PAGE内蒙古自治区赤峰市赤峰二中2020学年高二数学上学期11月月考
试题
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理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.若，则是的（）A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件【答案】D【解析】试题
分析
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：解分式不等式，可得x＞1或x＜0，因为集合{x|x＞1}是集合{x|x＞1或x＜0}的真子集，故“”是“x＞1或x＜0”的充分不必要条件，故选D.考点：逻辑命题2.抛物线的焦点坐标是()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,)【答案】D【解析】【分析】首先把抛物线改写为
标准
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方程，再根据定义求焦点坐标．【详解】抛物线可化为，所以抛物线的焦点为(0,)，答案选D．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．3.若函数有极值点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】函数有极值点，说明导数有两个零点，先求导，再由求解即可【详解】由，因为函数有极值点，所以导数有两个实数根，对应的一定成立，即，解得故选：A【点睛】本题考查函数存在极值点的条件，属于基础题4.已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，根据抛物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和，故选A.考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的焦点坐标和准线方程，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离四解答的关键.【此处有视频，请去附件查看】5.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．考点：利用导数研究函数的单调性.【此处有视频，请去附件查看】6.已知点是双曲线（，）的右支上一点，是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用（是坐标原点）是等边三角形求出坐标，代入双曲线方程，可得关系，然后求解离心率即可.【详解】因为（是坐标原点）是等边三角形，所以由三角函数定义得点A(ccos,csin),即A(c,c)，代入双曲线方程，可得 b2c2−3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1，故选D.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，从而可解决问题，其中，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.定义域为的函数满足，且的导函数，则满足的的集合为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用2f(x)
0．得出g(x)的单调性结合g(1)＝0即可解出．【详解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因为f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)为单调增函数．因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)
公式
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推导出弦中点坐标，可设，采用点差法，求出直线斜率，采用点斜式即可求出直线方程【详解】由题可知，，，设，由重心坐标得，所以弦的中点坐标为，即，又在椭圆上，故，作差得将中点坐标代入得，所以直线的方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题16.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】，令函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根，，当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去，当时，令，解得，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当近于与近于时，，要使在区间有两个实数根，则，解得实数取值范围是，故答案为.三、简答题17.已知函数(1)求的单调区间；(2)求在上的最大值和最小值．【答案】（1）增区间,减区间（2）,【解析】【分析】（1）先求导，令导数为0，再根据导数正负与原函数关系判断即可；（2）由（1）可判断函数在的增减性，再根据极值点和函数端点判断最值即可【详解】（1）由题，求导可得，令导数为0，解得或当和时，，增区间为,当时，，减区间为（2）由（1）知在为减函数，在上为增函数当时，当时，；当时，，【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数求解函数的最值，属于中档题18.如图，在四面体中，分别是的中点，（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证平面，即证平面两条交线，连接，利用边长关系和勾股定理求证，即可；（2）以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据线面角的正弦公式的向量求法求解即可【详解】（1）证明：连接又在中，由已知可得而，即平面（2）以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系．，，，，设为平面的法向量不妨设设和平面所成的角为【点睛】本题考查线线垂直的证明，线面角的正弦值的向量求法，属于中档题19.已知抛物线上一点到焦点的距离为（1）求的值.（2）过焦点作直线交抛物线于两点，交轴于点，且,证明:为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线第一定义即可求解，再将点横坐标代入即可求解；（2）设直线的方程，先求出点坐标，联立直线和抛物线方程求得关于的一元二次方程，结合韦达定理表示出根与系数的关系，再根据代换出的表达式，结合韦达定理即可求解【详解】（1）由抛物线第一定义得，再将点横坐标代入抛物线方程解得（2）依题意直线斜率存在且不为零，设直线的方程，则代入抛物线得【点睛】本题考查抛物线的几何性质，用解析法求证直线过焦点的定值问题，运算能力，属于中档题20.如图，在直三棱柱中,，是中点.（1）求证：平面（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证平面，即证平面内的直线，连接交于点，连接，求证即可；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面对应的法向量，再结合二面角的余弦公式求解即可【详解】（1）连接交于点，连接，如图所示，由于四边形为正方形，所以为中点，又为中点，所以，又平面,平面，以平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则有所以令则，所以是平面的一个法向量，又平面,则是平面的一个法向量，，又所求角为锐二面角的余弦值所以所求余弦值为【点睛】本题考查线面平行的判定定理的使用，二面角的向量法的使用，属于中档题21.已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为，直线与直线（为坐标原点）垂直，且与交于两点．（1）求的方程；（2）求的面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由题意可得，即可得方程；（2）联立，，又在第一象限，得，可设的方程为，联立得，设，分别计算和到直线的距离为得的面积进而得解.试题解析：（1）由题意可得，∴，故的方程为.（2）联立，得，∴，又第一象限，∴.故可设的方程为.联立，得，设，则，，∴，又到直线的距离为，则的面积，∴，当且仅当，即，满足，故的面积的最大值为.点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．22.已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，且,当恒成立时，求的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）【解析】【分析】（1）先求函数的导数，得，再令，讨论二次函数的判别式与零点的问题即可求解；（2）由（1）可得，是方程的两个根，根据根与系数关系可代换得，再根据采用分离常数法得，令结合导数讨论的增减性求出对应的最小值，即可求出的取值范围【详解】令（1）当时，即时，，恒增（2）当时，即时，令令或令综上：当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在为减函数（2）由（1）得，是方程的两个根令，，又所以，减函数，所以【点睛】本题考查利用导数研究含参函数增减性，分离参数法、构造函数法的使用，导数求解函数最值，运算能力，属于难题
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