第1讲平面向量的概念及线性表示

第1讲平面向量的概念及线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示♦高考导航顺风启程・最新考纲常见题型1.了解向量的实际背景.2•理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3•理解向量的几何表示.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.了解向量线性运算的性质及其几何意义.多以选择、填空题形式出现，占5分左右，低、中档题目.諾自吐协I扣»o教材回颇基础诊朗［知识梳理］1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫作向量的长度（或模）平面向量是自由向量零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给疋一个非零向量a，与a冋向且模为1的向量，叫作向量a的单位向量，可记作ao.非零向量a的单位向量为±^飞|共线（平行）向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行0与任一向量平行或共线相等向量冋向且等长的有向线段表示冋一向量，或相等的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量与向量a反向且等长的向量，叫作a的相反向量记作—a2•向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算a丄角形払则2乞'aY平行叫边誓肚则交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量一b的和的运算bz<\abiaa—b=a+(—b)数乘求实数入与向量a的积的运算|扫|=Ma|，当心0时，扫与a的方向相同；当入v0时，M与a的方向相反;当M=0时，M=0X£)=(入)0；(入+0a=M+£;Xa+b)=M+M)平行向量基本定理如果a=血，贝Ua//b;反之，如果a//b,且b*0,则一定存在唯一一个实数入使a=血.［知识感悟］三点共线的等价转化A,P,B三点共线？AP=疵（"0）?O）P=（1—t）OA+tOB（0为平面内异于A,P,B的任一点，t€R）?OP=xOA+y0B（O为平面内异于A,P,B的任一点，x€R,y€R,x+y=1）.向量的中线 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 若p为线段ab的中点，O为平面内一点，则Op=；（oA+Ob）.三角形的重心已知平面内不共线的三点A,B,C,PG=1（PA+PB+PC）?G是厶ABC的重心•特别3地，RA+PB+PC=0?PABC的重心.［知识自测］TOC\o"1-5"\h\z（思考辨析）判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“X”）（1）若向量a,b共线，则向量a,b的方向相同.（）（2）若a//b,b//c,则a//c.（）（3）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.|a与|b|是否相等与a,b的方向无关.()已知两向量a,b,若|a|=1,|b|=1,则|a+b|=2.()向量aB与向量CD是共线向量，则A,B,C,D四点在一条直线上.()当两个非零向量a,b共线时，一定有b=?a，反之成立.()［答案］⑴X(2)X(3)X⑷V(5)X(6)X(7)V已知a,b是不共线的向量，AB=扫+b,AC=a+jb(人吐R)，那么A,B,C三点共线的充要条件是()A.?d-2B.「尸1C.入百一1D.入=1［解析］由AB=:a+b,AC=a+jb(入吐R)及A,B,C三点共线得Ab=tAC，所以沧人t,、、+b=t(a+(!))=ta+1j,即可得*所以入=1，故选D.J=t,［答案］D已知a,b是非零向量，命题p：a=b,命题q：|a+b|=|a汁|b|,贝Up是q的条件.［解析］若a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|，即p?q.若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算知a与b同向共线，即a=b且，故q?/p.•••p是q的充分不必要条件.［答案］充分不必要题型一平面向量的概念(基础保分题，自主练透)診门:❶‘(1)给出下列命题：若|a|=|b|,则a=b;若A,B,C,D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;若a=b,b=c,贝Ua=c;a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b.TOC\o"1-5"\h\z其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.①④［解析］①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.•••AB=DC，二|AB|=|DC|且AB//DC,又A，B，C，D是不共线的四点，•••四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB/DC且|AB|=|DC|,因此，AB=DC.正确，•••a=b,「・a,b的长度相等且方向相同，又b=c,「.b,c的长度相等且方向相同，•a,c的长度相等且方向相同，故a=c.