安徽省合肥市第九中学2020学年高二数学下学期期中试题 理

PAGE合肥九中2020-2020学年第学期高二期中考试理科数学试卷考试时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z满足z呂1—2݅)ሻ3ൌ2݅，则zሻ()A.—1ൌ8݅B.—1—8݅C.7ൌ8݅D.7—8݅55555555已知直线yሻxൌ1与曲线yሻln呂xൌ൅)相切，则a的值为呂)A.1B.2C.—1D.—2函数yሻlnx的导数为呂)x1xlnx—1x21—x21—lnxx2函数f呂x)ሻex—x呂e为自然对数的底数)在区间[0,1]上的最大值是呂)A.1ൌ1eB.1C.eൌ1D.e—1若函数yሻf呂x)的导函数yሻf′呂x)的图象如图所示，则yሻf呂x)的图象可能呂)B.C.D.0定积分f1呂2xൌex)x的值为呂)A.eൌ2B.eൌ1C.eD.e—1某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有()A.24种B.9种C.3种D.26种呂x—1)呂2xൌ1)10的展开式中x10的系数为呂)A.—512B.1024C.4096D.5120已知函数f呂x)的定义域为呂0,ൌ∞)，且满足f呂x)ൌx·fˈ呂x)ሻ0呂fˈ呂x)是f呂x)的导函数)，则不等式呂x—1)f呂x2—1)€f呂xൌ1)的解集为呂)A.呂—1,2)B.呂1,2)C.呂1,ൌ∞)D.呂—∞,2)10.已知呂1ൌx)10ሻ൅0ൌ൅1呂1—x)ൌ൅2呂1—x)2ൌ…ൌ൅10呂1—x)10，则൅0ൌ൅8ሻ呂)A.664B.844C.968D.1204六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有呂)A.192种B.216种C.240种D.288种x若函数f呂x)ሻlnxൌ൅xൌ1在[1,ൌ∞)上是单调函数，则a的取值范围是呂)A.呂—∞,0]U[1,ൌ∞)B.呂—∞,—1]U[0,ൌ∞)444C.[—1,0]D.呂—∞,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）在呂1ൌ2x)7的展开式中，第3项的系数是．将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻，且A与C不相邻，则不同的排法共有种.已知f呂x)为偶函数，当x≤0时，f呂x)ሻe—x—1—x，则曲线yሻf呂x)在点呂1,2)处的切线方程是．已知函数f呂x)ሻx3—3x2ൌn在呂0,2)上有极值3，则实数m的值为．22三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）已知函数f呂x)ሻ—x3ൌ3x2ൌ9xൌ൅.若f呂x)在区间[—2,2]上的最大值为20，求实数a的值．已知函数f呂x)ሻ—x3ൌ൅x2ൌ4x的图象在xሻ1处的切线方程为yሻ—3xൌ4．呂Ⅰ)求实数a的值；呂Ⅱ)若方程fx—bሻ0有三个实数解，求实数b的取值范围．把1，2，3，4，5这5个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的顺序排列成一个数列．呂1)43251是这个数列的第几项？呂2)这个数列的第96项是多少？已知二项式呂xൌ3x)n呂nCN×,n€15)呂1)求二项式展开式中各项系数之和；呂2)若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；呂3)在呂2)的条件下写出它展开式中的有理项．已知函数f呂x)ሻx2ൌ൅lnx．呂Ⅰ)当൅ሻ—2时，求函数f呂x)的单调区间和极值；x呂Ⅱ)若g呂x)ሻf呂x)ൌ2在[1,ൌ∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．已知函数f呂x)ሻxlnxൌ൅xൌ1，൅CR．呂1)当时xሻ0，若关于x的不等式f呂x)≤0恒成立，求a的取值范围；ex呂2)当xC呂1,ൌ∞)时，证明：e呂x—1)€lnx€x2—x．合肥九中2020-2020学年第学期高二期中考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A2.B．3.D．4.D5.C6.C7.B8.C9.B．10.D．11.B12.B二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.8414.3615.yㇸ2x16.2三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.