PAGE对数函数的运用教学目标:使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法,掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法,培养学生的数学应用意识;认识事物之间的内在联系及相互转化,用联系的观点
分析
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问题、解决问题.教学重点:复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.教学难点:复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.教学过程:[例1]设logaeq\f(2,3)<1,则实数a的取值范围是A.0<a<eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)<a<1C.0<a<eq\f(2,3)或a>1D.a>eq\f(2,3)解:由logaeq\f(2,3)<1=logaa得(1)当0<a<1时,由y=logax是减函数,得:0<a<eq\f(2,3)(2)当a>1时,由y=logax是增函数,得:a>eq\f(2,3),∴a>1综合(1)(2)得:0<a<eq\f(2,3)或a>1答案:C[例2]三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是A.0.76<log0.76<60.7B.0.76<60.7<log0.76C.log0.76<60.7<0.76D.log0.76<0.76<60.7解:由于60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0答案:D[例3]设0<x<1,a>0且a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小解法一:作差法|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|eq\f(lg(1-x),lga)|-|eq\f(lg(1+x),lga)|=eq\f(1,|lga|)(|lg(1-x)|-|lg(1+x)|)∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x∴上式=-eq\f(1,|lga|)[(lg(1-x)+lg(1+x)]=-eq\f(1,|lga|)·lg(1-x2)由0<x<1,得lg(1-x2)<0,∴-eq\f(1,|lga|)·lg(1-x2)>0,∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|解法二:作商法eq\f(lg(1+x),lg(1-x))=|log(1-x)(1+x)|∵0<x<1∴0<1-x<1+x∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)eq\f(1,1+x)由0<x<1∴1+x>1,0<1-x2<1∴0<(1-x)(1+x)<1∴eq\f(1,1+x)>1-x>0∴0<log(1-x)eq\f(1,1+x)<log(1-x)(1-x)=1∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|解法三:平方后比较大小∵loga2(1-x)-loga2(1+x)=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)]=loga(1-x2)·logaeq\f(1-x,1+x)=eq\f(1,|lg2a|)·lg(1-x2)·lgeq\f(1-x,1+x)∵0<x<1,∴0<1-x2<1,0<eq\f(1-x,1+x)<1∴lg(1-x2)<0,lgeq\f(1-x,1+x)<0∴loga2(1-x)>loga2(1+x)即|loga(1-x)|>|loga(1+x)|解法四:分类讨论去掉绝对值当a>1时,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x2<1∴loga(1-x2)<0,∴-loga(1-x2)>0当0<a<1时,由0<x<1,则有loga(1-x)>0,loga(1+x)<0∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x2)>0∴当a>0且a≠1时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)|[例4]已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.解:依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立.当a2-1≠0时,其充要条件是:eq\b\lc\{(\a\al(a2-1>0,△=(a+1)2-4(a2-1)<0))解得a<-1或a>eq\f(5,3)又a=-1,f(x)=0满足题意,a=1不合题意.所以a的取值范围是:(-∞,-1]∪(eq\f(5,3),+∞)[例5]已知f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,比较f(x)与g(x)的大小解:易知f(x)、g(x)的定义域均是:(0,1)∪(1,+∞)f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=logx(eq\f(3,4)x).①当x>1时,若eq\f(3,4)x>1,则x>eq\f(4,3),这时f(x)>g(x).若eq\f(3,4)x<1,则1<x<eq\f(4,3),这时f(x)<g(x)②当0<x<1时,0<eq\f(3,4)x<1,logxeq\f(3,4)x>0,这时f(x)>g(x)故由(1)、(2)可知:当x∈(0,1)∪(eq\f(4,3),+∞)时,f(x)>g(x)当x∈(1,eq\f(4,3))时,f(x)<g(x)[例6]解方程:2(9x-1-5)=[4(3x-1-2)]解:原方程可化为(9x-1-5)=[4(3x-1-2)]∴9x-1-5=4(3x-1-2)即9x-1-4·3x-1+3=0∴(3x-1-1)(3x-1-3)=0∴3x-1=1或3x-1=3∴x=1或x=2经检验x=1是增根∴x=2是原方程的根.[例7]解方程log2(2-x-1)(2-x+1-2)=-2解:原方程可化为:log2(2-x-1)(-1)log2[2(2-x-1)]=-2即:log2(2-x-1)[log2(2-x-1)+1]=2令t=log2(2-x-1),则t2+t-2=0解之得t=-2或t=1∴log2(2-x-1)=-2或log2(2-x-1)=1解之得:x=-log2eq\f(5,4)或x=-log23