广东省湛江市湖光中学高三数学理科第三次月考试卷PAGE广广东省湛江市湖光中学高三数学理科第三次月考试卷命题人：周锋一、选择题：（每题5分，共40分）1、已知集合S=,则等于(a)(A)S(B)T(C)(D)Φ2、已知抛物线y=eq\f(3,4)x2,则它的焦点坐标是(d)(A)(0,EQ\F(3,16))(B)(EQ\F(3,16),0)(C)(EQ\F(1,3),0)(D)(0,EQ\F(1,3))3、如果复数的实部和虚部相等，则实数等于（b）－114、若，则的值是(c)A．B．C．－D．－5、函数y=-x+b与y=b-x...
PAGE广广东省湛江市湖光中学高三数学理科第三次月考试卷命题人：周锋一、选择题：（每题5分，共40分）1、已知集合S=,则等于(a)(A)S(B)T(C)(D)Φ2、已知抛物线y=eq\f(3,4)x2,则它的焦点坐标是(d)(A)(0,EQ\F(3,16))(B)(EQ\F(3,16),0)(C)(EQ\F(1,3),0)(D)(0,EQ\F(1,3))3、如果复数的实部和虚部相等，则实数等于（b）－114、若，则的值是(c)A．B．C．－D．－5、函数y=-x+b与y=b-x(b>0,且b≠1)的图像可能是(c)OxOxOxOx(A)(B)(C)(D)6、曲线在处的切线平行于直线y=4x-1，则坐标为（c）（A）（1，0） （B）（2，8）（C）（1，0）或（-1，-4） (D)（2，8）或（-1，-4）7、设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为(b)A、B、C、D、8、已知函数f（x）对任意x,y∈R,都有f（x＋y）=f（x）＋f（y）,且f（1）＝2，f（1）＋f（2）＋…＋f（n）(n∈N*)不能等于（d）（A）EQ\F(n(n+1),2)f(1)(B)f[EQ\F(n(n+1),2)]（C）n(n+1)(D)n(n+1)f(1)二、填空题：（每题5分，共30分）9、1210、已知且则111、已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子，从中任意取出2粒，若表示取得白子的个数，则的数学期望=。12、在数列中，＝2，，设为数列的前n项和，则的值为 3 13、在条件下，的取值范围是。14、两个腰长均为1的等腰直角△ABC1和△ABC2，C1ABC2是一个60的二面角，则点C1和C2之间的距离等于。(请写出所有可能的值)三、解答题：（共80分）15、（本小题满分14分）设，(Ⅰ)求函数的最大值及周期；(Ⅱ)若，求的值．解：（Ⅰ）=，的最大值为………………６分（Ⅱ）……９分=，…………………………１４分16、设a>0,函数f(x)=eq\f(1,2)(eq\f(ex,a)－eq\f(a,ex))(e是自然对数的底,e≈2.718)是奇函数.（Ⅰ）求a的值;（Ⅱ）求f(x)的反函数f-1(x).解：（Ⅰ）∵f(x)是奇函数,法2：∴f(x)=－f(－x),……2分即eq\f(1,2)(eq\f(ex,a)－eq\f(a,ex))=－eq\f(1,2)(eq\f(e－x,a)－eq\f(a,e－x)),……3分(a2－1)(ex＋e－x)=0,……4分∴a2－1=0,∵a>0,∴a=1.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=f(x)=eq\f(1,2)(ex－eq\f(1,ex)),……7分∴e2x－2yex－1=0,……8分……10分……11分∴f(x)的反函数为(x∈R).……12分17、（本小题满分15分）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C与底面ABC所成的角为，AB=BC=，∠ABC=，设E、F分别AB、A1C的中点（Ⅰ）求证：BC⊥A1E（Ⅱ）求证：EF∥平面BCC1B1（Ⅲ）求以EC为棱，B1EC与BEC为面的二面角的正切值解：（Ⅰ）由已知有BC⊥AB，BC⊥B1B，∴BC⊥平面ABB1A1，又A1E在平面ABB1A1内，所以有BC⊥A1E……4分（Ⅱ）取B1C之中点D，连FD，BD∵F、D分别是AC、B1C之中点，∴，∴四边形EFBD为平行四边形，∴，又BD……9分（Ⅲ）过B1作B1H⊥CE于H，连BH，又B1B⊥平面ABC，B1H⊥CE，∴BH⊥EC∴∠B1HB为二面角B1—EC—B的平面角，……11分在Rt△BCE中有,又A1C与底面ABC所成的角为，∠A1CA=，∴BB1=AA1=AC=2，所以tan∠B1HB=……15分18、（本题满分10分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚忽略不计）⑴污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；⑵如果受地形限制，污水处理池的长宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低解：设污水处理池的长为x米，则宽为米………………………1分总造价…………………2分=36000（元）………………………………………………………………4分当且仅当时，即x=15等号成立…………………….6分记g(x)=x+,显然是减函数，……………….8分有最小值，相应造价f(x)有最小值此时宽也不超过14.5…….10分19、（本题满分14分）设Sn是数列的前n项和，所有项,且，（Ⅰ）求数列的通项公式.（Ⅱ）的值.解（Ⅰ）n=1时，解出a1=3（2分）又4sn=an2+2an-1－3①4sn－1=+2an－3(n≥2)②①－②4an=an2－+2an－2an－1∴（）是以3为首项，2为公差之等差数列（4分）（Ⅱ）③又④④－③∴20、已知定点R的坐标为(0，－3)，点P在x轴上，⊥，线段PM与y轴交于点Q，且满足＝2(1)若点P在x轴上运动，求点M的轨迹E；(2)求轨迹E的倾斜角为的切线0的方程；(3)若(2)中切线0与y轴交于点G，过G的直线与轨迹E交于A、B两点，点D的坐标为(0，1)，当∠ADB为钝角时，求直线的斜率的取值范围。（１４分）解：(1)设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x1，0)，点Q的坐标为(0，y2)(x1≠0)，则＝(－x1，－3)，＝(x－x1，y)，＝(－x1，y2)∵⊥∴·＝0∴－x1(x－x1)－3y＝0即x12－x1x－3y＝0由＝2得＝∴x1＝－代入上式的y＝x2(x≠0)6分(2)设切点为(x0,y0)∵y1＝x∴切线0＝x0＝tan＝1∴x0＝2切点为(2，1)∴切线0的方程为x－y－1＝08分(3)∵0的切线方程为x－y－1＝0∴G(0,－1)设的斜率为k∴的方程为y＝kx－1由的x2－4k＋4＝0…………①设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1,x2是方程①的两根∴△＝16k2－16>0∴k2>110分∵∠ADB为钝角∴而||＝(x1；y1－1)，＝(x2,y2－1)∴x1·x2＋(y1－1)(y2－1)<0∴x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)<0∴x1x2＋k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4<0即k2－2>0∴k<－或k>14分
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