第十章多元函数的导数及其应用●§10.1多元函数的极限与连续●§10.2偏导数与全微分●§10.3多元复合函数与隐函数的偏导数★§10.4方向导数、梯度及泰勒
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●§10.5多元函数的极值与条件极值§10.4方向导数与梯度及泰勒公式10.4.1方向导数与梯度内容小结与作业10.4.2方向导数与梯度的性质及应用10.4.3黑塞矩阵与泰勒公式10.4.1方向导数与梯度1.方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.对于二元函数有在几何上，它们分别
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示平面曲线及在点处的切线的斜率.(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元函数在点定义若函数在点处沿方向u(方向角为存在下列极限:记作则称为函数在点P处沿方向u的方向导数.方向导数的几何意义表示曲线C在点处的切线的斜率.特别:•当u与x轴同向•当u与x轴反向那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，设函数在点处可微，定理10.4.1且有其中为向量u的方向余弦.因函数在点处可微，则证明2.方向导数的计算这就证明了方向导数存在，且一般地，当函数可微时，有且所以当自变量从点沿u方向移动时，三元函数在点沿方向u(方向角为)的方向导数定义为定理10.4.1的逆命
题
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不成立.f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可微.方向导数的性质例1.求函数在点沿方向的方向导数.解：又的方向余弦为故例2.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数故3.梯度向量的定义因为新向量G同样可定义二元函数在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.称为函数f(P)在点P处的梯度(gradient),向量记作gradf或f,即nabla例3.求函数在点处的梯度以及函数在该点处沿方向的方向导数.解：故又故如果采用向量的记号，我们容易给出一般n元函数的方向导数与梯度的定义.设f(x)是n元函数(通常我们只考虑二元函数和三元u是n元向量,u0是u对应的单位向量,函数的情况)，则f(x)在点x处沿u的方向导数和梯度分别定义为10.4.2方向导数与梯度的性质及应用1.函数的最速上升方向与最速下降方向定义10.4.1 设f(x)是上的连续函数，d是n维非零向量，如果存在，使得对于一切，恒有则称d为函数f在x0处的上升方向;恒有如果对于则称d为函数f在x0处的下降方向.定理10.4.2 设f(x)在点x0处可微,u是一个n维非零向量，如果个上升方向；的一个下降方向． 则u是f(x)在点x0处的一如果则u是f(x)在点x0处定理说明:方向导数的符号决定函数的升降. 结论1梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)沿梯度方向,方向导数达到最大值问题：函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？若函数在点处取最大值，则函数沿任何方向都不可能上升，于是由定理10.4.2知特别地另一方面因此即函数在最大值点处的梯度为零向量；同理可得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.结论2函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．设在处取最大（小）值，则即类似地，若三元函数在处取最大（小）值，则例4.设一座山的高度由函数给出,如果登山者在山坡的点处，此时登山者往何方向攀登时坡度最陡？解：坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即求使高度函数在点处的方向导数最大的方向.因为梯度与的夹角,所以最大即沿梯度方向函数上升最快.又因所以在点处沿向量方向攀登时坡度最陡.例5 求函数在点(2,1)处函数值下降最快的方向．定理10.4.3 设f(x)是上的连续函数，d是n维非零向量，如果则d是f(x)在点x0处的一个上升方向；如果则d是f(x)在点x0处的一个下降方向.d与f(x0)成锐角d与f(x0)成钝角解：所以函数在点处的最速下降方向为2.梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量设f(x)是n元可微函数,等值面对于n=2的情形:是函数f(x,y)过点(x0,y0)的等值线在该点处,它与等值线的切线垂直.在点(x0,y0)处的一个法线方向向量.等值线n=2结论:与等值面在点x0处的切平面垂直，所以是等值面S在点x0处的一个法线方向向量.对于n=3的情形:是函数f(x,y,z)的等值面在点(x0,y0,z0)处的一个法线方向向量.在该点处,它与等值线的切平面垂直.等值面10.4.3黑赛矩阵与泰勒公式1.黑赛矩阵设n元函数f(x)在点x处对于自变量的各分量的二阶连续，偏导数二阶导数或黑塞矩阵例6.解：计算函数的梯度与黑塞矩阵,并求以及因，则又则所以例7.解：设皆为n维行向量，b为常数，求n维线性函数在任意点x处的梯度和黑塞矩阵.设，于是因所以当时，二维线性函数写成向量形式是于是例8.解：设Q为n阶对称矩阵，皆为n维行向量，c为常数，求n维二次函数在任意点处的梯度和黑塞矩阵.设则于是又因所以写出二维二次函数的梯度和黑塞矩阵.2.泰勒公式若函数在点的某一邻域内具有一阶连续偏导数,且是这邻域内的一点,则有近似公式：如果要使这个函数有更高的精度,先须讨论二元函数的泰勒公式.一元函数的泰勒公式:记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示定理10.4.4的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.证:令则利用多元复合函数求导
法则
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可得:一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上例9.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,其中解：例10设f(x,y,z)有连续的偏导数,且f(0,0,0)=1,时,证明在球体内,当由泰勒公式其中介于0与x,0与y,0与z之间.故有1.方向导数的概念2.梯度向量的定义内容小结与作业3.方向导数与梯度向量的关系4．黑赛矩阵5.泰勒公式作业P156-1581,3,4,5,7,8,9,11,15其中备用题函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研)
浙公网安备 33021202002483