1．主要概念(1)圆：平面上到_______的距离等于______的所有点组成的图形叫做圆．_______叫圆心，_______叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫____，连接圆上任意两点的线段叫____，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的____．(3)圆心角：顶点在_________，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在_______，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在_______________中，能够完全_________的弧．定点定长定点定长弧弦弦圆心圆上同圆或等圆重合2．圆的有关性质(1)圆的对称性：①圆是___________图形，其对称轴是_________________________．②圆是_______________图形，对称中心是__________．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．(2)垂径
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
及推论：垂径定理：垂直于弦的直径_________，并且______________________．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径____________，并且_______________________．(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_______，所对的弦_______．②推论：在同圆或等圆中，如果两个_________、__________、________、__________________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．轴对称过圆心的任意一条直线中心对称圆心平分弦平分弦所对的两条弧垂直于弦平分弦所对的两条弧相等相等圆心角两条弧两条弦两条弦心距(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的_________．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧_________．②半圆(或直径)所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上⇔_______；②点P在圆内⇔_______；③点P在圆外⇔_______．一半相等直角直径d＝rd
r(6)过三点的圆：①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边__________________的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．(7)圆的内接四边形：圆内接四边形的对角__________．垂直平分线互补1．常见的辅助线(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；(2)有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行
证明
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或计算；(3)有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心)角．1．(2015·阜新)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB＝100°，那么∠ACB的度数是( )A．30°B．40°C．50°D．60°CD3．(2014·辽阳)如图，点B，D，C是⊙A上的点，∠BDC＝130°，则∠BAC＝________．100°4．(2015·辽阳)如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO＝AB，则∠ACB＝_______°.1505.(2014·朝阳)如图，是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为_________m.2006．(2013·沈阳)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是________.7．(2013·辽阳)已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC＝110°，则∠A的度数是___________________．8．(2014·盘锦)如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点E在⊙O上，OE∥AC，连接AE，若∠AEO＝20°，则∠B的度数是_________．55°或125°50°9．(2014·盘锦)已知AB是⊙O直径，半径OC⊥AB，点D在⊙O上，且点D与点C在直径AB的两侧，连接CD，BD，若∠OCD＝22°，则∠ABD的度数是________________．23°或67°垂径定理及其推论B【点评】 本题考查的是垂径定理及推论，根据垂径定理可得出正确结论．[对应训练]1．(2014·哈尔滨)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．圆心角、弧、弦之间的关系【例2】 (锦州模拟)直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆周角是__________________．【点评】 在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论．本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补．30°或150°[对应训练]2．(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°，∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78° (2)证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE，而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD，∵∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2 圆周角定理及其推论【例3】 (2015·酒泉)△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【点评】 当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来．D△ABC是等边三角形点与圆的位置关系【例4】 (大连模拟)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，P点在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内【点评】 本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断．C[对应训练]4．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外A23.外心位置要弄清剖析 上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又错了，因为BC＞AB＞AC，BC是不等边△ABC的最大边，所以∠A＝60°不正确，产生错误的根源是图画得不准确，忽视了圆心的位置，实际上本题的圆心应在△ABC的外部．
浙公网安备 33021202002483