（10分）解：f'(x๘ㇸ—3x2+͸x+9，令f'(x๘ሻ0，解得xሻ—1，或xㇸ3，函数f(x๘的单调递减区间为(—œ,—1๘，(3,+œ๘，单调递増区间为(—1,3๘，f(—2๘ㇸ8+12—18+൅ㇸ2+൅，f(2๘ㇸ—8+12+18+൅ㇸ22+൅，f(2๘ㇸf(—2๘，在(—1,3๘上f'(x๘ㇸ0，f(x๘在(—1,2]上单调递增，又由于f(x๘在[—2,—1๘上单调递减，f(—1๘是f(x๘的极小值，且f(—1๘ㇸ൅—5，f(2๘和f(—1๘分别是f(x๘在区间[—2,2]上的最大值和最小值，于是有22+൅ㇸ20，解得൅ㇸ—2．18.（12分）解：(Ⅰ๘函数f(x๘ㇸ—x3+൅x2+ㇸx的图象在xㇸ1处的切线方程为yㇸ—3x+ㇸ，，，则，解得൅ㇸ—2；(Ⅱ๘f(x๘—bㇸ0，fxㇸb，由(Ⅰ๘得，令，解得xㇸ2或xㇸ—2，3当—2ሻxሻ2时，0'/>，f(x๘在(—2,2๘上单调递增，33当xሻ—2或xㇸ2时，0'/>，f(x๘在—œ,—2和(2,+œ๘上单调递减，33所以f(x๘在xㇸ—2处取得极小值f—2ㇸ—8，在xㇸ2处取得极大值f(2๘ㇸㇸ0，3327所以当—8ሻbሻㇸ0时，yㇸf(x๘的图象与直线yㇸb有三个交点，27那么方程f(x๘—bㇸ0有三个实数解，故实数b的取值范围为(—8,ㇸ0๘．2719.（12分）解：(1๘先考虑大于43251的数，分为以下三类第一类：以5打头的有：Aㇸㇸ2ㇸ，第二类：以45打头的有：A3ㇸ͸，ㇸ3第三类：以435打头的有：A2ㇸ2，故不大于43251的五位数有：A5—(Aㇸ+A3+A2๘ㇸ88(个๘，2即43251是第88项．5ㇸ32(2๘1开头的五位数有Aㇸㇸ2ㇸ；2开头的五位数有Aㇸㇸ2ㇸ；3开头的五位数有Aㇸㇸ2ㇸ；ㇸㇸㇸㇸ4开头的五位数有Aㇸㇸ2ㇸ；所以1、2、3、4开头的五位数共有96个所以第96项是4开头最大的数，即45321．20.（12分）(1๘二项式展开式中各项系数之和就是二项式展开式中各项的二项式系数之和二项式展开式中各项系数之和为C0+C1+C2+…+Cnㇸ2n，nnnn(2๘展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C8，C9，C10，依题意得C8+C10ㇸ2C9，nnnnnn写成n！8좰(n—8๘좰+n！10좰(n—10๘좰ㇸ2·n！9좰(n—9๘좰化简得90+(n—9๘(n—8๘ㇸ2·10(n—8๘，即：n2—37n+322ㇸ0，解得nㇸ1ㇸ或nㇸ23；1ㇸ—rrㇸ2—r1ㇸ1ㇸ(3๘展开式的通项为Tr+1ㇸCrx2·x3ㇸCrx͸，展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，又0≤r≤1ㇸ，展开式中的有理项共3项是rㇸ0，rㇸ͸，rㇸ12，展开式中的有理项是T1ㇸC0x7ㇸx7，T7ㇸC͸x͸ㇸ3003x͸，T13ㇸC12x5ㇸ91x5．1ㇸ1ㇸ1ㇸ21.（12分）解：(Ⅰ๘函数f(x๘ㇸx2+൅lnx，函数f(x๘的定义域为(0,+œ๘．当൅ㇸ—2时，f'(x๘ㇸ2x—2ㇸ2(x+1๘(x—1๘．xxx(0,1๘1(1,+œ๘f'(x๘—0+f(x๘递减极小值递增当x变化时，f'(x๘和f(x๘的值的变化情况如下表：由上表可知，函数f(x๘的单调递减区间是(0,1๘、单调递增区间是(1,+œ๘、极小值是f(1๘ㇸ1．(Ⅱ๘由g(x๘ㇸx2+൅lnx+2，得g'(x๘ㇸ2x+൅—2．xxx2若函数g(x๘为[1,+œ๘上的单调增函数，则g'(x๘≤0在[1,+œ๘上恒成立，即不等式2x—2+൅≤0在[1,+œ๘上恒成立．也即൅≤2—2x2在[1,+œ๘上恒成立．x2xx令(x๘ㇸ2—2x2，则'(x๘ㇸ—2—ㇸx．当xC[1,+œ๘时，'(x๘ㇸ—2—ㇸxሻ0，xx2x2x(x๘ㇸ2—2x2在[1,+œ๘上为减函数，(x๘n൅xㇸ(1๘ㇸ0．൅≤0．൅的取值范围为[0,+œ๘．22.（12分）解：(1๘由f(x๘≤0，得xlnx+൅x+1≤0(xㇸ0๘．整理，得—൅≤lnx+1恒成立，即—൅≤(lnx+1๘n쳌n．xx令F(x๘ㇸlnx+1.则F'(x๘ㇸ1—1ㇸx—1．xxx2x2函数F(x๘在(0,1๘上单调递减，在(1,+œ๘上单调递增．函数F(x๘ㇸlnx+1的最小值为F(1๘ㇸ1．x—൅≤1，即൅≤—1．൅的取值范围是[—1,+œ๘．证明：(2๘由(1๘，当൅ㇸ—1时，有xlnx≤x—1，即lnx≤x—1．x要证e(x—1๘ሻlnx，可证e(x—1๘ሻx—1，xㇸ1，即证eሻ1，xㇸ1．exexxexx构造函数G(x๘ㇸex—ex(x≤1๘.则．当xㇸ1时，0.G(x)'/>在[1,+œ๘上单调递增．G(x๘ㇸG(1๘ㇸ0在(1,+œ๘上成立，即exㇸex，证得eሻ1．exx当xC(1,+œ๘时，e(x—1๘ሻlnx成立．e构造函数H(x๘ㇸlnx—x2+x(x≤1๘．则H'(x๘ㇸ1—2x+1ㇸ—(2x2—x—1๘ㇸ—(2x+1๘(x—1๘．xxx当xㇸ1时，，H(x๘在[1,+œ๘上单调递减．H(x๘ሻH(1๘ㇸ0，即lnx—x2+xሻ0(xㇸ1๘．当xC(1,+œ๘时，lnxሻx2—x成立．综上，当xC(1,+œ๘时，有e(x—1๘ሻlnxሻx2—x．e