PAGE1.2绝对值不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1.定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了.如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立.联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：（1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.（2）|a1+a2+a3+…+an|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|(n∈N*).2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|.绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示).记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了.3.定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有.学法一得要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了.二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a>0，则有：|x|
ax<-a或x>a，因此，不等式|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞).1.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|a的不等式的解法即可.2.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）分区间讨论法；（3）构造函数利用函数的图象求解.求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的形式对号入座采取相应的方法来求解.典题·热题知识点一：与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1若|x-a|
分析
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：注意观察比较|x-y|与|x-a|，|y-a|之间的关系，不难发现通过适当变形就可运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为：|x-y|=|x-a-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|0,n>0)，求证：|ac+bd|≤.思路分析：证明此题时，可将ac、bd分别看成整体，那么就可以套用定理1来证明了.证明：∵a、b、c、d∈R,∴|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤=,∴|ac+bd|≤.误区警示如果利用ab≤来证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利用较严格的公式|ab|≤来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用.知识点二：绝对值不等式的解法例3解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R).思路分析：要注意对2m-1的正负情况进行讨论.解：若2m-1≤0，即m≤，则|2x-1|<2m-1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m-1>0，即m>，则-(2m-1)<2x-1<2m-1，所以1-m时，原不等式的解集为：{x|1-m2时，不等式变为x+7-x+2≤3，即9≤3不成立，∴x∈.∴原不等式的解集为(-∞,-1］.［方法三］将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0，构造函数y=|x+7|-|x-2|-3，即y=.作出函数的图象（如图2），从图可知，当x≤-1时，有y≤0，即|x+7|-|x-2|-3≤0，所以，原不等式的解集为(-∞,-1］.巧妙变式针对此题，我们可以进行各种不同的题目变式.如：可以将两个绝对值里面的运算符号改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“≤”改变为“≥”，还可以将不等号右边的数改成字母等等.变式后题目的求解还是用上述的几种解法.问题·探究误区陷阱探究问题1对此题“写出不等式|2x-1|<3的解集并化简”，某同学的错解如下：不等式|2x-1|<3的解集是{x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∪{x|2x-1>-3}={x|x<2}∪{x|x>-1}={x|-1-3}的中间不应当用并的符号“∪”，而应改为“∩”.这两个集合是应该取交集的.另外，按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了.{x|x<2}∪{x|x>-1}的结果应为{x|-∞-3}={x|x<2}∩{x|x>-1}={x|-10时g(x)=ax+b在［-1,1］上是增函数，∴g(-1)≤g(x)≤g(1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2，g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，∴|g(x)|≤2.当a<0时，g(x)=ax+b在［-1,1］上是减函数，∴g(1)≤g(x)≤g(-1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2，g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，∴|g(x)|≤2.当a=0时，g(x)=b，f(x)=bx+c，∵-1≤x≤1，∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上所述,当x∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.［方法二］∵x=，∴g(x)=ax+b=a［()2-()2］+b(-)=a［()2+b()+c］-［a()2+b()+c］=f()-f().当-1≤x≤1时，有0≤≤1，-1≤≤0，∴|g(x)|=|f()-f()|≤|f()|+|f()|≤2，∴|g(x)|≤2.
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