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圆锥曲线焦点三角形推导

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圆锥曲线焦点三角形推导椭圆焦点三角形1.椭圆焦点三角形定义及面积公式推导(1)定义:如图1,椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形称之为椭圆焦点三角形.(2)面积公式推导解:在中,设,,,由余弦定理得∴即,∴=.例1.焦点为的椭圆上有一点M,若,求的面积.解:∵,∴,∴.例2.在椭圆的中,是它的两个焦点,B是短轴的一个端点,M是椭圆上异于顶点的点,求证:.证明:如图2,设M的纵坐标为,∵,∴,即,又都是锐角,故从而有.2.双曲线焦点三角形定义及面积公式推导.(1)定义:如图3,双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点...

圆锥曲线焦点三角形推导
椭圆焦点三角形1.椭圆焦点三角形定义及面积公式推导(1)定义:如图1,椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形称之为椭圆焦点三角形.(2)面积公式推导解:在中,设,,,由余弦定理得∴即,∴=.例1.焦点为的椭圆上有一点M,若,求的面积.解:∵,∴,∴.例2.在椭圆的中,是它的两个焦点,B是短轴的一个端点,M是椭圆上异于顶点的点,求证:.证明:如图2,设M的纵坐标为,∵,∴,即,又都是锐角,故从而有.2.双曲线焦点三角形定义及面积公式推导.(1)定义:如图3,双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形.(2)面积公式推导:解:在中,设,,,由余弦定理得∴即,∴=.例3、已知双曲线,设是双曲线得两个焦点.点P在双曲线上,,求的大小.解:双曲线的标准方程为,∴,从而有=,∴,∴.例4:椭圆与双曲线的公共焦点为,P是两曲线的一个交点,求的值.解:在椭圆和双曲线中异算面积∵,∴,∴.开拓:从上例我们不难发现,若椭圆和双曲线有公共的焦点和公共点P,那么的面积,又,从而,即.
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