最新2.7.1【教学设计】《点到直线的距离公式》（北师大）

.PAGE下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。?§点到直线的距离公式?教材分析“点到直线的距离〞是在学生学习直线方程的根底上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线相交后，进一步的量化关系是角度，而两条直线平行后，进一步的量化关系是距离，而平行线间的距离是通过点到直线距离来解决的。教学目标【知识与能力目标】1掌握点到直线距离公式及其应用。2.会用点到直线距离求两平行线间的距离。【过程与方法目标】经历公式的形成过程，体会由实例得出公式的方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。【情感态度价值观目标】通过推导公式方法的发现，培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化〔或化归〕等数学思想以及特殊与一般的方法；通过本节学习，引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中获得的成功感。教学重难点【教学重点】理解点到直线的距离公式，并能进展简单应用【教学难点】会用点到直线距离求两平行线间的距离课前准备电子 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。教学过程一、复习引入。回忆：两点间的距离公式平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别地，当x1＝x2＝0，即两点在y轴上时，P1P2＝|y1－y2|；当y1＝y2＝0，即两点在x轴上时，P1P2＝|x1－x2|。稳固练习1．点(－2,3)到原点的距离为________。【解析】　d＝eq\r(－2－02＋3－02)＝eq\r(13)。【答案】　eq\r(13)。2．三角形三顶点为A(－1,0)，B(2,1)，C(0,3)，那么△ABC的三边长分别为________。【解析】　|AB|＝eq\r(2＋12＋1－02)＝eq\r(10)，|AC|＝eq\r(0＋12＋3－02)＝eq\r(10)，|BC|＝eq\r(2－02＋1－32)＝2eq\r(2)。【答案】　eq\r(10)，eq\r(10)，2eq\r(2)。回忆：中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2).))。稳固练习1．A(0,2)，B(3,0)，那么AB中点P的坐标为________。【解析】　设P(x，y)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(0＋3,2)＝\f(3,2)，,y＝\f(2＋0,2)＝1，))∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))。【答案】　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))2．A(－3,2)，B(7，－8)，C(x，y)，假设B为AC的中点，那么x＋y的值为________。【解析】　∵B为AC的中点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝\f(x－3,2)，,－8＝\f(2＋y,2)，))∴x＝17，y＝－18，故x＋y＝－1。【答案】　－1二、探究新知。点到直线的距离阅读教材P101～P102，完成以下问题。1．点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))。2．点P0(x0，y0)到直线l：y＝kx＋b的距离d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(k2＋1))。3．两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离。4．两平行线间的距离公式：假设两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，那么l1，l2间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))。稳固练习1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是eq\f(m＋n－1,\r(2))。(×)(2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离。(×)(3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值。(√)(4)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)与两点的先后顺序无关。(√)2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为_______。【解析】　d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5)。【答案】　eq\r(5)3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为________。【解析】　d＝eq\f(|－7－－12|,\r(32＋42))＝1【答案】　1三、例题解析。两点间距离公式及其应用　如图2－1－12，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求边AC的长。图2－1－12。【自主解答】　设点A，C的坐标分别为A(x1，y1)，C(x2，y2)。∵AB⊥CE，kCE＝－eq\f(2,3)，∴kAB＝－eq\f(1,kEC)＝eq\f(3,2)。∴直线AB的方程为3x－2y－1＝0。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x1－2y1－1＝0，,2x1－3y1＋1＝0，))得A(1,1)。∵D是BC的中点，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋3,2)，\f(y2＋4,2))).。而点C在直线CE上，点D在直线AD上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋3y2－16＝0，,2·\f(x2＋3,2)－3·\f(y2＋4,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝5，,y2＝2，))∴C(5,2)．即|AC|＝eq\r(5－12＋2－12)＝eq\r(17)。两点间距离公式主要是用来计算两点之间的距离，记熟公式是解题的关键，单独考察较少，常与其他知识综合考察。稳固练习1．在x－y＋4＝0上求一点P，使点P到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等。【解】　由直线x－y＋4＝0可得y＝x＋4，因为点P在此直线上，所以可设点P的坐标为(a，a＋4)，PM＝PN，由两点间距离公式可得eq\r([a－－2]2＋[a＋4－－4]2)＝eq\r(a－42＋a＋4－62)，解得a＝－eq\f(3,2)，从而a＋4＝eq\f(5,2)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))。　点到直线的距离与两平行线间的距离公式的应用　(1)假设点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，那么k的值是________。(2)假设两平行直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之间的距离是eq\f(2\r(13),13)，那么eq\f(c＋2,a)＝________。【精彩点拨】　(1)由点到直线的距离公式得出k的方程，解方程即得k值。(2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a，c的值。【自主解答】　(1)由4＝eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))，解得k＝－3或k＝eq\f(17,3)。(2)由于两直线平行，所以eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，又eq\f(2\r(13),13)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1－\f(c,2))),\r(32＋－22))，eq\f(c＋2,a)＝1或－1。【答案】　(1)－3或eq\f(17,3)　(2)±1稳固练习2．(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程。(2)直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)，B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程。【解】　(1)∵与l平行的直线方程为5x－12y＋c＝0，根据两平行直线间的距离公式得eq\f(|c－6|,\r(52＋－122))＝3，5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0。(2)由条件可知直线l的斜率一定存在，又直线l经过点P(2，－5)，∴设直线l：y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0，∴A点到直线l的距离d1＝eq\f(|k·3＋2－2k－5|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k－3|,\r(k2＋1))，B点到直线l的距离d2＝eq\f(|－k－6－2k－5|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－3k－11|,\r(k2＋1))。