PAGE“点差法”在解析几何
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.解设弦的两个端点分别为，的中点为.则，（1），（2）得：，.又，.弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.例2直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是.解设，中点，则.，过定点，.又，（1），（2）得：，.于是，即.弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）.求曲线方程例3已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.解由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，解得，.设，则.又，（1），（2）得：，.所在直线方程为，即.例4已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.解设，则，且，（1），（2）得：，，，，（3）又，，（4）而，（5）由（3），（4），（5）可得，所求椭圆方程为.求直线的斜率例5已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.（1）证略.（2）解，设线段的中点为.又在椭圆上，，（1），（2）得：，.直线的斜率，直线的方程为.令，得，即，直线的斜率.确定参数的范围例6若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.解当时，显然满足.当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）得：，，又，.中点在直线上，，于是.中点在抛物线区域内，即，解得.综上可知，所求实数的取值范围是.证明定值问题例7已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.证明设且，则，（1），（2）得：，，.又，，（定值）.处理存在性问题例8已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，，又，（1），（2）得：，的斜率又直线过三点，的方程为，即.但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.例9．过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1和P2，且A为线段P1P2的中点，求直线L的方程。常规思路分析：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，代入双曲线，消去y得到关于x的一元二次方程。然后用韦达定理，利用A为线段P1P2的中点这一条件，解得k，从而得到直线L的方程。优解：设弦的两端点的坐标为P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，代入双曲线得，，所以。由中点A（2，1），所以x1+x2=4,y1+y2=2，因此KP1P2=，即所求直线L的方程为y=4x-7。经检验，符合条件。小结：以上解法称为“点差法”，它是一种“设而不求”的优美解法，常用之来简捷地处理有关圆锥曲线中的弦中点问题。
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