不正确.当a/b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a=b.故|a|=|b|且a/b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③•故选A.［答案］A（2）（2017北京）设m,n为非零向量，则“存在负数入使得m=?n”是"mn<0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件［解析］若？X0,使m=n即两向量反向，夹角是180°那么mn=|m||n|cos180°=—|m||n|<0,若mn<0，那么两向量的夹角为（90°180°，并不一定反向，即不一定存在负数入使得m=加，所以是充分不必要条件，故选A.［答案］A 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 感悟对于向量的概念应注意以下几条向量的两个特征：有大小和方向,向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示；相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量；向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小.【针对补偿】.给出下列命题：向量AB与向量BA的长度相等，方向相反；AAB＋BAA=0；两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；TOC\o"1-5"\h\zAB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线.其中不正确的命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5［解析］①正确；②中AB+BA=0,而不等于0:③正确；④中AB与CD所在直线还可能平行，综上可知②④不正确•故选A.［答案］A给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；；a=0（入为实数），则入必为零；入□为实数，若扫=力，贝Ua与b共线.TOC\o"1-5"\h\z其中错误的命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4［解析］①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②正确，因为向量即有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误，当a=0时，不论入为何值，扫=0.④错误，当入=尸0时，?a=pb=0，此时a与b可以是任意向量.故选C.萨融立的充分条件［答案］C（2018滨州模拟）设a,b都是非零向量，下列四个条件中，使B.a//bA.a=—bC.a=2bD.a/b且|a|=|b|［解析］*=吕？a与b同向？a=血且A>0.|a||b|［答案］C题型二平面向量的线性运算（高频考点题、多角突破）考向一平面向量的加减运算.（2018湖南省永州市三模）如图，在厶ABC中，N、P分别是AC、BN的中点，设BA=a,BC=b,则AP等于（）ti31B--4a+4bC-3a-2bTOC\o"1-5"\h\z441t-2AC-t-t-t-t1-t-t1-t-t-t1［解析］AP=AB+BP=AB+2BN=-BA+2（BC-NC）,=—BA+?—1—1——3t1—31一BA+1BC-4（ab+BC）一4ba+4BC一計；b，故选:B.［答案］B2.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，贝UEB+FC等于（）T1TA.ADB.-ADT1TC.BCD.2BC~T~T1—T—T1—T—T1—T—T—T［解析］EB+FC=2（AB+CB）+2（AC+BC）=2（AB+AC）=ad,故选A.［答案］A考向二用已知向量表示未知向量3.（2018吉大附中第五次模拟1T2TA.-3AB+^ADc.fAB-AD）在梯形ABCD中，AB=3DC，则BC等于（）T4TB.-孑B+"ADd.—|Ab+AD［解析］在线段AB上取点E，使BE=DC,连接DE，则四边形BCDE为平行四边形,［答案］D如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF等于（）1f1f2AB—§ADf1f4AB+2Ad1f1f3AB+2Da1f2fD・2AB—3AD［解析］在厶CEF中，有EF=EC+CF.因为点E为DC的中点，所以42DC.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF=|cb.所以Ef=2DC+2cB=2ab+|Da=2Ab—2Ad，故选d.［答案］d考向三用线性运算求参数的值12fff设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD=2AB,BE=-BC.若DE=AAB+UCTOC\o"1-5"\h\z（db为实数），则入+沧的值为..f.f1f2f1f2f1f2f仃广『、jr1.