27章自主检测

第二十七章自主检测(满分：120分　时间：100分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．已知△MNP如图27­1，则下列四个三角形中与△MNP相似的是(　　)图27­1　　　　　　　　　　A　　　　　　　　BC　　　　　　D2．△ABC和△A′B′C′是位似图形，且面积之比为1∶9，则△ABC和△A′B′C′的对应边AB和A′B′的比为(　　)A．3∶1B．1∶3C．1∶9D．1∶273．下列命题中正确的有(　　)①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．A．0个B．1个C．2个D．3个4．在△ABC中，BC＝15cm，CA＝45cm，AB＝63cm，另一个和它相似的三角形的最短边长是5cm，则最长边长是(　　)A．18cmB．21cmC．24cmD．19.5cm5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果AD∶BC＝1∶3，那么下列结论中正确的是(　　)A．S△OCD＝9S△AODB．S△ABC＝9S△ACDC．S△BOC＝9S△AODD．S△DBC＝9S△AOD6．如图27­2，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED的值为(　　)A．1∶3B．2∶3C．1∶4D．2∶5图27­2图27­37．如图27­3，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(　　)A．7　B．7.5C．8　D．8.58．如图27­4，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为(　　)图27­4A．4.8mB．6.4mC．8mD．10m9．如图27­5，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　　)A.eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)B.eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)C．∠B＝∠DD．∠C＝∠AED图27­5图27­610．如图27­6，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，若AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是(　　)A．b2＝ac　B．b2＝ceC．be＝acD．bd＝ae二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11．已知线段a＝1，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，d＝eq\r(6)，则这四条线段________比例线段(填“成”或“不成”)．12．在比例尺1∶6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15cm，这两地的实际距离是______km.13．如图27­7，若DE∥BC，DE＝3cm，BC＝5cm，则eq\f(AD,BD)＝________.图27­714．△ABC的三边长分别为2，eq\r(2)，eq\r(10)，△A1B1C1的两边长分别为1和eq\r(5)，当△A1B1C1的第三边长为________时，△ABC∽△A1B1C1.15．如图27­8，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶eq\r(2)，则这两个四边形每组对应顶点到位似中心的距离之比是__________．图27­8图27­916．如图27­9，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，且DE⊥AC于点O，则eq\f(CD,AD)＝________.三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)17．如图27­10，在▱ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求线段CG的长．图27­1018．如图27­11，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在BC的延长线上，且△ACD∽△BAD，求CD的长．图27­1119．如图27­12，在水平桌面上有两个“E”，当点P1，P2，O在同一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？(2)若b1＝3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测试距离l1＝8cm，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离应为多少？图27­12四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)20．如图27­13，在△ABC中，已知DE∥BC.(1)△ADE与△ABC相似吗？为什么？(2)它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．图27­1321．如图27­14，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF与直线CD延长线交于点G.求证：BC2＝BG·BF.图27­1422．如图27­15，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．图27­15五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)23．如图27­16，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.已知OA＝3，AE＝2.(1)求CD的长；(2)求BF的长．图27­1624．如图27­17，学校的操场上有一旗杆AB，甲在操场上的C处竖立3m高的竹竿CD；乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5m；丙在C1处竖立3m高的竹竿C1D1，乙从E处后退6m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E1＝4m．求旗杆AB的高．图27­1725．如图27­18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于点F，G是EF中点，连接DG.