（课堂设计）2020高中数学 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学案 新人教B版必修2

PAGE1.1.3　圆柱、圆锥、圆台和球自主学习学习目标1．在复习圆柱、圆锥概念的基础上了解圆台和球的概念，并认识由这些几何体组成的简单组合体．2．会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台和球．会用集合的观点定义球．3．理解这几种几何体的轴截面的概念和它在解决几何体时的重要作用，提高动手操作能力．自学导引1．圆柱、圆锥、圆台(1)________、________、________可以看作分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．(2)旋转轴叫做所围成的几何体的______；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的______；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的________；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的________．2．球(1)球面可以看作一个半圆绕着__________所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做______．(2)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于______的点的集合．(3)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的________；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的________．(4)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的____________．3．组合体由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做______．对点讲练 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 一　圆柱、圆锥、圆台的有关概念例1　下列命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中正确的是(　　)A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线点评　此类题应以圆柱、圆锥、圆台的定义为基础进行判断，同时要结合各种旋转体的结构特征，详细地分析，不可粗心大意．此类题在做的时候容易只注意到旋转的问题，而忽视了以什么为旋转轴的问题，旋转轴不同则得到的旋转体也是不同的．变式训练1　下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(　　)A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④知识点二　旋转体中有关元素的计算问题例2　圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．点评　解有关圆台的基本元素问题，一般要画出圆台的轴截面或将圆台还原为圆锥，有关元素之间的关系就体现出来了．变式训练2　已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD—A1B1C1D1内接于圆锥，求这个长方体的棱长．知识点三　球中有关元素的计算问题例3　球面上有M、N两点，在过M、N的球的大圆上，eq\x\to(MN)的度数为90°，在过点M、N的球的小圆上，eq\x\to(MN)的度数120°，又点M、N两点间的距离为eq\r(3)cm，求球心与小圆圆心的距离为多少？变式训练3　设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两个点A、B，A在西经40°，B在东经50°，求A、B两点间纬线圈的弧长及球面距离．1．在解圆台问题时，常将圆台转化为圆锥问题，即化台为锥．2．圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，圆台的母线、高、上、下底面半径构成直角梯形．解圆锥、圆台问题时，常归结为解此直角三角形或直角梯形．3．小圆的圆心与球心连线垂直于该小圆所在平面.课时作业　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．图①②③中的图形折叠后的图形分别是(　　)A．圆柱、圆锥、棱柱B．圆柱、圆锥、棱锥C．圆台、球、棱锥D．圆台、圆锥、棱柱2．下列命题中不正确的是(　　)A．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台B．过球面上两个不同的点，只能作一个大圆C．以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台D．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面3．圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为(　　)A．10cmB.eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC．5eq\r(2)cmD．5eq\r(π2＋1)cm4．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为(　　)A．πB．2πC．3πD．4π5．下图是由哪个平面图形旋转得到的(　　)题　号12345答　案二、填空题6．圆台上、下底面面积分别为25πcm2、64πcm2，高为12cm，这个圆台的母线长为________cm.7．用不过球心O的平面截球O，截面是一个球的小圆O1，若球的半径为4cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2cm，则小圆半径为________cm.8．下列命题中：①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形绕与底边垂直的腰所在直线旋转而成的；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．正确命题的序号为________．三、解答题9．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．10．一个圆锥的底面半径为4，高为12，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大．【答案解析】自学导引1．(1)圆柱　圆锥　圆台　(2)轴　高　底面　侧面　母线2．(1)它的直径　球　(2)定长　(3)大圆　小圆　(4)球面距离3．组合体对点讲练例1　C　[A错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥．若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．]变式训练1　D　[由母线的定义知②④正确，所以选D.]例2　解　设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，∠ASO＝30°，在Rt△SO′A′中，eq\f(r,SA′)＝sin30°，∴SA′＝2r.在Rt△SOA中，eq\f(2r,SA)＝sin30°，∴SA＝4r.又SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a.∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.变式训练2　解　过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示．设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和eq\r(2)x.∵△VA1C1∽△VMN，∴eq\f(\r(2)x,2r)＝eq\f(h－x,h).∴eq\r(2)hx＝2rh－2rx，∴x＝eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).即圆锥内接正方体的棱长为eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).例3　解　取MN的中点P，连接OP、O1P，由已知∠MON＝90°，∠MO1N＝120°，又OM＝ON，O1M＝O1N，可求OP＝eq\f(\r(3),2)，O1P＝eq\f(1,2).∴OO′＝eq\f(\r(2),2).变式训练3　解　设45°纬线圈的中心为O1，地球中心为O，如图所示，则∠AO1B＝40°＋50°＝90°.∵O1O⊥圆O1所在平面，∴OO1⊥O1A，OO1⊥O1B.∵点A，B在北纬45°圈上，∴∠OBO1＝∠OAO1＝45°.∴O1A＝O1B＝OA·cos45°＝eq\f(\r(2),2)R.在Rt△AO1B中，∵AO1＝BO1，∴AB＝eq\r(2)AO1，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°.∴A，B两点间纬线圈的弧长为l1＝eq\f(90π,180)·eq\f(\r(2),2)R＝eq\f(\r(2),4)πR，A，B两点间球面距离为l2＝eq\f(60πR,180)＝eq\f(πR,3).课时作业1．B　2.B　3.B4．A　[设截面圆半径为r，由相似三角形的知识可知eq\f(r,2)＝eq\f(1,2)，所以r＝1，所以S＝πr2＝π.]5．A6．3eq\r(17)　7.2eq\r(3)8．①②③9．解　(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)．由已知可得上底半径O1A＝2cm，下底半径OB＝5cm.又因为腰长为12cm，所以高为AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，∴l＝20cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.10．解　根据圆柱和圆锥的图形特征可作出它们的轴截面图(如图所示)，设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似的性质可知eq\f(12－x,12)＝eq\f(r,4)，解得：r＝4－eq\f(x,3).(1)圆柱的轴截面面积为S＝2r·x＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(x,3)))·x＝－eq\f(2,3)x2＋8x，x∈(0,12)；(2)∵S＝－eq\f(2,3)x2＋8x，x∈(0,12)，∴S＝－eq\f(2,3)(x2－12x)＝－eq\f(2,3)(x－6)2＋24，x∈(0,12)，∴当x＝6时，S最大为24.