相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理．【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．情景导入 生成问
题
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我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研 生成能力eq\a\vs4\al(知识模块一 相似三角形判定定理的证明)先阅读教材P99－101的
内容
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，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝A1B1，作DE∥BC，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝A1C1，证△A1B1C1≌△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P100－101页．3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P101－102页．eq\a\vs4\al(知识模块二 相似三角形判定定理的应用)解答下列各题：1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)；②eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( C )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.典例讲解：已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(BE,BD)，即：eq\f(BC,BE)＝eq\f(AB,BD).在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠DBE＝∠ABC且eq\f(BC,BE)＝eq\f(AB,BD)，∴△DBE∽△ABC.对应练习：1．教材P102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC为等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF＝CD，∴AD＝FC＝EB，则△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF＝EF.△EDF为等边三角形．∴△DEF∽△ABC.2.教材P102页习题4.9的第3题．证明：∵BE为∠DBC平分线，∴∠DBE＝∠EBC.又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB＝∠EBC＋∠C，∴∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.则eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AB).∵AB＝AE，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(AD,AE)，即AE2＝AD·AC.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代
表
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将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形判定定理的证明知识模块二 相似三角形判定定理的应用
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反馈 达成目标1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.2．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA.证明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，∴AB2＝4，BD·BC＝1×(1＋3)＝4.∴AB2＝BD·BC.即eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,BA).而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.3．教材P102页习题4.9的第4题．解：设t秒后△PBQ与△ABC相似，①△PBQ∽△ABC，则eq\f(BP,BA)＝eq\f(BQ,BC)，即eq\f(8－2t,8)＝eq\f(4t,16)，解得t＝2s.②当△PBQ∽△CBA，eq\f(BP,BC)＝eq\f(BQ,BA)，即eq\f(8－2t,16)＝eq\f(4t,8)，解得t＝0.8s.答：0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________
浙公网安备 33021202002483