24抛物线及其标准方程学案

2017年下学期高二抛物线学案PAGE\*MERGEFORMAT172.4.1抛物线及其标准方程【学习目标】掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程．【自主学习】1.抛物线定义：．2．推导抛物线的标准方程：如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（>0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，（自己完成推导过程）（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），准线方程是（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式．3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=（>0），则抛物线的标准方程如下：按要求填写下表：标准方程焦点坐标准线方程【自主检测】1．抛物线y2＝20x的焦点坐标是(　　)A．(10,0)　　B．(5,0)C．(0,10)D．(0,5)2．抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点恰好与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的一个焦点重合,则p＝(　　)A．1　　B．2　　C．4　D．83．抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________．4．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程.求抛物线的焦点及准线例1：设抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程．训练1：已知椭圆x2＋ky2＝3k(k>0)的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是_______．求抛物线的标准方程例2：求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．训练2：根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1；(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是2．抛物线定义的应用例3：已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．训练3：1)已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________．(2)斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长为________．抛物线的实际应用例4：如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1m)训练4：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为eq\f(3,4)m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？对含参数问题中参数的取值考虑要全面例5：设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程．抛物线及其标准方程课后作业1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)A.eq\f(|a|,4)B.eq\f(|a|,2)C．|a|D．－eq\f(a,2)2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1上，则抛物线方程为(　　)A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝±8x3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>eq\f(p,2))，则点M的横坐标是(　　)A．a＋eq\f(p,2)B．a－eq\f(p,2)C．a＋pD．a－p4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有(　　)A．0条B．1条C．2条D．3条5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－26．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(eq\r(3)，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比eq\f(S△BCF,S△ACF)等于(　　)A.eq\f(4,5)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,7)D.eq\f(1,2)7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．班级序号：16姓名10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为eq\r(15)的抛物线的标准方程．2.4.2抛物线的简单几何性质【学习目标】掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．【自主学习】根据抛物线的标准方程，研究它的几何性质：1．范围2．对称性3．顶点4．离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=．注意：抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.【自主检测】1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)A．(eq\f(1,4)，±eq\f(\r(2),4))　　　B．(eq\f(1,8)，±eq\f(\r(2),4))C．(eq\f(1,4)，eq\f(\r(2),4))D．(eq\f(1,8)，eq\f(\r(2),4))顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是________．3．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．4．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)A．8B．16C．32D．615．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq\o(FP,\s\up13(→))＝4eq\o(FQ,\s\up13(→))，则|QF|＝(　　)A．eq\f(7,2)B．3C．eq\f(5,2)D．26．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．求证：x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2．抛物线的对称性例1：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．训练1：等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　　)A．8p2　　B．4p2　　C．2p2　　D．p2抛物线焦点弦的性质例2：斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．训练2：过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为________．最值问题例3：设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．训练3：定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1＋d2取最小值时，P点坐标为(　　)A．(0,0)　　B．(1，eq\r(2))C．(2,2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(1,2)))例4：如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．例5：设抛物线C：x2＝2py的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4eq\r(2)，求p的值及圆F的方程．(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。【 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 提升】类比椭圆、双曲线的几何性质，推导抛物线的几何性质，需注意抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.抛物线的简单几何性质课后作业1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是(　　)A．x2＝－eq\f(9,2)y或y2＝eq\f(4,3)xB．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝－eq\f(9,2)xD．x2＝eq\f(4,3)y2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　)A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)A.eq\f(\r(17),2)B．3C.eq\r(5)D.eq\f(9,2)4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x5．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为(　　)A．1B．2C．3D．46．过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)等于(　　)A．2aB.eq\f(1,2a)C．4aD.eq\f(4,a)7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．9．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则eq\f(|AF|,|FB|)＝________.10．设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．2.4.3.直线与抛物线的位置关系【学习目标】通过本节的学习,能运用性质解决直线与抛物线位置有关的简单问题,进一步体会数形结合的思想.【自主学习】1、直线与抛物线的位置关系设直线,抛物线,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组解的个数,也等价于方程解的个数.当时:当时,直线和抛物线____,有____公共点;当时,直线和抛物线____,有____公共点;当时,直线和抛物线____,有____公共点．当,即直线方程为时，则直线与抛物线相交,有一个公共点．特别地,当直线的斜率不存在时,即直线方程为，则当,与抛物线相交,有两个公共点;当时,与抛物线相切,有一个公共点；当时,与抛物线相离,无公共点.注:直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交．【自主检测】在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)A.x－4y－3＝0　B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝02．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若eq\f(|AF|,|BF|)∈(0,1)，则eq\f(|AF|,|BF|)＝(　　)A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)3．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为________．4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为eq\r(3)的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若Aeq\o(M,\s\up13(→))＝Meq\o(B,\s\up13(→))，则p＝__________________．直线与抛物线的位置关系例1：已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？训练1：已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．弦长问题例2：顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得弦长为eq\r(15)，则抛物线方程为__________________________．训练2：已知抛物线y2＝4x的一条过焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴交点坐标(0,2)，则eq\f(1,y1)＋eq\f(1,y2)＝________．对称问题例3：已知抛物线y2＝x上存在两点关于直线l：y＝k(x－1)＋1对称，求实数k的取值范围．训练3：已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求A、B两点间的距离．注意特殊情形例4：求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．直线与抛物线的位置关系课后作业1．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于eq\f(\r(5),5)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．2.4.1抛物线及其标准方程课后作业参考答案1．BDBCBA　7．y＝38．y＝4x29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)10．y2＝－8x，m＝±2eq\r(6).焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.2.4.2抛物线的简单几何性质课后作业参考答案1．BAABCD　7．y2＝4x8．29.eq\f(1,3)10．x2＝8y或x2＝－16y.11．4x－y－15＝0.2.4.3.直线与抛物线的位置关系课后作业参考答案1．[解析]　由A、B两点在抛物线y2＝6x上，可设A(eq\f(y\o\al(2,1),6)，y1)，B(eq\f(y\o\al(2,2),6)，y2)．因为OA⊥OB，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.由eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,1),6)，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,2),6)，y2)，得eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),36)＋y1y2＝0.∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36，①∵点A、B与点P(4,2)在一条直线上，∴eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),6)－4)＝eq\f(y1－y2,\f(y\o\al(2,1),6)－\f(y\o\al(2,2),6))，化简得eq\f(y1－2,y\o\al(2,1)－24)＝eq\f(1,y1＋y2)，即y1y2－2(y1＋y2)＝－24.将①式代入，得y1＋y2＝－6.②由①和②，得y1＝－3－3eq\r(5)，y2＝－3＋3eq\r(5)，从而点A的坐标为(9＋3eq\r(5)，－3－3eq\r(5))，点B的坐标为(9－3eq\r(5)，－3＋3eq\r(5))，所以|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝6eq\r(10).2．[解析]　(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋t，,y2＝4x.))消去x得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq\f(1,2).另一方面，由直线OA与l的距离d＝eq\f(\r(5),5)，可得eq\f(|t|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))，解得t＝±1.综上知：t＝1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.