辽宁省凌源市联合校2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）（通用）

高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com辽宁省凌源市联合校2020届高三数学上学期期中试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则A∩B=（　　）A.B.C.D.已知i为虚数单位，复数z满足：z（1+i）=2-i，则在复平面上复数z对应的点位于（　　）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限命题p：∀x∈R，ax2-2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件函数f（x）=x2sinx的图象大致为（　　）A.B.C.D.已知m，n是两条不同的自线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）A.若m,n没有公共点,则B.若,,,则C.若,,则D.若,,则已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2-|=1，则||=（　　）A.B.1C.D.2已知正项等比数列{an}满足a1-a2=8，a3-a4=2，若a1a2a3…an=1，则n为（　　）A.5B.6C.9D.10将函数y=sin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（　　）A.B.C.D.，则cos2θ的值为（　　）A.B.C.D.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC，且sinA+sinC=1，则△ABC的形状为（　　）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为的等腰三角形D.顶角为的等腰三角形设函数f（x）=xlnx的图象与直线y=2x+m相切，则实数m的值为（　　）A.eB.C.D.2e已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（　　）A.6B.7C.8D.9二、填空题（本大题共4小题）命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是______（写出否定命题）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）一个周期的图象（如图），则这个函数的解析式为______．已知点A（2，0），B（0，1），若点P（x，y）在线段AB上，则xy的最大值为______．已知侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题）已知函数．（1）求函数y=f（x）的值域和单调减区间；（2）已知A，B，C为△ABC的三个内角，且，，求sinA的值．在中，角所对的边分别为，且满足.⑴求角的大小；⑵  若，求周长的最大值。已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a5=5，且a2，a4，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求：数列{bn}的前n项和Tn．已知数列{an}为递增的等比数列，a1•a4=8，a2+a3=6．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=an+log2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为棱形，面PAD⊥面ABCD，PA=PD=5，AD=6，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：AC⊥PE；（2）求二面角D-PA-B的余弦值．已知在x=1与处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对时，f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}．故选：A．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由z（1+i）=2-i，得z=，∴在复平面上复数z对应的点的坐标为（，），位于第四象限．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：命题p：∀x∈R，ax2-2ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△=4a2-4a=4a（a-1）＜0，且0＜a，∴解得：0＜a＜1，②当a=0时，不等式ax2-2ax+1＞0在R上恒成立，∴不等式ax2-2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；命题q：指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）为减函数，则：0＜a＜1；所以：当0≤a＜1；则推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；则能推出0≤a＜1；则P是q的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：由于函数f（x）=x2sinx是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B和D；又函数过点（π，0），可以排除A，所以只有C符合．故选：C．根据函数f（x）=x2sinx是奇函数，且函数过点[π，0]，从而得出结论．本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x轴的交点，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：m，n没有公共点，则m，n平行或异面，故A错误；m⊂α，n⊂β，α∥β，则m，n平行或异面，故B错误；m⊂α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；n∥α，由线面平行的性质定理可得n平行于过n的平面与α的交线l，m⊥α，可得m⊥l，即有m⊥n，故D正确．故选：D．由两直线的位置关系可判断A；由面面平行的定义可判断B；由线面的位置关系可判断C；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断D．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，注意平行和垂直的判定和性质的运用，考查推理能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵非零向量，的夹角为60°，且||=1，∴=||•1•=，∵|2-|=1，∴=4-4+=4-2||+1=1，∴4-2||=0，∴||=，故选：A．由题意可得=||•1•=，再根据，=1，求得||的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：正项等比数列{an}满足a1-a2=8，a3-a4=2，可得=，∴q2=，q＞0，解得q=，代入a1-a2=8，可得a1=16，a1a2a3…an=1，可得（a1an）n=1，所以a1an=1，a12qn-1=1，∴=1，解得n=9．故选：C．利用已知条件求出对比以及数列的首项，通过a1a2a3…an=1，转化求出n的表达式，求解即可．本题考查数列的递推关系式以及等比数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．8.【答案】A【解析】解：将函数y=sin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y=sin（2x-）图象，令2x-=kπ，可得x=+，k∈Z，故所得函数图象的对称中心为（+，0）．令k=1，可得所得图象的一个对称中心为（，0），故选：A．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵=-sinθ，∴sinθ=，∴cos2θ=1-2sin2θ=1-2×（）2=．故选：A．由已知利用诱导公式可求sinθ的值，根据二倍角的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC，∴（1-sin2A）-（1-sin2B）+（1-sin2C）=1+sinAsinC，∴可得sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC，∴根据正弦定理得a2+c2-b2=-ac，∴由余弦定理得cosB===-，∵B∈（0°，180°），∴B=120°，∵sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC．