宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学四模考试试题 文（含解析）

PAGE宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学四模考试试题文（含解析）一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.的值为（）A.B.C.D.【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】D【解析】根据三角函数的诱导公式，，故选D.2.已知集合，，则下列关系中正确的是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据真子集的定义可判断出结果.【详解】，，且本题正确选项：【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.3.已知是纯虚数，复数是实数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．【详解】∵是实数，∴设a，a是实数，则z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai，∴z＝2a﹣1﹣ai，∵z为纯虚数，∴2a﹣1＝0且﹣a≠0，即a，∴z＝2a﹣1﹣ai，故选：D．【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的有关概念，利用待定系数法是解决本题的关键．4.已知等差数列的公差和首项都不为，且、、成等比数列，则（）A.7B.5C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根据三项成等比数列可构造出关于和的方程，解方程得到；根据等差数列通项公式，利用和 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出所求式子，化简可得结果.【详解】设等差数列公差为、、成等比数列即，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列通项公式应用、等比中项的应用，属于基础题.5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（　）A.1：3B.1：4C.1：5D.1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：；下部为：，截去部分与剩余部分体积的比为：．故选：A．【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.6.已知数列中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：该数列的第2020项，即，是，，，否，∴判断框内的条件是．考点：算法与程序框图．7.中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.8.若圆与圆公共弦长为，则圆的半径为（　　）A.B.或C.D.【答案】A【解析】【分析】两圆方程作差可得公共弦所在直线，利用直线被圆截得弦长公式可构造关于半径的方程，解方程求得结果.【详解】两圆方程作差可得：公共弦所在直线方程为：则圆的圆心到公共弦所在直线距离：，解得：，即本题正确选项：【点睛】本题考查两圆公共弦长的应用问题，关键是能够通过两圆方程作差求得公共弦所在直线.9.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．【详解】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，则直线ax-y=0的斜率a∈[kOB，kOA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴．∴a，故选：B．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．10.已知曲线向左平移个单位，得到曲线经过点，则（　　）A.函数的最小正周期B.函数在上单调递增C.曲线关于点对称D.曲线关于直线对称【答案】C【解析】【分析】根据左右平移和可求得解析式；根据余弦型函数的最小正周期、单调性和对称轴、对称中心的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】由题意知：则，最小正周期，可知错误；当时，，此时单调递减，可知错误；当时，且，所以为的对称中心，可知正确；当时，且，所以为的对称中心，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查图象平移变换、余弦型函数的周期性、单调性、对称性的相关问题.判断余弦型函数的单调性和对称性的关键是能够通过整体对应的方式，结合余弦函数的图象来进行判断.11.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．【详解】抛物线的准线方程为，联立双曲线，解得，由题意得，所以，所以，故选:D【点睛】本题考查双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形．12.函数对于任意实数，都与成立，并且当时，.则方程的根的个数是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程的根的个数.【详解】对任意实数x都有f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x），由于f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x）∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为．方程的根的个数即函数图象与直线的交点个数，当时，，当时，函数图象与直线无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个故选：A点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．二．填空题.13.函数的图象在处的切线斜率为_____．【答案】1【解析】【分析】根据导数几何意义，求导后代入即可得到结果.【详解】由得：，即所求切线斜率为本题正确结果：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14.设向量的模分别为1,2，它们的夹角为，则向量与的夹角为_____．【答案】【解析】【分析】分别求解出和，利用向量夹角的计算公式求解得到夹角余弦值，从而得到所求夹角.【详解】又向量与的夹角为：本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过向量数量积运算求得公式各个构成部分的值，代入公式求得结果.15.若函数是奇函数，则=_______．【答案】【解析】【分析】利用解析式求出，根据奇函数定义可求得结果.【详解】由题意知：为奇函数本题正确结果：【点睛】本题考查函数值的求解问题，关键是能够灵活运用奇偶性的定义来进行转化.16.以下四个命题：①设，则是的充要条件；②已知命题、、满足“或”真，“或”也真，则“或”假；③若，则使得恒成立的的取值范围为{或}；④将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为.其中真命题的序号为________.