《1.7.1定积分在几何中的应用》导学案(新部编)5

精品教学教案设计|Excellentteachingplan教师学科教案[20–20学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________市实验学校育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplan《1.7.1定积分在几何中的应用》导学案5【课标要求】1．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解．【核心扫描】由多条曲线围成的分割型图形的面积的求解是考查的重点.自学导引曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示函数的关系(1)如图1，阴影部分的面积为S＝－∫a0g(x)dx＋∫a0f(x)dx＝∫a0[f(x)－g(x)]dx.(2)如图2，阴影部分的面积为S＝∫b0(fx－gx)dx＋∫abfx－cxdx所以，曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差的定积分．育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplan想一想：当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？提示如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x)，所以S＝∫ba(0－f(x))dx＝－∫baf(x)dx.名师点睛利用定积分求曲边图形面积的步骤一般来说，利用定积分求曲边图形面积的基本步骤如下：第一步：画出图形；第二步：确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，确定积分上、下限；第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；第四步，写出平面图形面积的积分表达式；第五步，运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．注意：由于定积分是一种和式的极限，它可以为正，也可以为0，还可以为负．但平面图形的面积一般来说总是为正的．因此，当定积分为负值时，一定要通过取绝对值处理为正.题型一不分割型图形面积的求解【例1】求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．[思路探索]求抛物线与直线的交点―→在坐标系中作图―→利用定积分∫bafx－gxdx求面积育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplany＝x2－4，解由得y＝－x＋2，x＝－3，x＝2，2－4的交点为(－3,5)或所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x和y＝5y＝0，(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝∫2－3[(－x＋2)－(x2－4)]dx＝∫2－3(－x2－x＋6)dx11232＝－3x－2x＋6x－32227125.＝3－－2＝6不分割型图形面积的求解步骤：准确求出曲线的交点横坐标；在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；计算得所求面积．【变式1】求由曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成的图形的面积．育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplany＝2x－x2，解由y＝2x2－4x，得x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为S＝∫20[(2x－x2)－(2x2－4x)]dx＝∫20(－3x2＋6x)dx2(－x3＋3x2)0＝4题型二分割型图形面积的求解1【例2】求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－3x所围成图形的面积．[思路探索]可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplan解法一画出草图，如图所示．y＝x，y＝x，x＋y＝2，解方程组1及1得交点分别为(1,1)，x＋y＝2，y＝－3x，y＝－x，3(0,0)，(3，－1)．所以S＝∫1011x－－xx＋∫312－x－－xx3d3d1132＝∫0x＋3xdx＋∫12－3xdx2311132＋2＝x＋x2x－x32603151113＝＋6－×9－2＋＝.6336法二若选积分变量为y，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝∫0－1[(2－y)－(－3y)]dy＋∫10[(2－y)－y2]dy＝∫0－1(2＋2y)dy＋∫10(2－y－y2)dy2(2y＋y)011123＋2y－y－y－12301113＝－(－2＋1)＋2－2－3＝6.由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplan间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．【变式2】计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形的面积S.解作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组y2＝x，y＝x3，得交点横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为231111134S＝∫0xdx－∫0xdx＝3x20－4x0215＝－＝.3412题型三定积分的综合应用【例3】设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.求y＝f(x)的表达式；求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．审题指导育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplan[ 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 解答](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.(1分)又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.f(x)＝x2＋2x＋c.(3分)又方程f(x)＝0有两个相等实根，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，所以＝4－4c＝0，即c＝1.(5分)故f(x)＝x2＋2x＋1.(6分)画函数y＝f(x)的图象如图．由图象知所求面积为S＝∫0－1(x2＋2x＋1)dx育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplan1032＝3x＋x＋x－113.(12分)【题后反思】由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．【变式3】在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为1，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．12解设切点A(x0，x20)，切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0.2∴切线方程为y－x0＝2x0(x－x0)．x0令y＝0，得x＝2，x02x＋∫xx02213∴S＝∫0x0[x－(2x0x－x0)]x＝x0.2d2d12112x0＝12，x0＝1.1∴切点为(1,1)，切线方程为y＝2x－1.方法技巧化归与转化在求定积分中的应用在应用定积分时，定积分的计算是其中的重点也是难点．为计算定积分，要细心观察，有时某个定积分整体表示某些易求面积的图形的面积，求定积分的值就可转化为求图形的面积．当有些被积函数的原函数不易求得时，可考虑换元，转换为易求原函数的被积函数，这时积分变量也要改变．【示例】x2y2求椭圆＋＝1围成的面积．2516[思路分析]本题首先要解决的是被积函数，就要求出y关于x的函数，但是由椭圆的方程求y关于x的函数的计算过程中，会遇到开平方，就有正负平方根两种情况，为解决此问题，我们注意到椭圆的对称性，其围成图形的面积是它在第一象限与坐标轴围成的图形的面积的4倍，从而只需求出它在第一象限与坐标轴围成图形的面积，这样在第一象限内只需算术平方根即可．积分的下限就是0，上限就是椭圆右顶点的横坐标5.解法一x2y21设椭圆25＋16＝1围成的面积为S，椭圆在第一象限内围成图形的面积为S，则由对称性得1S＝4S，x2y2在第一象限内椭圆＋＝1的方程可化为2516育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplan42y＝525－x，椭圆在第一象限内围成的面积为542452S1＝∫0525－xdx＝5∫025－xdx，而∫5025－x2dx表示以5为半径的1圆的面积，4521225从而∫025－xdx＝4π×5＝4π，425所以S1＝5×4π＝5π，从而，S＝20π.法二x2y2S，椭圆在第一象限内围成图形的面积为S，则设椭圆25＋16＝1围成的面积为1由对称性得S＝4S，1cost，则当x＝0π令x＝5时，t＝2；当x＝5时，t＝0x2y2在第一象限内椭圆25＋16＝1的方程可化为42sinty＝525－x＝45425－x2dx＝∫0πd(5cost)S1＝∫04sint520π20πcos2t－1＝∫2(－20sint)dt＝∫220×2dt＝∫0π10(cos2t－1)t2d0＝10sin2tπ＝5π.2－t2从而S＝20π.方法点评观察是解决问题的第一要素，在法一中观察到52dx1∫025－x表示以5为半径的4圆的面积，使定积分值很快地求出；与方法一不同，542法二考虑到椭圆的参数方程，利用三角代换求出了定积分∫0525－xdx的值．两种方法实际上都体现了化归与转化的思想，在解题的过程中要注意数学知识之间的相互联系，才能在育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰精品教学教案设计|Excellentteachingplan适当的时候用化归转化的思想来解决问题和简化问题.育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