∴变形得=（sinA+sinC）2-sinAsinC，又∵sinA+sinC=1，得sinAsinC=，∴上述两式联立得sinA=sinC=，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A=C=30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．故选：D．利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，由sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC，与sinA+sinC=1联立求得sinA和sinC的值，进而根据A，C的范围推断出A=C，即可判断得解．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：设切点为（s，t），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得切线的斜率为1+lns=2，解得s=e，则t=elne=e=2e+m，即m=-e．故选：B．设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：，∴，解得f′（2）=8．故选：C．可以求出导函数，从而可得出，解出f′（2）即可．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是：．故答案为：．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．14.【答案】f（x）=【解析】解：由函数的图象可得A=1，T=-，解得：T==π，解得ω=2．图象经过（，1），可得：1=sin（2×+φ），解得：φ=2kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜，可得：φ=，故f（x）的解析式为：f（x）=．故答案为：f（x）=．由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，1），求出φ，从而得到f（x）的解析式．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：A（2，0），B（0，1），可得AB的方程为+y=1，（0≤x≤2），由+y≥2，可得xy≤2•（+y）2=，当且仅当x=，y=时，取得最大值，故答案为：．求得线段AB的方程，由基本不等式，计算可得所求最大值．本题考查直线方程的求法和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】3πa2【解析】解：因为侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：a；所以球的表面积为：4π（）2=3πa2故答案为：3πa2．侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上， 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出球的表面积．本题是基础题，考查三棱锥的外接球的表面积的求法，三棱锥扩展为正方体是本题的关键，正方体的对角线是外接球的直径也不容忽视，考查计算能力．17.【答案】解：（1）∵==，且，∴所求值域为；由，得：，k∈Z．故所求减区间为：；（2）∵A，B，C是△ABC的三个内角，，∴，又，即，且，∴．故．【解析】（1）展开两角和的正弦，再由倍角公式降幂，利用辅助角公式化积，则函数的值域可求，再由复合函数的单调性求函数的单调减区间；（2）由已知求得sinB，再由求解C，然后利用诱导公式及两角和的正弦求解sinA的值．本题考查两角和与差的三角函数，考查三角形的解法，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）依正弦定理可将化为：因为在中，sinB＞0，所以，即，∵0＜A＜π，∴．      （Ⅱ）因为三角形的周长=a+b+c=4+b+c，所以当b+c最大时，△ABC的周长最大，因为a2=c2+b2-2bccosA=（b+c）2-3bc，因为a=4，且，则∴16，即b+c≤8（当且仅当b=c=4时等号成立）所以△ABC周长的最大值为12．【解析】本题考查正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数，以及基本不等式求最值问题，属于中档题．（Ⅰ）利用正弦定理、商的关系化简式子，求出tanA的值，由A的范围求出角A的大小；（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程，利用基本不等式求出b+c的范围，再求出△ABC的周长最大值.19.【答案】解：（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），据题得，解得，d=．∴数列{an}的通项公式为；（2）由，得．令，则，∴=，∴，∴Tn=．【解析】（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），由题意列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，代入等差数列的通项公式即可；（2）求得数列{bn}的通项公式，再由错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn．本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由a1•a4=a2•a3=8及a2+a3=6…（2分）得或（舍）                                   …（4分）所以，a1=1所以…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（7分）所以Tn=b1+b2+…+bn=（20+21+…+2n-1）+（1+2+…+n）==…（13分）【解析】（Ⅰ）由a1•a4=a2•a3=8及a2+a3=6，a2＜a3，解出，再利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OE，BD，∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵O、E分别为AD，AB的中点，∴OE∥BD，∴AC⊥OE．∵PA=PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴PO⊥面ABCD，∴PO⊥AC，∵OE∩OP=O，∴AC⊥面POE，∵∴AC⊥PE；（2）解：连接OB，∴ABCD为菱形，∴AD=AB，∵∠DAB=60°，∴△DAB为等边三角形，又O为AD的中点，∴BO⊥AD，∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥OA，∴OP、OA、OB两两垂直．以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O-xyz，则A（3，0，0），B（0，3，0），P（0，0，4），=（0，，0）为平面PAD的法向量，设面PAB的法向量，∵，，则，即，取x=1，则，∴cos＜＞==，结合图形可知二面角D-PA-B的余弦值为．【解析】（1）取AD的中点O，连接OP，OE，BD，由已知可得BD⊥AC，又O、E分别为AD，AB的中点，可得OE∥BD，得到AC⊥OE．再由PA=PD，O为AD的中点，得到PO⊥AD，结合面面垂直的性质可得PO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥面POE，从而得到AC⊥PE；（2）求解三角形证明OP、OA、OB两两垂直．以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O-xyz，得到A，B，P的坐标，可得平面PAD的一个法向量，再求得面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D-PA-B的余弦值．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．22.【答案】解：（1）∵，∴，∵在x=1与处都取得极值，∴f'（1）=0，．∴，解得；（2）由（1）可知，令，解得x=1或，∵，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增．，而f（）-f（1）=（-ln4）-（-）=-ln4＞0，所以f（）＞f（1），即f（x）在上的最大值为-ln4．对时，f（x）＜c恒成立，等价于f（x）max＜c，即-ln4＜c，所以实数c的取值范围为c＞-ln4．【解析】（1）求出f′（x），由题意可得f'（1）=0，．解此方程组即得a，b值；（2）对时，f（x）＜c恒成立，等价于f（x）max＜c，利用导数即可求得f（x）的最大值；本题考查利用导数求函数的最值、函数在某点取得极值的条件，考查函数恒成立问题，转化为求函数最值是解决函数恒成立问题的常用方法．