辽宁吉林黑龙江3省2020年中考数学试题分类解析汇编 专题10 四边形

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分类解析汇编专题10：四边形选择题1.（辽宁沈阳4分）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】B。【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定。【分析】根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，从而得出图中等腰三角形中的个数：∵矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OB=OC=OD，∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四个。故选B。2.（辽宁大连3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于A．B．1C．D．2【答案】C。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，程，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，根据三角形的角平分线的性质得到DF=EF，由全等三角形的判定和性质求出AE==AD=5，由勾股定理求出BE==3，CE=2，从而由△ABE∽△ECF，得出。故选C。3.（辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值A、2B、4C、D、【答案】C。【考点】轴对称的性质，正方形的的性质，勾股定理，垂直线段的性质，三角形的性质。【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4。而根据垂直线段最短的性质和三角形两边之和大于第三边的性质，可知D′P′即为DQ+PQ的最小值。∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′。∴在Rt△AP′D′中，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=，即DQ+PQ的最小值为。故选C。4.（辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为A．1B．2C．3D．4【答案】D。【考点】矩形的性质，轴对称的性质，三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程。【分析】从题意可知，由于在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，故AE长度固定，要△AEF的周长最小只要AF＋EF最小即可。作点E关于CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，则由轴对称的性质AE′＝AF＋EF。根据三角形两边之和大于第三边的性质，知对CD上任意点F′，总有AF′＋E′F′＞AE′，即点F是使AF＋EF最小的点。设DF＝x，则CF＝6－x。由轴对称的性质可得△ADF∽△ACFE，有，即，解得x＝4。故选D。5.（黑龙江哈尔滨3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=600，AB=5，则AD的长是．（A)5（B）5（C）5(D)10【答案】A。【考点】矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO=AC=BD=BO，又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=5，∴BD=2AO=10，∴AD2=BD2－AB2=102－52=75，∴AD=5。故选A。6.（黑龙江龙东五市3分）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E、F、G、H，则图中面积相等的平行四边形的对数为A、3B、4C、5D、6【答案】D。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的全等三角形，即。则，。因此图中面积相等的平行四边形的对数有三对：，。故选D。7.（黑龙江牡丹江3分）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=900,BO、EF交于点P．则下列结论中：(1)图形中全等的三角形只有两对；(2)正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；(3)BE+BF=0A；(4)AE2+CF2=20POB，正确的结论有．A．18．2C．3D．4【答案】C。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）从图中可看出全等的三角形至少有四对．故选项错误；（2）△OBE的面积和△OFC的面积相等，故正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，故选项正确；（3）BE+BF等于边长，从而BE+BF=OA，故选项正确；（4）因为AE=BF，CF=BE，从而AE2+CF2=2OP•OB，故选项正确。故选C。填空题1.（辽宁沈阳4分）如图，在ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45°，则∠EDF的度数是▲度．【答案】45。【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF＝∠EBF＝45°。2.（辽宁沈阳4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA．下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE＋DF=EF；⑤S△ABE＋S△ADF=S△CEF，其中正确的是▲（只填写序号）．【答案】①②③⑤。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】由已知得AB=AD，AE=AF，利用“HL”可证△ABE≌△ADF，利用全等的性质判断①②③正确。在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，由正方形，等边三角形的性质可知∠DAF=15°，从而得∠DGF=30°，设DF=1，则AG=GF=2，DG=，分别表示AD，CF，EF的长，判断④⑤的正确性：AD=CD=2+，CF=CE=CD-DF=1+，∴EF=CF=+，而BE+DF=2，∴④错误。