∵d1∶d2＝1∶2，∴eq\f(|k－3|,|－3k－11|)＝eq\f(1,2)，即k2＋18k＋17＝0，解得k＝－1或k＝－17。∴直线l的方程为x＋y＋3＝0或17x＋y－29＝0。对称问题探究1　假设点P(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′，那么P′的坐标如何求解？【提示】　设出P′的坐标，利用线段PP′的中点在直线Ax＋By＋C＝0上，和kPP′＝eq\f(B,A)，列方程组求解。探究2　直线l1关于直线l对称的直线为l2，如何由l1，l的方程求出l2的方程？【提示】　法一　先由l1，l的方程求出交点，交点在l2上，再在l1上任取一点，求该点关于l的对称点，对称点在l2上，由两点式即可求出l2的方程。法二　设l2上任意一点坐标为(x，y)，它关于l的对称点(x′，y′)在l1上，利用对称性质求出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝fx，y，,y′＝gx，y))代入l1的方程即得l2的方程。　直线l：x＋2y－2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程。【精彩点拨】　点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解。【自主解答】　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，那么线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l。∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋1,x0＋2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，,\f(x0－2,2)＋2×\f(y0－1,2)－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(2,5)，,y0＝\f(19,5)，))即P′点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(19,5)))。(2)法一　由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,x－y－2＝0，))得l与l1的交点A(2,0)，在l1上任取一点B(0，－2)，设B关于l的对称点B′为(x0，y0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋2,x0)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，,\f(x0,2)＋2×\f(y0－2,2)－2＝0，))。即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－y0－2＝0，,x0＋2y0－8＝0，))。∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(12,5)，,y0＝\f(14,5)，))即B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(14,5)))，∴l2的斜率为kAB′＝eq\f(\f(14,5),\f(12,5)－2)＝7。∴l2的方程为：y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0。法二　直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，那么l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y′,x－x′)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，,\f(x＋x′,2)＋2×\f(y＋y′,2)－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(3x－4y＋4,5)，,y′＝\f(－4x－3y＋8,5)，))把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得7x－y－14＝0，即直线l2的方程为7x－y－14＝0.。(3)法一　取l：x＋2y－2＝0上一点M(2,0)，那么M关于点A(1,1)的对称点M′的坐标为(0,2)，且M′在l关于A(1,1)对称的直线上，又所求直线与l平行，∴设所求直线为x＋2y＋C＝0。又过点M′(0,2)，∴C＝－4，∴所求直线方程为x＋2y－4＝0。法二　设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，那么直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x1,2)＝1，,\f(y＋y1,2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2－x，,y1＝2－y.))将(x1，y1)代入直线l的方程得x＋2y－4＝0，∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0。关于对称问题，要充分利用“垂直平分〞这个根本条件，“垂直〞是指两个对称点的连线与直线垂直，“平分〞是指两对称点连成线段的中点在直线上，可通过两个条件列方程组求解。稳固练习3．直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)。(1)试在l上求一点P，使AP＋CP最小；(2)试在l上求一点Q，使|AQ－BQ|最大。【解】　(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，那么eq\f(b－0,a－2)＝－eq\f(1,3)，且3·eq\f(a＋2,2)－eq\f(b＋0,2)－1＝0，解得C′(－1,1)，所以直线AC′的方程为y＝1。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝1，,3x－y－1＝0))，得l与直线AC′的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))，此时AP＋CP取最小值为5。①　　　　　　　　②(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，那么eq\f(n－4,m－0)＝－eq\f(1,3)，且3·eq\f(m＋0,2)－eq\f(n＋4,2)－1＝0，解得B′(3,3)。所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0，))得AB′与l的交点为Q(2,5)，此时|AQ－BQ|取最大值为eq\r(5)。四、小结。1．利用点到直线的距离公式要注意：(1)要将直线方程化为一般式；(2)当直线方程中含有参数时，斜率不存在的情况要单独考虑。2．对于平行线间的距离问题一般有两种思路：(1)利用“化归〞思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离。(2)直接用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别一样．五、作业。1．点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，那么a的值为________。【解析】　|AB|＝eq\r(a＋22＋3＋12)＝5，解得a＝1或a＝－5。【答案】　1或－52．△ABC的三个顶点为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，那么△ABC的形状为__________。【解析】　由两点间距离公式得AB＝eq\r(52)，BC＝eq\r(104)，AC＝eq\r(52)易知AB＝AC且AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC是等腰直角三角形。【答案】　等腰直角三角形3．夹在两条平行线l1：3x－4y＝0与l2：3x－4y－20＝0之间的圆的最大面积为________。【解析】　因两条平行线间的距离为d＝eq\f(|0－20|,5)＝4，那么圆的最大面积为π·22＝4π.【答案】　4π4．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条.。【解析】　由题可知，所求直线显然不与y轴平行，∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0。∴d1＝eq\f(|k－2＋b|,\r(k2＋1))＝1，d2＝eq\f(|3k－1＋b|,\r(k2＋1))＝2，解得b1＝3，b2＝eq\f(5,3)，∴k1＝0，k2＝－eq\f(4,3)，所以所求直线有2条。【答案】　25．一条直线过点P(2，－3)，与直线2x－y－1＝0和直线x＋2y－4＝0分别相交于点A和点B，且P为线段AB的中点，求这条直线的方程。【解】　设点A的坐标为(t,2t－1)，因为点P(2，－3)是线段AB的中点，所以点B的坐标为(4－t，－5－2t)因为点B在直线x＋2y－4＝0上，所以4－t＋2(－5－2t)－4＝0，解得t＝－2，于是点A的坐标为(－2，－5)所以所求直线的方程为eq\f(y＋3,－5＋3)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x－2y－8＝0。教学反思略。