PAGE2.1.1椭圆的标准方程一、选择题1．已知椭圆方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,11)＝1，那么它的焦距为( )A．6B．3C．3eq\r(31)D.eq\r(11)解析：由于a2＝20，b2＝11，∴c2＝a2－b2＝9，∴c＝3,2c＝6，故选A.答案：A2．满足条件a＝13，c＝5的椭圆的标准方程为( )A.eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1B.eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1C.eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1D．不确定解析：因焦点位置不确定，应有两个标准方程，只有C成立．答案：C3．(2020年四川安居调研)椭圆2x2＋y2＝8的焦点坐标是( )A．(±2,0)B．(0，±2)C．(±2eq\r(3)，0)D．(0，±2eq\r(3))解析：椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1，∴焦点在y轴上，且c2＝8－4＝4.∴焦点坐标为(0，±2)．答案：B4．设P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2为直角三角形．答案：B5．椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍解析：不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±eq\f(\r(3),2))，即|PF2|＝eq\f(\r(3),2)，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq\r(3)，则|PF1|＝eq\f(7\r(3),2)，即|PF1|＝7|PF2|，故选A.答案：A6．(2020年湖南济阳高二期末)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1”
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示焦点在y轴上的椭圆的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：椭圆方程为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1.当m>n>0时，eq\f(1,m)<eq\f(1,n)，∴椭圆焦点在y轴上．当椭圆焦点在y轴上时，有eq\f(1,n)>eq\f(1,m)>0，∴0
b>0)．将点(3，－2)代入得eq\f(9,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，又a2＝b2＋5，联立可得a2＝15，b2＝10.所以所求椭圆方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.答案：eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝19．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，方程x2sinα＋y2cosα＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1.∵椭圆的焦点在y轴上，∴eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0.又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα>cosα>0，∴eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))三、解答题10．已知椭圆eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M的纵坐标代入eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1得eq\f(8x2,81)＋eq\f(4,36)＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－5)＝1，把M点坐标代入得eq\f(9,a2)＋eq\f(4,a2－5)＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.11．一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解：两定圆的圆心和半径分别是O1(－3,0)，r1＝1，O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可知，|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，∴|MO1|＋|MO2|＝10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.12.已知x轴上的一定点A(1,0)，Q为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上的动点，求AQ中点M的轨迹方程．解：设动点M的坐标为(x，y)，则Q的坐标为(2x－1,2y)．因为点Q为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上的点，所以有eq\f(2x－12,4)＋(2y)2＝1，即(x－eq\f(1,2))2＋4y2＝1.所以点M的轨迹方程是(x－eq\f(1,2))2＋4y2＝1.13．已知椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解：(1)依题意知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－eq\f(3,4)a2＝1，即eq\f(1,4)a2＝1.所以a2＝4.因此b2＝3.从而椭圆方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝eq\f(5,2)，|PF2|＝eq\f(3,2)，又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq\f(\f(5,2)2＋\f(3,2)2－22,2×\f(5,2)×\f(3,2))＝eq\f(3,5).即∠F1PF2的余弦值等于eq\f(3,5).[拓展延伸]14．已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆上的两个焦点．(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)．①在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°.②由①②得|PF1|·|PF2|＝eq\f(4,3).所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(\r(3),3).(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得eq\o(PF1,\s\up15(→))·eq\o(PF2,\s\up15(→))<0，即(x＋eq\r(3)，y)·(x－eq\r(3)，y)<0，又y2＝1－eq\f(x2,4)，所以eq\f(3,4)x2<2，解得－eq\f(2\r(6),3)
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