定理得:AC2=BC2+BA2﹣2BC•BAcosB,即BC2+BC﹣6=0,解得:BC=2,或BC=﹣3(舍),(3分)由正弦定理得:.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)有:,,所以,(9分)由正弦定理得:.(12分)(其他方法相应给分)【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函数基本关系式,诱导公式,两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 18.(12分)(2020•香洲区校级模拟)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数;(2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由;(3)若参加此次测试的学生中,有9人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加“毕业运动会”,已知a、b的成绩均为优秀,求两人至少有1人入选的概率.【考点】B8:频率分布直方图;BB:众数、中位数、平均数;C9:相互独立事件的概率乘法公式.【分析】(1)利用频率和为1求出第六组的频率;利用频率等于频数除以样本容量求出此次测试总人数.(2)利用频率分布直方图中的中位数左右两边的面积相等即频率相等,判断出中位数所在的小组.(3)通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及a、b到少有1人入选的情况;利用古典概型概率公式求出a、b至少有1人入选的概率.【解答】解:(1)第6小组的频率为1﹣(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,∴此次测试总人数为(人).∴第4、5、6组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).(4分)(2)直方图中中位数两侧的面积相等,即频率相等.前三组的频率和为0.28,前四组的频率和为0.56,∴中位数位于第4组内.(8分)(3)设成绩优秀的9人分别为a,b,c,d,e,f,g,h,k,则选出的2人所有可能的情况为:ab,ac,ad,ae,af,ag,ah,ak;bc,bd,be,bf,bg,bh,bk;cd,ce,cf,cg,ch,ck;de,df,dg,dh,dk;ef,eg,eh,ek;fg,fh,fk;gh,gk;hk.共36种,其中a、b到少有1人入选的情况有15种,∴a、b两人至少有1人入选的概率为.(12分)【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、中位数及古典概型等内容. 19.(12分)(2020•福建模拟)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,EF∥AC,AD=2,EA=ED=EF=.(Ⅰ)求证:AD⊥BE;(Ⅱ)若BE=,求三棱锥F﹣BCD的体积.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LX:直线与平面垂直的性质.【分析】解法一:(Ⅰ)取AD中点O,连结EO,BO.证明EO⊥AD.BO⊥AD.说明AD⊥平面BEO,即可证明AD⊥BE.(Ⅱ)证明EO⊥OB,然后证明EO⊥平面ABCD.通过VF﹣BCD=VE﹣BCD求解即可.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)证明EO⊥OB,利用AD⊥平面EOB,以及VF﹣BCD=VE﹣BCD=VE﹣ABD求解即可.【解答】解法一:(Ⅰ)如图,取AD中点O,连结EO,BO.∵EA=ED,∴EO⊥AD.…(1分)∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD,又∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BA=BD,∴BO⊥AD.(3分)∵BO∩EO=O,BO⊂平面BEO,EO⊂平面BEO,∴AD⊥平面BEO,∵BE⊂平面BEO,∴AD⊥BE.(6分)(Ⅱ)在△EAD中,,AD=2,∴,∵△ABD为等边三角形,∴AB=BD=AD=2,∴.(7分)又,∴EO2+OB2=BE2,∴EO⊥OB,(8分)∵AD∩OB=O,AD⊂平面ABCD,BO⊂平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD.(9分)又,(10分)∴.又∵EF∥AC,∴VF﹣BCD=VE﹣BCD(11分)=.(12分)解法二:(Ⅰ)同解法一.(6分)(Ⅱ)在△EAD中,,AD=2,∴,∵△ABD为等边三角形,∴AB=BD=AD=2,∴.(7分)又,∴EO2+OB2=BE2,∴EO⊥OB,(8分)所以.(9分)又S△BCD=S△ABD,EF∥AC,AD⊥平面EOB,∴VF﹣BCD=VE﹣BCD=VE﹣ABD(10分)=.(12分)【点评】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等. 20.(12分)(2020•盐湖区模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,直线l过椭圆的右顶点和上顶点,且右焦点到直线l的距离(I)求椭圆C的方程;(II)过点坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求出定值.【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率,直线l过椭圆的右顶点和上顶点,且右焦点到直线l的距离,列出方程组,能求出椭圆C的方程.(Ⅱ)当k存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆联立,得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)﹣12=0,由此利用韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式求出O到直线AB的距离为定值.当k不存在时,同理得O到直线AB的距离为.由此能证明点O到直线AB的距离为定值.【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,直线l过椭圆的右顶点和上顶点,且右焦点到直线l的距离,∴直线l的方程为=1,右焦点F(c,0),且c2=a2﹣b2,∴,解得a=2,b=,c=1,∴椭圆C的方程为=1.