［解析］DE=DB+BE=2AB+|BC=?AB+"（BA+AC）=—6AB+|AC,所以b=—6，b1=3，即卩b+b=©…1［答案］2（2018郑州模拟）已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0,若存在实数m使得Ab+Ac=mAM成立，则m等于（）A.2B.3C.4D.5［解析］由MA+IMB+MC=0，易得M是厶ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM:ME=2:1,•••AB+Ac=2Ae=mAM=2mAE,-2m=2,•••m=3.3［答案］B3方法感悟平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.求已知向量的和•一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.【针对补偿】如图，已知AB是圆0的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，AB=a,AC=b,则AD等于()B.*a—bD.*a+b［解析］如图，连接OC、OD、CD，由点C、D是半圆弧的三等分点，有/AOC=ZCOD=ZBOD=60°且0A=OC=OD,则厶OAC与厶OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以AD=Cd+AC=2AB+Ac=*a+b.［答案］D如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点，且交a.9Cl对角线AC于点K，其中,1［解析］•/AE=|aB,AF=2aD,•••AB=5aE,Ad=iAf.由向量加法的平行四边形法则可知，AC=Ab+Ad,->->->->■:5~~AK=?AC=KAB+AD)=入|AE+2AF=夕淀+2瓜F，由E,F,K三点共线，可得冶2厶VJ故选A.［答案］A题型三共线向量定理及应用T®设两个非零向量a和b不共线.若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b)•求证：A、B、D三点共线.⑵试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.［解］(1)因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a—b)=5(a+b)=5Ab，所以Ab,bd共线.又AB与BD有公共点B,所以A、B、C三点共线.因为ka+b与a+kb共线，所以存在实数入使ka+b=Xa+kb),k=X即］解得k=±1.1=Xk即k=±时，ka+b与a+kb共线.方法感悟证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.向量a,b共线是指存在不全为零的实数X,X,使Xa+Xb=0成立；若Xa+Xb=0,当且仅当X=X=0时成立，则向量a,b不共线.【针对补偿】(2018山东省济宁市二模试卷)在厶ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若AN=xxb+mAC(x吐R)，则入+□的值为()C.41D.g~~~1->1->->1->1->1->1->1->t~［解］设BM=tBC,则AN=^AM=q(AB+BM)=^AB+^BM=qAB+㊁XtBC=qAB+q(AC—aB)=1—班+2ac,.=2—2，尸2,1•H尸2，故选：A.［答案］A7.设两个非零向量ei和e?不共线.如杲AB=+e?,BC=2e〔一3e,AF=3e〔一ke,且A,C,F三点共线，求k的值.［解］AB=e1+e2,BC=2e1—3e2,—>—>—>AC=AB+BC=3ei—2%•••A,C,F三点共线，.AC//AF，从而存在实数入使得AC=7AF.=3入••3e1—2e2=3&一入©2,又&,02是不共线的非零向量，•因此k=2.|—2=—入k•••实数k的值为2.♦牛刀小试成功靠岸・课堂达标（二十三）［A基础巩固练］1•下列四个结论:①AB+Bc+CA=o；②Ab+imb+BO+om=o；③Ab—AC+BD—CD=o；④Nq+qp+MN—MP=0.其中一定正确的结论个数是（）C.3［解析］①AB+Bc+CA=Ac+CA=0，①正确；②AB+imb+Bo+om=AB+Mo+om=Ab，②错；③AB—Ac+Bd—Cd=Cb+Bd+DC=Cb+Bc=0,③正确；④Nq+qp+Mn—Mp=Np+PN=0,④正确.故①③④正确.［答案］C(2018北京市西城区一模)在厶ABC中，点D满足BC=3BD，则()t1t2tt1t2tA.AD=^AB—?ACB.AD="AB+?ACC.AD=|ab—1acD.AD=|ab+^AC33［解析］•••点D满足BC=3BD,•••AD=Ab+Bd=Ab+|bc=Ab+1(Ac—Ab)=|Ab+^ac，故选：d［答案］D已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=—5a+6b,Cd=7a—2b,则一定共线的三点A.A、B、DC.B、C、D［解析］AD=AB+BC+Cd=3a+6b=3AB因为AB与AD有公共点A,所以A、B、D三点共线.故选A.［答案］A4.（2018辽宁沈阳三模）已知向量a与b不共线，AB=a+mb,AC=na+b（m,n€R）,则AB与AC共线的条件是（）A.m+n=0B.m—n=0C.mn+1=0D.mn—1=0［解析］由AB=a+mb,AC=na+b(m,n€R)共线，得a+mb="a+b),即mn—1=0,故选：D.［答案］D5.在厶ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB,CD=3CA+XCB,则入等于（）［解析］如图所示，过点D分别作AC,BC的平行线，分别交BC,AC于点F,E,所以CD=CE+Cf.