第1课时1.平行四边形第三章证明（三）1.会用综合法证明平行四边形的性质定理．2.体会证明过程中所运用的观察、归纳、类比、转化等数学思想方法．证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证).(2)根据题意,画出图形.(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”.(4)
分析
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题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”).(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程.(6)检查表达过程是否正确、完善.下图是什么图形？有什么性质？答：平行四边形. （1）AD//BC，AB//CD.（2）AB=CD，AD=CB.（3）∠A=∠C，∠B=∠D.（4）对角线互相平分.ABCD2.你还记得我们探索过的平行四边形的性质及判别条件吗?你能利用公理和已有的定理证明它们吗?小组合作，共同证明．1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.定理:平行四边形的对边相等.BDCA已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.求证:AB=CD,BC=DA.分析:要证明AB=CD,BC=DA，可转化为全等三角形的对应边相等来证明,于是可作辅助线来达到目的.证明:连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,BC∥DA.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵AC=CA,∴△ABC≌△CDA(ASA).∴AB=CD,BC=DA.1234从上面的证明过程,你还能得到什么结论?定理:平行四边形的对角相等.BDCA1234已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.求证:∠BAD=∠BCD,∠B=∠D.∵∠1=∠2,∠3=∠4.证明:∵△ABC≌△CDA(已证).∴∠B=∠D.∴∠BAD=∠BCD.定理:平行四边形的对角线互相平分.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O.求证:CO=AO,BO=DO.分析:要证明AO=CO,BO=DO,可转化为全等三角形的对应边相等来证明.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥DA.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵BC=DA,∴△BOC≌△DOA(ASA).∴CO=AO,BO=DO.BDCAO1234定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.已知:如图,直线MN∥PQ,线段AB∥CD,且AB,CD与MN,PQ分别相交于点A,D,B,C.求证:AB=CD.分析:可利用平行四边形的对边相等来证明.证明:∵MN∥PQ,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD.BDCAMNPQ平行四边形的性质定理:平行四边形的对边平行.(由定义得)定理:平行四边形的对边相等.定理:平行四边形的对角相等.定理:平行四边形的对角线互相平分.定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.【例1】证明:等腰梯形在同一底上的两个角相等.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC.求证:∠A=∠D,∠B=∠C.分析:可将两个角转化为同一三角形的内角,利用等腰三角形等边对等角来证明,于是可过D作AB的平行线.BDCAE1【例题】证明:过点D作DE∥AB,交BC于点E.∴∠1=∠B.∴四边形ABED是平行四边形.∴AB=DE.∵AB=DC.∴DE=DC.∴∠1=∠C.∵AD∥BC,DE∥AB.∴∠B=∠C.∵∠A+∠B=180°，∠ADC+∠C=180°.∴∠A=∠ADC.你能写出“等腰梯形同一底上的两个角相等”的逆命题吗？同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.你能独立证明吗？试试吧！逆定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.求证:AB=DC.分析:可将两个角转化为同一三角形的内角,利用等腰三角形等角对等边来证明,于是可过D作AB的平行线.证明:过点D作DE∥AB,交BC于点E.∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴DE=DC.∵AD∥BC,DE∥AB.∴四边形ABED是平行四边形．∴AB=DE.∵∠B=∠C.∴AB=DC.BDCAE11.证明:等腰梯形的两条对角线相等.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC.求证:AC=DB.证明:∴∠ABC=∠DCB.∵AB=DC， BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.∵AD∥BC,AB=CD.BDCA【跟踪训练】2.证明:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=DB.求证:AB=DC.证明:过D点作DE∥AC,交BC的延长线于点E.∴DE=AC,∠1=∠E.∵AC=DB.∴DB=DE.∴∠2=∠E.∴∠1=∠2.∵AD∥BC,DE∥AC.∴四边形ACED是平行四边形，BDCAE21∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AB=DC.∵BC=CB.1．（荆州·中考）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，则∠ECB的度数是.AEBCD【解析】在平行四边形ABCD中，∠A=130°，∠D=50°，∠DCB=130°，又因为DE=DC，∠DCE=∠DEC=65°，所以∠ECB=130°-65°=65°.
答案
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：65°2．（嘉兴·中考）如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF.（1）求证：DE=BF.（2）连接BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）证明：（1）在□ABCD中，AB//CD，AB=CD．∵AE=CF，∴BE=DF，且BE//DF．∴四边形BFDE是平行四边形．∴DE=BF（2）连接BD，如图，图中有三对全等三角形：△ADE≌△CBF，△BDE≌△DBF，△ABD≌△CDB．3.已知:如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点E,F.求证:OE=OF.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AD∥BC,∴∠1=∠2.∵∠3=∠4.∴△BOF≌△DOE(ASA).∴OE=OF.BDCAOEF12344.已知:如图,点A，B，C分别在△DEF的各边上，且AC∥DE，AB∥EF，BC∥DF.求证:A，B，C分别是△DEF各边的中点.证明:∵AC∥DE，BC∥DF，∴四边形ADBC是平行四边形.∴BC=AD，同理可证BC=AF.∴A是边DF的中点.同理可证B，C是边DE，EF的中点.ECFADB定理:平行四边形的对边相等.BDCA∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD,BC=DA.定理:平行四边形的对角相等.∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠A=∠C,∠B=∠D.定理:平行四边形的对角线互相平分.∵四边形ABCD是平行四边形.∴CO=AO,BO=DO.BDCAO定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.∵MN∥PQ,AB∥CD.∴AB=CD.BDCAMNPQ定理:等腰梯形在同一底上的两个角相等.定理:等腰梯形的两条对角线相等.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC.∴AC=DB.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC.∴∠A=∠D,∠B=∠C.BDCABDCA定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵∠A=∠D或∠B=∠C.∴AB=DC.定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.BDCABDCA失败是坚韧的最后考验．——俾斯麦
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