设点D运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值．图27­18第二十七章自主检测1．C　2.B　3.A　4.B　5.C　6.A　7.B　8.C　9.B10．A　解析：∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠DBA.又∵∠C＝∠BDA＝90°，∴△CDB∽△DBA.∴eq\f(CD,DB)＝eq\f(BC,AD)＝eq\f(BD,AB)，即eq\f(c,b)＝eq\f(d,e)＝eq\f(b,a).A．b2＝ac，成立，故本选项正确；B．b2＝ac，不是b2＝ce，故本选项错误；C．be＝ad，不是be＝ac，故本选项错误；D．bd＝ec，不是bd＝ae，故本选项错误．11．成　12.900　13.eq\f(3,2)　14.eq\r(2)15．1∶eq\r(2)16.eq\f(\r(2),2)　解析：∵DE⊥AC，BC∥AD，∠ADC＝90°，∴∠ACB＝∠EDC.又∵∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ACB∽△EDC.∴eq\f(AB,CE)＝eq\f(BC,CD).∵AB＝CD，BC＝AD，∴CD＝eq\r(CE·AD)＝eq\r(2)CE.∴eq\f(CD,AD)＝eq\f(\r(2)CE,2CE)＝eq\f(\r(2),2).17．解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.又∵DE∶EA＝2∶3，∴DE∶DA＝2∶5.∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DE,DA)＝eq\f(4,AB)＝eq\f(2,5).∴AB＝10.又∵FG∥ED，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形．∴DG＝EF＝4.∴CG＝CD－DG＝AB－DG＝10－4＝6.18．解：∵△ACD∽△BAD，∴eq\f(CD,AD)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4).∴AD＝eq\f(3,4)BD，AD＝eq\f(4,3)CD.∴16CD＝9BD.又∵BD＝7＋CD，∴16CD＝9×(7＋CD)，解得CD＝9.19．解：(1)因为P1D1∥P2D2，所以△P1D1O∽△P2D2O.所以eq\f(P1D1,P2D2)＝eq\f(D1O,D2O)，即eq\f(b1,b2)＝eq\f(l1,l2).(2)因为eq\f(b1,b2)＝eq\f(l1,l2)，b1＝3.2cm，b2＝2cm，l1＝8m，所以eq\f(3.2,2)＝eq\f(8,l2).所以l2＝5m.20．解：(1)△ADE与△ABC相似．∵平行于三角形一边的直线和其他两边相交，交点与公共点所构成的三角形与原三角形相似．即由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC.(2)是位似图形．由(1)知：△ADE∽△ABC.∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD，CE相交于点A，∴△ADE和△ABC是位似图形，位似中心是点A.21．证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB于点D，∴∠BCD＝∠A.又∵∠A＝∠F(同弧所对的圆周角相等)，∴∠F＝∠BCD＝∠BCG.在△BCG和△BFC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BCG＝∠F，,∠GBC＝∠CBF，))∴△BCG∽△BFC.∴eq\f(BC,BF)＝eq\f(BG,BC).即BC2＝BG·BF.22．解：(1)∵△PCD是等边三角形，∴∠ACP＝∠PDB＝120°.当eq\f(AC,PD)＝eq\f(PC,DB)，即eq\f(AC,CD)＝eq\f(CD,DB)，也就是当CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB.(2)∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠DPB.∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠APC＋∠CPD＋∠A＝∠PCD＋∠CPD＝120°.23．解：(1)如图D100，连接OC，在Rt△OCE中，图D100CE＝eq\r(OC2－OE2)＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2).∵CD⊥AB，∴CD＝2CE＝4eq\r(2).(2)∵BF是⊙O的切线，∴FB⊥AB.∴CE∥FB.∴△ACE∽△AFB.∴eq\f(CE,BF)＝eq\f(AE,AB)，eq\f(2\r(2),BF)＝eq\f(2,6).∴BF＝6eq\r(2).24．解：如图D101，连接F1F，并延长使之与AB相交，设其与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，设BG＝xm，GM＝ym.∵DM∥BG，∴△FDM∽△FBG.∴eq\f(DM,BG)＝eq\f(FM,FG)，则eq\f(1.5,x)＝eq\f(3,3＋y).　①又∵ND1∥GB，∴△F1D1N∽△F1BG.∴eq\f(D1N,BG)＝eq\f(F1N,F1G)，即eq\f(1.5,x)＝eq\f(4,y＋6＋3).　②联立①②，解方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝15.))故旗杆AB的高为9＋1.5＝10.5(m)．图D10125．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝eq\r(32＋42)＝5.∵AD＝5t，CE＝3t，∴当AD＝AB时，5t＝5，∴t＝1.∴AE＝AC＋CE＝3＋3t＝6，∴DE＝6－5＝1.(2)∵EF＝BC＝4，点G是EF的中点，∴GE＝2.当ADAEeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即t>\f(3,2)))时，DE＝AD－AE＝5t－(3＋3t)＝2t－3.若△DEG∽△ACB，则eq\f(DE,EG)＝eq\f(AC,BC)或eq\f(DE,EG)＝eq\f(BC,AC)，∴eq\f(2t－3,2)＝eq\f(3,4)或eq\f(2t－3,2)＝eq\f(4,3).∴t＝eq\f(9,4)或t＝eq\f(17,6).综上所述，当t＝eq\f(1,6)或eq\f(3,4)或eq\f(9,4)或eq\f(17,6)秒时，△DEG∽△ACB.