证明:(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),①当k存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆联立,消去y,得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)﹣12=0,,,∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+m)(kx2+m)=(k2+1)=0,∴(k2+1)•﹣+m2=0,整理,得7m2=12(k2+1),符合△>0,∴O到直线AB的距离d===,∴O到直线AB的距离为定值.②当k不存在时,同理得O到直线AB的距离为.综上,点O到直线AB的距离为定值.【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查点到直线的距离为定值的证明,考查椭圆、韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题. 21.(12分)(2020•盐湖区模拟)已知函数f(x)=x2+(1﹣x)ex(e为自然对数的底数),g(x)=x﹣(1+a)lnx﹣,a<1.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)讨论函数g(x)的极小值;(3)若对任意的x1∈[﹣1,0],总存在x2∈[e,3],使得f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围.【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6D:利用导数研究函数的极值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数,计算f(1),f′(1),求出切线方程即可;(2)求出g(x)的导数,通过讨论a的范围,确定函数的单调区间,从而求出函数的极小值即可;(3)问题等价于f(x)在[﹣1,0]上的最小值大于函数g(x)在[e,3]上的最小值,分别求出f(x),g(x)的极小值,得到关于a的不等式,解出即可.【解答】解:(1)∵f′(x)=x(1﹣ex),∴f′(1)=1﹣e,即切线的斜率是1﹣e,又f(1)=,则切点坐标是(1,),故f(x)在x=1处的切线方程是y﹣=(1﹣e)(x﹣1),即2(e﹣1)x+2y﹣2e+1=0;(2)∵g′(x)==,a<1,函数g(x)的定义域是{x|x>0},∴0<a<1时,令g′(x)>0,解得:0<x<a或x>1,令g′(x)<0,解得:a<x<1,∴g(x)在(0,a)递增,在(a,1)递减,在(1,+∞)递增,∴g(x)的极小值为g(1)=1﹣a,a≤0时,令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,解得:0<x<1,∴g(x)的极小值是g(1)=1﹣a,综上,函数g(x)的极小值是1﹣a;(3)若对任意的x1∈[﹣1,0],总存在x2∈[e,3],使得f(x1)>g(x2)成立,等价于f(x)在[﹣1,0]上的最小值大于函数g(x)在[e,3]上的最小值,x∈[﹣1,0]时,f′(x)=x(1﹣ex)≤0,当且仅当x=0时不等式取“=”,∴f(x)在[﹣1,0]上单调递减,∴f(x)在[﹣1,0]上的最小值是f(0)=1,由(2)得,g(x)在[e,3]递减,∴g(x)在[e,3]的最小值是g(e)=e﹣(a+1)﹣,故1>e﹣(a+1)﹣,解得:a>,又a<1,故a∈(,1).【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、最值、极值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查转化思想、分类讨论思想,是一道综合题. [选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)(2020•盐湖区模拟)在直角坐标系xOy中,以原点为O极点,以x轴正半轴为极轴,圆C的极坐标方程为ρ=4.(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过点P(2,0)作斜率为1直线l与圆C交于A,B两点,试求的值.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;J9:直线与圆的位置关系.【分析】(1)圆C的极坐标方程为ρ=4,展开可得:ρ2=4×ρ(cosθ﹣sinθ),利用互化公式即可得出直角坐标方程.(2)直线l的参数方程为:(t为参数),代入上述方程可得:t2+2t﹣4=0.===.【解答】解:(1)圆C的极坐标方程为ρ=4,展开可得:ρ2=4×ρ(cosθ﹣sinθ),可得直角坐标方程:x2+y2﹣4x+4y=0.(2)直线l的参数方程为:(t为参数),代入上述方程可得:t2+2t﹣4=0.t1+t2=﹣2,t1t2=﹣4,则=====.【点评】本题考查了极坐标方程化为参数方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修4-5;不等式选讲]23.(2020•上饶一模)设函数f(x)=|x+1|+|x﹣4|﹣a.(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)≥+1对任意的实数x恒成立,求实数a的取值范围.【考点】3R:函数恒成立问题;3B:分段函数的解析式求法及其图象的作法.【分析】(1)当a=1时,利用绝对值不等式的性质即可求得最小值;(2)⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4,对a进行分类讨论可求a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|(x+1)﹣(x﹣4)|﹣1=5﹣1=4.所以函数f(x)的最小值为4.(2)对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立.当a<0时,上式显然成立;当a>0时,a+≥2=4,当且仅当a=即a=2时上式取等号,此时a+≤4成立.综上,实数a的取值范围为(﹣∞,0)∪{2}.【点评】本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题,考查分类讨论思想,恒成立问题一般转化为函数最值问题解决.
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分类:高中数学
上传时间:2022-01-20
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