⑤∵S△ABE+S△ADF=2×AD×DF=2+，S△CEF=CE×CF==2+，∴⑤正确。3.（辽宁本溪3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若BC=2AD=8，则tan∠ABE=▲。【答案】3。【考点】等腰梯形的的性质，平行的性质，锐角三角函数，勾股定理。【分析】过D点作DF∥AC交BC的延长线与点F，构造等腰直角三角形后求得AE的长和BE的长，利用锐角三角函数的定义求解即可：∵在梯形ABCD中，BC＝2AD＝8，∴AE＝2。∵AC⊥BD于点O，∴BD⊥FD。∵AD∥BC，∴AD＝CF。∴BF＝BC＋CF＝8＋4＝12。∵AC＝BD，∴BD＝DF。∴AC＝BD＝12÷＝6。∴，AE＝6。∴tan∠ABE＝。4．（辽宁丹东3分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有▲对．【答案】3。【考点】平行四边形的的性质，相似三角形的判定。【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出DF∥BC，AB∥CD，则△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，从而得出△ABF∽△CEB。共3对。5.（吉林省2分）在ABCD中，A＝1200，则∠1＝____▲_____度.【答案】60。【考点】平行四边形的性质，邻补角的性质。【分析】根据平行四边形对角相等的性质，得∠BCD＝∠A＝1200，再根据邻补角的性质，得到∠1＝1800－∠BCD＝1800－1200＝600。6.（黑龙江哈尔滨3分）已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是▲【答案】2或。【考点】正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义。【分析】如图，考虑两种情况：点P在CD上（即图中P1点），∵BC=2，DP=1，∠C=90°，∴PC=1，∴tan∠BPC==2；（2）点P在CD延长线上（即图中P2点），∵BC=2，DP=1，∠C=90°，∴PC=3，∴tan∠BPC=。7.（黑龙江龙东五市3分）如图所示，正方形ABCD中，点E在BC上，点F在DC上，请添加一个条件：▲，使△ABE≌△BCF（只添一个条件即可）。【答案】BE=CF（答案不唯一）。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定。【分析】根据已知条件正方形ABCD可知AB=BC，∠ABC=∠C=90°，要使△ABE≌△BCF，加上条件BE=CF，可以用SAS证明其全等；或加上条件AE=BF，可以用HL证明其全等；或……8.（黑龙江龙东五市3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，……，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为▲。【答案】。【考点】分类归纳，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，菱形和矩形的判定和性质。【分析】根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=eq\f(1,2)AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，同理，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的eq\f(1,2)。推而广之，四边形A2B2C2D2的面积是四边形A1B1C1D1面积的eq\f(1,2)，即四边形A2B2C2D2的面积是四边形ABCD面积的；四边形A3B3C3D3的面积是四边形ABCD面积的；……四边形AnBnCnDn的面积是四边形ABCD面积的。而根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16，所以四边形AnBnCnDn的面积为。9.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2020=▲．【答案】·。【考点】分类归纳，三角形中位线定理，等边三角形的性质，解直角三角形，相似多边形的性质。【分析】先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，从而可得出S2的值，找出规律即可得出S2020的值：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴△ABC的高＝AB•sin∠A＝1×＝，∵DF、EF是△ABC的中位线，∴AF＝，四边形EDAF的高＝×＝。∴S1＝×=。根据相似多边形的性质可得，S2＝·S1＝·；S3＝·；…Sn＝·。∴S2020＝·。解答题1.（辽宁大连9分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是BC的中点，求证：∠DAM＝∠ADM．【答案】证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠B=∠C，AB=DC。∵M是BC的中点，∴BM=CM。∴△ABM≌△DCM（SAS）。∴AM=DM，∴∠DAM=∠ADM。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】根据等腰梯形的性质得出∠B=∠C，AB=DC，由SAS证出△ABM≌△DCM，得到AM=DM即可。2.（辽宁本溪12分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC=BD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．【答案】解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α。证明如下：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OC=OB=OD。又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB=OD′=OA=OC′。又∵∠D′OD=∠C′OC，∴180°－∠D′OD=180°－∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′。∴△BOD′≌△AOC′（SAS）。∴BD′=AC′。∴∠OBD′=∠OAC′。设BD′与OA相交于点N，∴∠BNO=∠ANM。∴180°－∠OAC′－∠ANM=180°－∠OBD′－∠BNO。