【答案】①③④【解析】【分析】①中，根据对数函数的运算性质，即可判定；②中，根据复合命题的真假判定方法，即可判定；③中，令，转化为在恒成立，即可求解；④中，根据几何体的结构特征和椎体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，①中，当，根据对数函数的运算性质，可得，反证，当时，可得，所以“”是“”成立的充要条件，所以是正确的；②中，若命题““或”真”，可得命题中至少有一个是真命题，当为真命题，则假命题，此时若“或”真，则命题为真命题，所以“或”真命题，所以不正确；③中，令，则不等式恒成立转化为在恒成立，则满足，即，解得或，所以是正确的；④中，如图所示，O为AC的中点，连接DO，BO，则都是等腰直角三角形，，其中也是等腰直角三角形，平面，为三棱锥的高，且，所以三棱锥体积为，所以是正确的，综上可知真命题的序号为①③④【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到充要条件的判定、复合命题的应用，不等式的恒成立问题的求解，以及折叠问题求几何体的体积等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知，．（1）求的最大值、最小值；（2）为的内角平分线，已知，，，求．【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，单调函数在在上单增，上单减，即可求解函数的最值；（2）在和，由正弦定理得，再分别在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小．详解：(1)在上单增，上单减，；（2）中，中，，∵，，，，中，，中，，，∴．点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.十八大以来，我国新能源产业迅速发展.以下是近几年某新能源产品的年销售量数据：年份20202020202020202020年份代码12345新能源产品年销售（万个）1.66.217.733.155.6（1）请画出上表中年份代码与年销量的数据对应的散点图，并根据散点图判断：与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测2020年某新能源产品的销售量（精确到0.01）.参考公式：，参考数据：【答案】（1）见解析（2）79.59万个【解析】【分析】（1）以年份代码为轴,以年销量为轴,作散点图，根据散点图，更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程；（2）利用最小二乘法求出关于的回归方程为,再利用回归方程预测2020年某新能源产品的销售量.【详解】（1）以年份代码为轴,以年销量为轴,作散点图，根据散点图，更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程；（2）依题意，所以关于的回归方程为令，，故预测2020年新能源产品的销售量为79.59万个.【点睛】本题主要考查散点图，考查利用最小二乘法求回归方程，考查利用回归方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图，长方体中，，，点，，分别为，，的中点，过点的平面与平面平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形.（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）；（2）在图2中，求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）为的中点，连接，、、，从而可知四边形为所求几何图形；根据可知所求图形为梯形，利用勾股定理可求出梯形的高，根据梯形面积公式可求得结果；（2）连接，交于，连接；根据线面垂直判定定理可得平面，得到；再利用可证得，根据线面垂直判定定理可证得结论.【详解】（1）设为的中点，连结，、、，如下图所示：则四边形为所求几何图形；四边形为梯形，且过作于点，梯形的面积（2）连接，交于，连接则为的中点，且为的四等分点由平面可知：又，平面由得，即：，又平面【点睛】本题考查几何体的截面问题、线面垂直关系的证明，考查学生的空间想象能力，要求学生对于平面间的关系和线面关系有较好的掌握，属于常规题型.20.已知椭圆的离心率为，，分别是它的左、右焦点，.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上顶点作斜率为，的两条直线，，两直线分别与椭圆交于，两点，当时，直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意，，结合的关系即可求解。（2）设直线,，，联立方程可得，又，结合韦达定理可得，化简计算即可求解。【详解】（1）因为，所以，又，所以，椭圆的方程为；（2）因为，所以直线斜率存在设直线,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得，所以直线定点【点睛】本题考查椭圆 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程的求法，直线恒过定点问题，意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平，属中档题。21.已知函数.（1）讨论单调性；（2）若函数在上有零点，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先求导，对a分类讨论，利用导函数的正负可得f（x）的单调性.（2）将已知进行转化，得到在上有解，分离参数a，构造函数，求导求得值域，可得a的范围.【详解】（1）因为，所以.①当时，因为，所以在上单调递增；②当时，令，解得或.令，解得，则在，上单调递增；在上单调递减.（2）因为，所以，在上有零点，等价于关于的方程在上有解，即在上有解.因为，所以.令，则令，，解得；令，，解得，则上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，则，，故的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.选修4-4：坐标系与参数方程直线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）。（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，写出的极坐标方程；（2）射线与交的交点分别为，射线与和的交点分别为，求四边形的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍得，先消元得圆的方程，再化为极坐标方程；（2）将四边形面积转化为两个三角形面积之差，再根据极径的意义求三角形面积即可.试题解析：(1)所以极坐标方程为：(2)将代入直线的极坐标方程得到，由与得23.选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为，其中(1)求的值；(2)若正数满足，求证：【答案】(1)；(2)见解析【解析】【分析】（1）分别在和两种情况下求解不等式，根据可得不等式的解集为，对应已知的解集可得结果；（2）利用基本不等式构造出，整理可求得结果.【详解】(1)由得：或,化简得：或由于，所以不等式组的解集为，解得：(2)由(1)可知：，又为正数由基本不等式有：，，三式相加可得：（当且仅当时取等号）整理可得：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用基本不等式证明不等式的问题.证明问题的关键是能够将所证不等式通过变形，构造出符合基本不等式的形式.