2020高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法作业A 新人教A版必修4

PAGE§2.5　平面向量应用举例2．5.1　平面几何中的向量方法一、基础过关1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)A．2eq\r(5)B.eq\f(5,2)eq\r(5)C．3eq\r(5)D.eq\f(7,2)eq\r(5)2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，则点O是△ABC的(　　)A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点3．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是(　　)A．30°B．45°C．135°D．150°4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．已知点A(eq\r(3)，1)，B(0,0)，C(eq\r(3)，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，其中λ等于(　　)A．2B.eq\f(1,2)C．－3D．－eq\f(1,3)6．过点(1,2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．7．已知平面上三点A、B、C满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝5.则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝________.8．如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.求证：MN∥AD.二、能力提升9．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，则△ABC的形状是(　　)A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等边)三角形D．等边三角形10．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝________________.11．求证：△ABC的三条高线交于一点．12．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF.求证：∠ADB＝∠FDC.三、探究与拓展13.如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.答案1．B　2.D　3.B　4.B　5.C6．x＋3y－7＝0　7.－258．证明　∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝μeq\o(EF,\s\up6(→))(μ≠1)，则eq\f(AN,EN)＝μ，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(μ－1)eq\o(EN,\s\up6(→))，同理，由eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，可得eq\o(DE,\s\up6(→))＝(μ－1)eq\o(EM,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝(μ－1)eq\o(MN,\s\up6(→))，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))，∴AD∥MN.9．D10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5)))11．证明　如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．设BE，CF交于H点，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(AH,\s\up6(→))＝h，则eq\o(BH,\s\up6(→))＝h－b，eq\o(CH,\s\up6(→))＝h－c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c－b.∵eq\o(BH,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CH,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，即(h－b)·c＝(h－c)·b整理得h·(c－b)＝0，∴eq\o(AH,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴AH⊥BC，∴eq\o(AH,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))共线．AD、BE、CF相交于一点H.12．证明　如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2)，设F(x，y)，由eq\o(BF,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0.①又F点在AC上，则eq\o(FC,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，而eq\o(FC,\s\up6(→))＝(－x,2－y)，因此2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2.②由①、②式解得x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(4,3)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,3)))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)，又eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝|eq\o(DF,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cosθ＝eq\f(\r(5),3)cosθ，∴cosθ＝eq\f(\r(5),5)，即cos∠FDC＝eq\f(\r(5),5)，又cos∠ADB＝eq\f(|\o(BD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，∴cos∠ADB＝cos∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.13．证明　设Peq\o(D,\s\up6(→))＝λCeq\o(D,\s\up6(→))，并设△ABC的边长为a，则有Peq\o(A,\s\up6(→))＝Peq\o(D,\s\up6(→))＋Deq\o(A,\s\up6(→))＝λCeq\o(D,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)Beq\o(A,\s\up6(→))＝λ(eq\f(2,3)Beq\o(A,\s\up6(→))－Beq\o(C,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)Beq\o(A,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(2λ＋1)Beq\o(A,\s\up6(→))－λBeq\o(C,\s\up6(→))，又Eeq\o(A,\s\up6(→))＝Beq\o(A,\s\up6(→))－eq\f(1,3)Beq\o(C,\s\up6(→)).∵Peq\o(A,\s\up6(→))∥Eeq\o(A,\s\up6(→))，∴eq\f(1,3)(2λ＋1)Beq\o(A,\s\up6(→))－λeq\o(BC,\s\up6(→))＝keq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)keq\o(BC,\s\up6(→)).于是有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)2λ＋1＝k，,λ＝\f(1,3)k.))解得，λ＝eq\f(1,7).∴Peq\o(D,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)Ceq\o(D,\s\up6(→)).∴Beq\o(P,\s\up6(→))＝Beq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(P,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)Beq\o(C,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)Beq\o(A,\s\up6(→)).Ceq\o(D,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)Beq\o(A,\s\up6(→))－Beq\o(C,\s\up6(→)).从而Beq\o(P,\s\up6(→))·Ceq\o(D,\s\up6(→))＝(eq\f(1,7)Beq\o(C,\s\up6(→))＋eq\f(4,7)Beq\o(A,\s\up6(→)))·(eq\f(2,3)Beq\o(A,\s\up6(→))－Beq\o(C,\s\up6(→)))＝eq\f(8,21)a2－eq\f(1,7)a2－eq\f(10,21)a2cos60°＝0.