PAGE辽宁省辽河油田第二高级中学2020学年高二
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上学期期中试题理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.有以下四个命题：=1\*GB3①若，则.=2\*GB3②若有意义,则.=3\*GB3③若,则.=4\*GB3④若,则.则是真命题的序号为()A．=1\*GB3①=2\*GB3②B．=1\*GB3①=3\*GB3③C．=2\*GB3②=3\*GB3③D．=3\*GB3③=4\*GB3④2.“”是“”是的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.抛物线：的焦点坐标是（）A.B.C.D.4.已知i是虚数单位，则复数的虚部是（ ）A.-1B.1C.-iD.i5.若方程C：（是常数）则下列结论正确的是（）A．，方程C表示椭圆B．，方程C表示双曲线C．，方程C表示椭圆D．，方程C表示抛物线6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，=（ ）A.B.C.D.7.函数（的最大值是（）A．1B．-1C．0D．8．过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（）A.4条 B.3条 C.2条D.1条9．由曲线与的边界所围成区域的面积为（）A.B.C.D.110.下列条件中使与、、一定共面的是()A．B．C．D．11．已知函数，则、、的大小关系（）A．>>B．>>C．>>D．>>12..函数，若的导函数在R上是增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为_____．14.是过抛物线焦点的弦，且,则中点的横坐标是_____.15．若直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值等于_________。16．已知函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知椭圆C:上一点到它的两个焦点（左）,（右）的距离的和是6，（1）求椭圆C的离心率的值.（2）若轴，且在轴上的射影为点，求点的坐标.18.（12分）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.19.（12分）设命题是的必要而不充分条件；设命题实数满足方程表示双曲线.(1)若“”为真命题，求实数的取值范围；(2)若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.20.（12分）如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B－PC－D的余弦值．21．（12分）已知函数（1）若函数在处取得极值，求a的值.（2）讨论函数的单调性；22．（12分）中心在原点的双曲线C的右焦点为，渐近线方程为．（I）求双曲线C的方程；（II）直线l：y=kx-1与双曲线C交于P，Q两点，试探究，是否存在以线段PQ为直径的圆过原点．若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．高二上学期期中考试数学（理）试题答案选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)ABCBBDACBCCD二、填空题（每题5分，满分20分）13.1．14.4．15.．16.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）（1）---------2分---------5分（2）-------10分18.（12分）解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 --------6分（Ⅱ）解得 当当故的增区间是和，减区间是. --------12分19.（12分）解：由，得命题真时，则，得∴命题假时，，命题真时，得，解得或，命题假时，--------4分（1）若“”为真命题，则真真，所以，所以或即实数的取值范围为：--------8分（2）∵为假，为真，∴一真一假.当真假时，则，所以；当假真时，则，所以.综上可知，实数的取值范围为：.--------12分20.（12分）解：（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)，，，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)．因为·＝0，·＝0，所以⊥，⊥．所以AE⊥BC，AE⊥BP．因为平面PBC，平面PBC，且BC∩BP＝B，所以AE⊥平面PBC．--------6分（2）设平面PCD的法向量为，则，因为＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)，所以－x＋2y＝0，3y－z＝0．令x＝2，则y＝1，z＝3．所以是平面PCD的一个法向量．因为AE⊥平面PBC，所以是平面PBC的法向量．所以由此可知与的夹角的余弦值为．根据图形可知，二面角B－PC－D的余弦值为．--------12分21.（12分）解：（1）由得或（舍去）经检验，时，函数在处取得极值--------6分（2）的定义域为令得当时，①当时，在定义域上单调递增；②当时，在上单调递减，在上单调递增；③当时，在和上单调递增，在上单调递减．--------12分22.（12分）解：（Ⅰ）设双曲线的方程为-=1，（a＞0，b＞0），则有c=，=，c2=a2+b2，得a=，b=1，所以双曲线方程为2x2-y2=1．--------6分（Ⅱ）由得（2-k2）x2+2kx-2=0，依题意有解得-2＜k＜2且k≠，①且x1+x2=，x1x2=，设P（x1，y1），Q（x2，y2），依题意有OP⊥OQ，所以•=x1x2+y1y2=0，又y1y2=（kx1-1）（kx2-1）=k2x1x2-k（x1+x2）+1，所以-+1=0，化简得k=0，符合①，所以存在这样的圆．--------12分
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