因为AD=2db，所以CE=gcA,Cf=|cb,33故CD=2—2+2cb，所以匸3.33［答案］A且满足：BP=冥，点,6.（2018淮北市二模）如图,必0）,则H2卩的最小值为（）C.3—2—1—2—1—21［解析］AP=yAB+7AC=—AM+^AN，因为M,N,P三点共线，所以—+1=1,333入3口3入3口因此入+2尸（入+2吒+3^=4+斛盒》3+=3选B.3［答案］B.（用在平行四边形ABCD中，AB=e1,AC=e?,NC=^AC,BM=^MC,则MN=ei,e2表示）［解析］如图所示,MN=CN—CM=CN+2BM=CN+2bC=—4e2+2（e2—e1）=—3e1+12e2［答案］—|ei+瓠—>—>—>—>—>—>—>（高考北京卷）在厶ABC中，点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,贝Hx=;y=.［解析］因为AM=2MC，所以AM=3AC.因为Bn=NC,所以an=2（aB+AC）.所以MIN=AN—AM=2（aB+AC）—3ac=1ab-右显.又M1N=xAB+yAC，所以x=2,y__1=—6.ii［答案］2；—11TOC\o"1-5"\h\z（2018扬州模拟）在厶ABC中，N是AC边上一点且AN=-NC,P是BN上一点，若AP=mAB+2aC，则实数m的值是.［解析］如图，因为An=Inc,p是Bn上一点.所以An=3AC,Ap=mAB+|ac=mAB+^aN,1因为B,P,N三点共线，所以m+-=1,贝Um=：.3…1［答案］3设e1,e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1—8勺，CB=e1+3e2,CD=2e1—勺.(1)求证：A,B,D三点共线；⑵若BF=3e1—ke2,且B,D,F三点共线，求k的值.（1）证明：由已知得BD=CD—CB=（2e1—勺）一（e1+3e2）=e1—4e2,AB=2e1—8e2,•••Ab=2BD又•••AB与BD有公共点B,「.A,B,D三点共线.⑵由（1）可知BD=e1—4e2,•••Bf=3e1—ke2,且B,D,F三点共线,•BF=?BD（入€R），即3e1—ke?=沦1—4砂,得卩=3，解得k=12.—k=—4入[B能力提升练]（2018山师大附中模拟）已知平面内一点P及厶ABC,若RA+PB+PC=AB,则点P与厶ABC的位置关系是（）A.点P在线段AB上B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上D.点P在厶ABC外部［解析］由RA+PB+pc=AB得PA+pc=Ab—Pb=Ap,即Pc=AP—PA=2AP,所以点p在线段AC上，选C.［答案］C设O在厶ABC的内部，D为AB的中点，且OA+OB+2OC=0,则厶ABC的面积和TOC\o"1-5"\h\z△AOC的面积的比值为（）A.3B.4C.5D.6［解析］•/D为AB的中点，则OD=^(OA+OB),又OA+OB+2OC=0,•••OD=—OC,•••o为cd的中点,又•••D为AB中点,则3=4S^AOC._1…SaAOC=^SAADC=48^ABC,［答案］B设GABC的重心，且sinAGA+sinBGB+sinCGC=0,则角B的大小为［解析］•••G是厶ABC的重心,GA+GB+GC=0,GA=—(GB+GC),将其代入sinAGA+sinBGB+sinCGC=0,得(sinB—sinA)GB+(sinC—sinA)GC=0.又GB,GC不共线，•sinB—sinA=0,sinC—sinA=0,贝UsinB=sinA=sinC.根据正弦定理知b=a=c,•••△ABC是等边三角形，则角B=60°［答案］60°在直角梯形ABCD中，/A=90°/B=30°AB=^3,BC=2,点E在线段CD上，若AE=Ad+厢，贝U□的取值范围是.［解析］由题意可求得AD=1,CD=3,所以AB=2DC.•••点E在线段CD上，•DE=?DC（0<1）.•/Al=Ad+De,—>—>—>—>—>—>2Ir~又AE=AD+（.AB=AD+2QC=AD+%E入•¥=1,即卩尸扌•/0<疋1,•0w产1入22即I的取值范围是［答案］..~2~>->如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE=孑D,AB=a,ACb.⑴用a、b表示向量Ad,AE,Af,BE,BF；(2)求证：B,E,F三点共线.［解］(1)延长AD到G,使AD=1AG，连接BG,CG,得到？ABGC，所以AG=a+b,—1—1AD=?AG=2（a+b）.AE=|AD=3（a+b）.T1T1AF=-AC=mb.22BE=AE-AB=3(a+b)—a=£(b—2a).T2T⑵证明：由⑴可知BE=3BF，因为有公共点B,所以B,E,F三点共线.[C尖子生专练]已知0，A，B是不共线的三点，且OP=mOA+nOB（m,n€R）.若m+n=1，求证：A,P,B三点共线；⑵若A,P,B三点共线，求证：m+n=1.［证明］(1)若m+n=1,则0P=mOA+(1—m)OB=0B+m(OA—OB),•••OP-Ob=m(OA—OB),即BP=mBA,.・.BP与BA共线.又•••BP与ba有公共点B,•a,p,b三点共线.若a,P,B三点共线，则存在实数入使BP=?BA,OP—Ob=xOa—OB).—T—T—T又OP=mOA+nOB.故有mOA+(n—1)OB=DA—XDB,即(m—DOA+(n+D—1)OB=0.•/O,A,B不共线，•OA,OB不共线,m—X=0,ln+D—1=0,•m+n=1.