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控制理论基础（B）北京理工大学2005第四章CH4、根轨迹法本章内容根轨迹基本概念根轨迹绘制基本规则按根轨迹分析控制系统4.1根轨迹基本概念起因——闭环系统的极点决定了系统的性能，希望通过开环零极点设置，使闭环极点达到预想位置。根轨迹法——一种求闭环系统极点位置的简单图解法；已知系统开环零极点，当系统某一参数变化时，绘制出系统闭环极点变化的轨迹。例：其闭环传递函数：闭环极点：绘制k从0∞时闭环极点位置的变化。根轨迹：控制系统的某一参数由零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上形成的轨迹。设开环传递函数为G(s)H(s)，如图，闭环特征方程：幅值条件：相角条件：4.2根轨迹绘制基本规则开环传递函数化为零极点标准形式：k——根轨迹增益主要讨论的可变参数对应开环增益：1、根轨迹分支数（规则一）：根轨迹在s平面上的分支数等于系统阶次。2、根轨迹的连续性和对称性（规则二）：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。3、根轨迹的起点和终点（规则三）根轨迹起始于开环极点，有m条终止于开环零点，其余(n-m)条终止于s平面无穷远处。k=0时：闭环极点即开环极点；k=∞时：闭环极点包含开环零点，及s取无穷大。4、根轨迹的渐近线（规则四）：s∞时，上式可化为：为渐近线公式。有n-m个解，表示n-m条直线，经过公共点(,j0)。可得直线夹角满足：以上两式展开后比较，可得：系统开环零点数m小于极点数n时，伸向无穷远的n-m条根轨迹有n-m条渐近线，这些渐近线在实轴上交于一点它们与实轴正方向的夹角是：5、实轴上的根轨迹（规则五）实轴上任何线段右面的开环实零点数和开环实极点数之和为奇数时，该线段就是根轨迹的一部分。注：利用相角条件：例：闭环控制的作用：如图，一阶不稳定环节，根轨迹指向左半平面，表示在k达到一定值后，闭环系统稳定，并且随着k的增加，系统动态性能不断改善。6、根轨迹在实轴上的分离点和会合点（规则六）设则：根轨迹相遇时，其分离点和会合点的坐标满足：或规则六说明：一般来说，实轴上两相邻开环极点之间若有根轨迹，则必有分离点；实轴上两相邻开环零点（包括无穷远处零点）之间若有根轨迹，则必有会合点；而实轴上开环极点和开环零点之间，或者分离点和会合点同时存在，或者都没有。分离点和会合点上，根轨迹的切线与实轴的夹角q与该点上相遇的根轨迹数g有关，满足：Eg.例4.11)根轨迹分支数：32)起点在开环极点，终点在无穷远；3)实轴上：(-∞,-2]，[-1,0]4)渐近线：5)分离点：直流电机实例7、根轨迹与虚轴交点（规则七）若根轨迹与虚轴相交，则交点通过劳思判据确定，或将jw代入闭环特征方程求取。例4.1续闭环特征方程：代入jw得：劳思表：Eg.Theclosed-loopcharacteristiceq.is1)UseRouth_HurwitzCriterion:2)Lets=jw:8、根轨迹的入射角与出射角（规则八）出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角。（p104，图4-2-5）入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。根轨迹出射角等于180º减去所有从其它开环极点到该极点所引向量的幅角和再加上从所有开环零点到该极点所引向量的幅角和；根轨迹的入射角等于180º减去所有从其它开环零点到该零点所引向量的幅角和再加上从所有开环极点到该零点所引向量的幅角和。例4.21)根轨迹分支数：22)起点在开环极点，终点在和无穷远；3)实轴上：(-∞,-1]4)会合点：5)出射角：根轨迹绘制要素：起点，终点；支数；对称性；实轴上的根轨迹；渐近线；分离点、会合点；出射角、入射角；与虚轴交点。9、闭环极点的和与积设闭环系统特征方程：则有以下特征根与多项式系数的关系：对于稳定系统，有：例4.3例4.1系统根轨迹与虚轴交于：由于闭环特征方程：则：因此：10、放大系数的求取根据幅值条件：可得：表示根轨迹上某点到所有极点与到所有零点的几何长度乘积之比。例4.4求得4个开环极点：1)根轨迹分支数：42)起点在开环极点，终点在无穷远；3)实轴上：[-2.73,0]4)渐近线：5)分离点：6)出射角：7)与虚轴交点：jw代入闭环特征方程：解得：及：根轨迹图其它参数改变的根轨迹绘制方法，例：4.3按根轨迹分析控制系统例4.5已知分析K对系统性能的影响，计算K=5时系统动态指标。化成：绘制根轨迹图：1)系统始终稳定；2)0

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