PAGE福建省大田一中2020学年高二下学期期中考试试题(数学理)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。)1.用数学归纳法证明等式时,第一步验证时,左边应取的项是()A.1B.C.D.2.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种3.设服从二项分布B(n,p)的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44,则二项分布的参数n、p的值为()A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.14.已知随机变量服从正态分布,且,,若,,则()A.0.1358B.0.1359C.0.2716D.0.27185.如图所示,正方形的四个顶点分别为,曲线经过点B,现将一个质点随机投入正方形中,则质点落在图中阴影区域的概率是()A.B.C.D.6.有一道竞赛题,甲解出它的概率为,乙解出它的概率为,丙解出它的概率为,则2,4,6甲、乙、丙三人独立解答此题,只有1人解出的概率是()A.B.C.D.17.一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(5,12)C.eq\f(5,9)D.eq\f(7,9)8.在的展开中,的系数是()A.B.C.D.9、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有().A.1440种B.960种C.720种D.480种10.若将展开为多项式,经过合并同类项后,它的项数为()A.66B.55C.33D.11二、填空题(本大题共5小题中,每小题4分,共20分.)11.已知x与y之间的一组数据:x0123y1357则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点12.在的展开式中,x的幂的指数是整数的项(有理项)共有项13.已知射击一次甲命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,现甲、乙朝目标各射击一次,目标被击中的概率是14.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.15.其中,并且,则实数对
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示平面上不同点的个数是三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16、(本小题满分13分)已知复数(为实数,为虚数单位)且是纯虚数。(1)求a的值,并求的共轭复数;(2)求的值;(3)在复平面内,分别对应向量,求的值。17.(本小题满分13分)若的展开式的二项式系数和为128,(1)求展开式中的常数项;(2)求展开式中二项式系数最大的项;(3)求的值.18.(本小题满分13分)某医院有7名医生(4男3女),从7名医生中选3人组成医疗小组下乡巡诊.(1)设所选3人中女医生的人数为,求的分布列及数学期望;(2)现已知4名男医生中张强已被选中,求3名女医生中李莉也被选中的概率.19.(本小题满分13分)数列满足。(Ⅰ)计算,并由此猜想通项公式;(Ⅱ)用数学归纳法证明(Ⅰ)中的猜想。20.(本题满分14分)张先生家住H小区,他在C科技园区工作,从家开车到公司上班有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;(2)若走L2路线,求遇到红灯次数的数学期望;(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.21.(本小题满分14分)规定其中x∈R,m为正整数,且=1,这是排列数A(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.(1)求A的值;(2)确定函数的单调区间.(3)若关于的方程只有一个实数根,求的值.参考答案:一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。)DDBBC,BCDBA二、填空题(本大题共5小题中,每小题4分,共20分.)11.(1.5,4)12.513.14.3415.60三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(1)……2分,……3分令,常数项为-7…………….5分(2)35,35…………….9分(3)…………….13分18.解:(I)的所有可能的取值为0,1,2,3,….…………………………….1分则;;;……………………………………………….5分的分布列为0123.……………………………………8分(II)记“张强被选中”为事件,“李莉也被选中”为事件,则,所以所求概率为1/3……………13分(Ⅱ)证明:①当时,左边,右边,结论成立。②假设时,结论成立,即,………6分那么时,,…8分所以,所以,这表明时,结论成立。由①②知对一切猜想成立。……………………………13分20.解:(Ⅰ)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件,则.………………3分所以走L1路线,最多遇到1次红灯的概率为.………4分(Ⅲ)设选择L1路线遇到红灯次数为,随机变量服从二项分布,,…11分所以.………………12分因为,所以选择L2路线上班最好.………………13分21.解:(1)=(-15)(-16)(-17)=4080;………3分(2)先求导数,得()/=3x2-6x+2.令3x2-6x+2>0,解得x<或x>因此,当x∈(-∞,)时,函数为增函数,当x∈(,+∞)时,函数也为增函数.令3x2-6x+2≤0,解得≤x≤,因此,当x∈[,]时,函数为减函数.∴函数的增区间为(-∞,),(,+∞);减区间为[,]……7分(3)解:由,得.令,则.………8分令,得.当时,;当时,.∴函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.∴当时,函数取得最大值,其值为.……10分而函数,当时,函数取得最小值,其值为.……12分∴当,即时,方程只有一个根.……14分