即∠AMB=∠AOB=∠COD=α。综上所述，BD′=AC′，∠AMB=α。（2）AC′=kBD′，∠AMB=α。证明如下：在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB：OA=OD′：OC′。又∵∠D′OD=∠C′OC，∴180°－∠D′OD=180°－∠C′OC。∴∠BOD′=∠AOC′。∴△BOD′∽△AOC′。∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC。∵AC=kBD，∴AC′=kBD′。∵△BOD′∽△AOC′，设BD′与OA相交于点N，∴∠BNO=∠ANM。∴180°－∠OAC′－∠ANM=180°－∠OBD′－∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α。综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α。（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立。【考点】全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰梯形的性质，旋转的性质，平角的定义。【分析】（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′，得出对应边对应角相等，推理即可得出结论。（2）先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案。（3）根据题意并结合图示即可得出结论。3．（辽宁丹东12分）己知：正方形ABCD．（1）如图l，点E、点F分别在边AB和AD上。且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立．请说明理由．（3）如图3．等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺顿时针旋转∠α，当时，连接BE、DF，猜想；AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．【答案】解：（1）BE＝DF且BE⊥DF。（2）成立。证明如下：在△DFA和△BEA中，∵∠DAF＝90°－∠FAB，∠BAE＝90°－∠FAB，∴∠DAF＝∠BAE。又∵AB＝AD，AE＝AF，∴△DFA≌△BEA（SAS）。∴BE＝DF，∠ADF＝∠ABE＝。∴BE⊥DF。（3）AE＝（－1）AD。（4）正方形。【考点】旋转的性质，等量代换，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正方形的判定和性质。【分析】（1）根据正方形的性质，AB＝AD，由AE＝AF，可得BE＝DF且BE⊥DF。（2）通过证明△DFA≌△BEA，可得（1）中的结论依然成立。（3）连接BD，由直线DF垂直平分BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AD＋AE＝BD，BD＝AD，解答出即可。（4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状。4.（辽宁阜新12分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．【答案】解：（1）PE＝PD，PE⊥PD。（2）成立。证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。又∵AP＝AP，∴△BAP≌△△DAP（SAS）。∴PB＝PD。又∵PE＝PB，∴PE＝PD。∵△BAP≌△△DAP，∴∠DPA＝∠APB。又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，∴∠DPA＝135°－∠ABP。又∵PE＝PB，∴∠BPE＝2∠PBE∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB—∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP）－2∠PBE＝270°－2（∠ABP＋∠PBE）＝270°－2∠ABE＝270°－2×90°＝90°。∴PE⊥PD。（3）（1）中的猜想成立。PE＝PD，PE⊥PD。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，周角的定义，等量代换，垂直的判定，尺规作图，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）与（2）的证明类同可得到结果。（2）要证PE＝PD，只要证它们是全等三角形的对应边即可，这一点易由已知和正方形的性质用SAS证得。要证PE⊥PD，只要证∠DPE＝90°即可，这一点可由三角形内角和等于180°的定理，等腰三角形等边对等角的性质和周角的定义用等量代换证得。（3）作法：①在AC的延长线上任取一点P；②以点P为圆心，PB长为半径画弧，交BC的延长线于E；③连接PB、PD、PE。即为所作。猜想的证明：PE＝PD同（2）。PE⊥PD的证明，只要设PD与BE相交于点F，易证△PEF与直角△CDF相似，从而得对应角相等即可。5.（吉林省5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF=AB,，求证：AEF≌DFC。【答案】证明：∵BE＝AD，AF＝AB，∴AE＝DF。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD。∴AF=CD,∠EAF=∠D。∴△AEF≌△DFC（ASA）。【考点】等量代换，平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由等量代换和平行四边形对边相等，对角相等的性质可由ASA证得△AEF≌△DFC。6.（吉林长春6分）在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．每个等腰三角形的一个顶点为格点A，其余顶点从格点B、C、D、E、F、G、H中选取，并且所画的两个三角形不全等．【答案】解：【考点】应用与设计作图。【分析】可以以正方形的对边的顶点为等腰三角形的两个底边的顶点，以这两点连线的中垂线经过的点为顶角顶点，即可作出等腰三角形。还可画出四个符合条件的等腰三角形，但其中④⑤⑥三个全等：7.（吉林长春7分）探究：如图①，在ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，连接AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF、GH、IJ、KL．若ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为．【答案】探究：△FAE≌△CDA，证明如下：在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠BAD+∠ADC=180°。等腰直角△ABF和等腰直角△ADE中，AF=AB，AE=AD，∠FAB=∠EAD=90°，∴∠FAE+∠BAD=180°。∴∠FAE=∠ADC。∴△FAE≌△CDA（SAS）应用：10。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质。【分析】首先由SAS可证明△FAE≌△CDA，则阴影部分四个三角形的面积和是ABCD的面积的2倍，据此即可求解：四个三角形的面积和为2×5=10。8.（黑龙江哈尔滨3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F求证DF=BE．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD。∴∠BCA=∠DAC∵BE⊥AC，DE⊥AC，∴∠CEB=∠AFD=90°。∴△CEB≌△AFD（AAS）。∴BE=DF。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定与性质。【分析】根据平行四边形的对边相等得出BC=AD，再由两直线平行内错角相等可得出∠BCA=∠DAC，从而可由AAS证出△CEB≌△AFD，利用全等三角形的性质即可得出结论。9.（黑龙江大庆7分）如图，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．(1)求∠DA1E的大小；(2)求△A1BE的面积．【答案】解：（1）由翻折得Rt△ABE≌Rt△A1BE，则在Rt△A1BE中，A1B=2，BC=1。∴由得。又，∴。（2）设，则在Rt△A1DE中，，即得。在Rt△A1BE中，，∴。【考点】翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质，锐角三角函数，矩形的性质。【分析】（1）先根据图形翻折变换的性质得出Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根据直角三角形的性质可得出∠DA′E的度数；（2）设，则，在Rt△A′DE中，利用可求出的值，在根据Rt△A′BE中，A1B=AB，利用三角形的面积公式即可求解。9.（黑龙江龙东五市8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R。（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）。（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。【答案】解：(2)图2中结论PR＋PQ＝仍成立。证明如下：连接BP,过C点作CK⊥BD于点K。∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°。又∵CD=AB=3，BC=4∴BD＝。∵S△BCD＝BC·CD＝BD·CK，∴3×4＝5CK。∴CK=。∵S△BCE＝BE·CK，S△BEP＝PR·BE，S△BCP＝PQ·BC，且S△BCE＝S△BEP＋S△BCP，∴BE·CK＝PR·BE＋PQ·BC。又∵BE＝BC，∴CK＝PR＋PQ。∴CK＝PR＋PQ。又∵CK＝，∴PR＋PQ＝。(3)图3中的结论是PR－PQ=【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，等量代换。【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。（3）图3中的结论是PR－PQ=。如图，同（2）有CK=。∵S△BCE＝BE·CK，S△BEP＝PR·BE，S△BCP＝PQ·BC，且S△BCE＝S△BEP－S△BCP，∴BE·CK＝PR·BE－PQ·BC。又∵BE＝BC，∴CK＝PR－PQ。∴CK＝PR－PQ。又∵CK＝，∴PR－PQ＝。10.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西8分）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解：（1）EG=CG，EG⊥CG。（2）EG=CG，EG⊥CG。证明如下：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形。∴BE=CM，∠EMC=90°。又∵BE=EF，∴EF=CM。∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=FD=FG。∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD。∵EF=CM，∴FM=DM。∴∠F=45°。又∵FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC。又∵FG=MG，∴△GFE≌△GMC（SAS）。∴EG=CG，∠FGE=∠MGC。∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD。∴∠FGE+∠EGM=90°。∴∠MGC+∠EGM=90°。即∠EGC=90°。∴EG⊥CG。          【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明。11.（黑龙江牡丹江6分）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．【答案】解：∵AC=4，BC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=900．分三种情况情况一，如图(1)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，∵∠ABC=1800－∠ABD－∠DBE=900－∠DBE=∠BDE，AB=BD，∠ACB=∠AED，∴△ACB≌△BED（AAS）。∴在RtCDE中，DE=BC=2，CE=BC＋BE=BC+AC=6，CD=。情况二，如图(2)，过点D作DE⊥CA，垂足为点E．同上可证△ACB≌△DEA，∴CD=。情况三，如图(3)，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点，同上可证△AFD≌△DEB，∴CD=。【考点】勾股定理和逆定理，全等三角形的判定和性质。【分析】根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解。