第3讲点、直线、平面之间的位置关系考纲
要求
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考情风向标1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解四个公理及其推论，了解等角定理，并能以此作为推理的依据. 平面的基本性质是研究立体几何的基础，是高考主要考点之一，考查内容有以平面基本性质、推论为基础的共线、共面问题，也有以平行、异面为主的两直线的位置关系，求异面直线所成的角是本节的重点.1．平面基本性质即三条公理的“图形语言”“文字语言”“符号语言”列
表
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公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理1公理2公理3符号语言（续表）公理2的三条推论：推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．⇒l⊂αA，B，C不共线⇒A，B，C确定平面αP∈α，P∈β⇒公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．空间线、面之间的位置关系异面无数个没有3．异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成的____________，叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，其范围是____________．锐角或直角(0°，90°]1．(2013年安徽蚌埠二模)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()BA．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面2．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是)A“这两条直线没有公共点”的(A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()CA．3条B．4条C．5条D．6条解析：如图D33，用列举法知，符合要求的棱为：BC，CD，C1D1，BB1，AA1.故选C.图D33)D4．若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，P∈l，则(A．P⊂αB．P∉αC．l⊄αD．P∈α考点1平面的基本性质)例1：若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：不妨设直线l∩α＝M，过点M的α内的直线与l不异面，故A错误；假设存在与l平行的直线m，则由m∥l，得l∥α，这与l∩α＝M矛盾，故B正确；C显然错误；α内存在与l异面的直线，故D错误．故选B.
答案
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：B【规律方法】直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线不在平面内，记作l⊄α，包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点、线、面位置关系的基础，三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据.公理1是判断直线在平面内的依据；公理2的作用是确定平面，这是把立体几何转化成平面几何的依据；公理3是证明三(多)点共线或三线共点的依据.【互动探究】1．下列推断中，错误的个数是()A①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α；②A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合；③l⊄α，A∈l⇒A∉α.A．1个C．3个B．2个D．0个考点2空间内两直线的位置关系例2：如图8-3-1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分)别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(图8-3-1A．MN与CC1垂直C．MN与BD平行B．MN与AC垂直D．MN与A1B1平行答案：D【规律方法】判断直线是否平行比较简单直观，可以利用公理4；判断直线是否异面则比较困难，掌握异面直线的两种判断方法：①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，再由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面；②在客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.【互动探究】2．如图8-3-2所示的是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________(填上所有正确答案的序号)．图8-3-2①②③3．如图8-3-3，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线GH，MN是异面直线的图形有__________(填上所有正确答案的序号)．图8-3-3解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于G，∴M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．答案：②④考点3异面直线所成的角例3：在正方体ABCD-A1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图8-3-4，连接AB1，B1C.由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.图8-3-4图8-3-5(2)如图8-3-5，连接AC，BD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.【规律方法】求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，直到得到两条相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题.B考点4三点共线、三线共点的证明例4：如图8-3-6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．图8-3-6图8-3-7同理点P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴点P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．【规律方法】要证明M，N，K三点共线，由公理3知，只要证明M，N，K都在两个平面的交线上即可.,证明多点共线问题：①可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；②可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点.【互动探究】5．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与GH交于点M，则()AA．点M一定在AC上B．点M一定在BD上C．点M可能在AC上，也可能在BD上D．点M既不在AC上，也不在BD上解析：点M在平面ABC内，又在平面ADC内，故必在交线AC上．
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